Tuyển tập Chuyên đề tích phân và số phức vận dụng cao - Toán Lớp 12

 Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia - CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHÚC VẬN DỤNG CAO 
 Chuyên CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN 
 đề 1 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN KHI 
 BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN 
 CHO TRƯỚC 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 1. Định nghĩa  
 Cho  f  là hàm số liên tục trên đoạn  [a ; b ].  Giả sử  F  là một nguyên hàm của  f trên  [a ; b ].  Hiệu số 
 F()() b F a   được gọi  là tích  phân từ a  đến b  (hay  tích  phân  xác  định  trên đoạn  [;]a b   của hàm số 
 b
 f( x ), kí hiệu là  f( x )d x .  
 a
 b
 Ta dùng kí hiệu  F()()() xa F b F a  để chỉ hiệu số  F()() b F a .  
 b
 Vậy  f( x )d x F ( x )b F ( b ) F ( a ) . 
 a
 a
 b b
 Nhận xét: Tích phân của hàm số  f  từ a đến b có thể kí hiệu bởi  f( x )d x  hay  f( t )d t .  Tích phân đó 
 a a
 chỉ phụ thuộc vào  f  và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. 
 Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số  f  liên tục và không âm trên đoạn  [;]a b  thì tích phân 
 b
 f( x )d x là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  y f() x , trục Ox và hai đường 
 a
 b
 thẳng  x a,. x b  Vậy  S f( x )d x . 
 a
 2. Tính chất của tích phân 
 a
  1.  f( x )d x 0  
 a
 b a
 2.  f( x )d x f ( x )d x  
 a b
 b c c
  3.  f( x )d x f ( x )d x f ( x )d x ( a b c  ) 
 a b a
 b b
  4.  k. f ( x )d x k . f ( x )d x  ( k )  
 a a
 b b b
  5.  [()fx gxx ()]d fxx ()d gxx ()d . 
 a a a
  Lưu ý: 
 a a
 1) f x  là hàm số chẵn và  liên tục trên đoạn  a; a  ,  a 0   thì  f( x )d x 2 f ( x )d x  
 a 0
 a
 2) f x  là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn  a; a  ,  a 0 thì  f( x )d x 0 
 a
 Trang 1 Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia - CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHÚC VẬN DỤNG CAO 
 Vì  f 1 0  nên C 0 . 
 1 1
 Ta được  f x dx x 1 ex dx e 2. 
 0 0
 1
 2 1
Câu 3. Cho hàm số  f x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn  f 0 1,  f x d x , 
 0 30
 1 1 1
 2x 1 f x d x . Tính tích phân  f x d x . 
 0 30 0
 Lời giải 
 Bằng công thức tích phân từng phần ta có 
 1 1
 1 1
 2x 1 f x d x f x d x2 x x2 x f x x 2 x f x d x
 0 0
 0 0  
 1
 x2 x f x d x . 
 0 
 1 1
 Suy ra  x2 x f x d x . 
 0 30
 12 1 1
 Hơn nữa ta tính được  x2 x d x x 4 2 x 3 x 2 d x . 
 0 0 30
 1 1 1 1
 2 2 2
 2 2 2 
 Do đó  fxx d 2 xxfxxxxx d d 0 fxxxx d 0 . 
 0 0 0 0
 x3 x 2
 Suy ra  f x x2 x , do đó  f x C . Vì  f 0 1 nên C 1. 
 3 2
 1 1 x3 x 2 11
 Ta được  f x d x 1 dx . 
 0 0 3 2 12
 1
 2 1
Câu 4. Cho  hàm  số  f x   có  đạo  hàm  liên  tục  trên  0;1  thỏa  mãn  f 1 0 , f x d x  
 0 9
 1
 1 1
 và x3 f x d x . Tính tích phân  f x d x . 
 0 36 0
 Lời giải 
 Bằng công thức tích phân từng phần ta có 
 1 1
 1 1 1
 4x3 f x d x f x d x 4 x4 f x x 4 f x d x x4 f x d x . 
 0 0 0
 0 0
 1 1 12 1 1
 Suy ra  x4 f x d x . Hơn nữa ta tính được  x4 d x x 8 d x . 
 0 9 0 0 9
 1 1 1 1
 2 4 42 4 2
 Do đó fxx d 2 xfxxxx d d 0 fxxx d 0 . 
 0 0 0 0
 x5 1
 Suy ra  f x x4 , do đó  f x C . Vì  f 1 0  nên C . 
 5 5
 1 1 x5 1 1
 Ta được  f x d x d x . 
 0 0 5 6 Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia - CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN VÀ SỐ PHÚC VẬN DỤNG CAO 
 2 2
 Ta được  f x d x sin x x cos x 1 d x 2 . 
 0 0
 1
 2 3
Câu 7. Cho hàm số  f x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn  f 1 0,  f x d x 2ln 2 
 0 2
 1 f x 3 1
 và  dx 2ln 2 . Tính tích phân  f xd x . 
 2 
 0 x 1 2 0
 Lời giải 
 Bằng công thức tích phân từng phần ta có 
 1
 1f x 1 1 1 1 1 
 2 dx f x d 1 1 f x 1 f x d x . 
 x 1 x 1 x 1
 0 x 1 0 0 0 
 1 1 3
 Suy ra  1 f x d x 2ln 2 . 
 0 x 1 2
 1
 2
 1 1 1 1 1 1 3
 Lại có  1 d12x 2 d x x 2ln1 x 2ln2 . 
 x 1 x 1x 1 x 1 2
 0 0 0
 Do đó 
 1 1 12 3 2
 2 1 1 1 
 f x d x 2 1 f x d x 1 d x 0 f x 1 d x 0 . 
 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 
 1
 Suy ra  f x 1 , do đó  f x x ln x 1 C . Vì  f 1 0  nên C ln 2 1. 
 x 1
 1 1 1
 Ta được  f x d x x ln x 1ln21d x ln2 . 
 0 0 2
 1
 2 1
Câu 8. Cho hàm số  f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1  thỏa mãn  f 1 0,  f x d x  và 
 0 11
 1 1 1
 x4 f x d x . Tính tích phân  f x d x . 
 0 55 0
 Lời giải 
 Bằng công thức tích phân từng phần ta có 
 1
 1 x5 1 x 5 1 1
 x4 f x d x f x f x d x . Suy ra  x5 f x d x . 
 5 5 11
 0 0 0 0
 1
 2 1
 Lại có:  x5 d x .  
 0 11
 1 1 1
 2 5 5 2
 Do đó  f x d x 2 x f x d x x d x 0 
 0 0 0
 1
 2
 5 5 1 6
 f x x d x 0. Suy ra  f x x , do đó  f x x C . 
 0 6
 1
 Vì  f 1 0  nên C . 
 6