Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 34: Thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối nón-trụ-cầu (VD-VDC)

 TÀI LIỆU ễN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYấN ĐỀ 34: THỂ TÍCH – DIỆN TÍCH XUNG QUANH – DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN CỦA 
 KHỐI NểN – TRỤ – CẦU – VD – VDC 
 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 MẶT NểN Cỏc yếu tố mặt nún: Một số cụng thức:
 S ￿ Đường cao: h SO . ( SO ￿ Chu vi đỏy: p 2 r .
 cũng được gọi là trục của hỡnh 
 ￿ Diện tớch đỏy: S r 2 .
 nún). đ
 l h ￿ Bỏn kớnh đỏy: 1 1 2
 l ￿ Thể tớch: V h.Sđ h. r .
 l r OA OB OM . 3 3
 ￿ Đường sinh: .
 B
 A r
 O l SA SB SM . ￿ Diện tớch xung quanh: 
 M S rl .
 ã xq
 Hỡnh thành: Quay vuụng ￿ Gúc ở đỉnh: ASB .
 ￿ Diện tớch toàn phần: 
 SOM quanh trục SO , ta được ￿ Thiết diện qua trục: SAB 
 2
 mặt nún như hỡnh bờn với: cõn tại S. Stp Sxq Sđ rl r . 
 h SO ￿ Gúc giữa đường sinh và mặt 
 .
 r OM đỏy: Sã AO Sã BO SãMO . 
 MẶT TRỤ Cỏc yếu tố mặt trụ: Một số cụng thức:
 ￿ Đường cao: h OO . ￿ Chu vi đỏy: p 2 r .
 2
 ￿ Đường sinh: l AD BC . Ta ￿ Diện tớch đỏy: Sđ r .
 cú: l h . ￿ Thể tớch khối trụ: 
 ￿ Bỏn kớnh đỏy: 2
 V h.Sđ h. r .
 r OA OB O C O D . ￿ Diện tớch xung quanh: 
 ￿ Trục là đường thẳng đi qua hai 
 Sxq 2 r.h .
Hỡnh thành: Quay hỡnh điểm O, O .
 ￿ Diện tớch toàn phần:
chữ nhật ABCD quanh ￿ Thiết diện qua trục: Là hỡnh chữ 
 S = S + 2S = 2pr.h + 2pr2 .
đường trung bỡnh OO , ta cú nhật ABCD. tp xq đ
mặt trụ như hỡnh bờn.
 Page 35 Lời giải
 Gọi a là độ dài đường sinh của hỡnh nún N .
 Mặt phẳng qua trục của hỡnh nún N cắt hỡnh nún theo thiết diện là DABC .
 Do đường sinh tạo với đỏy một gúc 60 nờn DABC là tam giỏc đều.
 Vỡ DABC cú bỏn kớnh đường trũn nội tiếp bằng 2 nờn ta cú
 a2 3 3a
 S = p.r Û = .2 Û a = 4 3 .
 DABC 4 2
 Suy ra lần lượt đường cao và bỏn kớnh của hỡnh nún là
 a 3 4 3. 3 a
 h = = = 6; r = = 2 3 .
 2 2 2
 Suy ra thể tớch khối nún giới hạn bởi hỡnh nún N là
 1 1
 V = .p.r 2.h = .p.12.6 = 24p .
 3 3
Cõu 2: Cắt khối nún N bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đỏy một gúc bằng 600 
 ta được thiết diện là một tam giỏc vuụng cõn cạnh huyền 2a . Thể tớch khối nún N bằng
 5 3 a3 5 3 a3 5 3 a3 3 a3
 A. . B. . C. . D. .
 24 72 8 72
 Lời giải
 Giả sử khối nún N cú đỉnh là S , tõm đỏy là O và thiết diện là giỏc vuụng cõn SAB .
 1
 Gọi I là trung điểm của AB , khi đú Sã IO 600 , SI AB a, SB SA a 2 .
 2
 Page 37 Gọi M là trung điểm của AB , tam giỏc OAB cõn tại đỉnh O nờn OM  AB và SO  AB 
 suy ra AB  SOM 
 Dựng OK  SM theo đú OK  AB nờn OK  SAB 
 Vậy gúc tạo bởi trục SO và mặt phẳng SAB là gúc Oã SM 30
 1
 Tam giỏc vuụng cõn SAB cú diện tớch 4a2 suy ra SA2 4a2 SA 2 2a
 2
 AB 4a SM 2a
 SO
 Xột tam giỏc vuụng SOM cú cosOã SM SO 3a
 SM
 Ta cú OB SB2 SO2 a 5
 2
 Vậy diện tớch xung quanh của hỡnh nún bằng Sxq rl 2a 10 
Cõu 5: Cho khối nún cú gúc ở đỉnh 120° và thể tớch bằng pa3 . Diện tớch xung quanh của khối nún đó 
 cho bằng
 A. 2 3pa2 . B. 3pa2 . C. pa2 . D. 4 3pa2 .
 Lời giải
 Theo giả thiết ÃSB = 120° ị ãASO = BãSO = 60° .
 Gọi bỏn kớnh đỏy hỡnh nún là r, chiều cao là h, đường sinh là l.
 r 3
 Vỡ D SOB vuụng ở O và cú OãSB = 60° ị h = SO = OB.tan 30° = .
 3
 1 1 r 3
 Thể tớch khối nún: V = pr 2h = pr 2.
 3 3 3
 pr3 3
 Û pa3 = ị r = a 3.
 9
 ị h = a và l = h2 + r 2 = 2a .
 Page 39 Gọi H là trung điểm của AB , K là hỡnh chiếu của O lờn SH .
 Vỡ tam giỏc OAB cõn tại O OH  AB .
 Mà AB  SO. vậy AB  SOI OK  AB .
 Mặt khỏc, theo cỏch vẽ OK  SH . nờn OK  SAB .
 a 3
 Vậy d O; SAB OK .
 3
 1
 Theo giả thiết Sã AO 300 SO SA.sin 300 SA .
 2
 3
 Mà Sã AB 600 SAB đều SH SA.
 2
 3 1 1
 Xột tam giỏc vuụng SOH vuụng tại O : OH 2 SH 2 SO2 SA2 SA2 SA2 .
 4 4 2
 2
 OH SA.
 2
 a 3 3 1 2
 Mà OK.SH SO.OH . SA SA. SA SA a 2 .
 3 2 2 2
Cõu 8: Cho hỡnh nún trũn xoay đỉnh S cú chiều cao SO 3 cm , bỏn kớnh đỏy r 5 cm . Một thiết 
 diện đi qua đỉnh của hỡnh nún cú khoảng cỏch từ tõm O đến mặt phẳng chứa thiết diện là 
 2,4 cm . Tớnh diện tớch của thiết diện đú.
 35
 A. S 15 cm2 . B. S 30 cm2 . C. S 20 cm2 . D. S cm2 .
 2
 Lời giải
 S
 K
 A
 I O
 B
 Thiết diện đi qua đỉnh là tam giỏc cõn SAB .
 Page 41 Lời giải
 1 1
 Thể tớch bể nước: V = pr 2 .h = pr 2 . 9 - r 2 .
 3 3
 ộr = - 6
 3 ờ
 1 1 ổ r ử
 Xột hàm số f (r)= pr 2 . 9 - r 2 ị f Â(r)= p.ỗ2r. 9 - r 2 - ữ= 0 Û ờr = 0
 ỗ 2 ữ ờ
 3 3 ốỗ 9 - r ứữ ờ
 ởờr = 6
 Vậy dung tớch bể lớn nhất khi r= 6
 Vậy chi phớ làm bể là
 2
 Phần lắp đậy của bể: T1 = 0,5.pr = 3p .
 Phần thành bể: T2 = 2.prl = 6 6p .
 Vậy tổng chi phớ thi cụng là 3p+ 6p 6 .
Cõu 11: Cho hỡnh nún đỉnh S , gúc ở đỉnh bằng 120 , bỏn kớnh đỏy bằng R 3a 3 . Mặt phẳng P đi 
 qua đỉnh S cắt nún theo thiết diện là 1 tam giỏc. Khi diện tớch thiết diện lớn nhất Smax , tớnh gúc 
 giữa thiết diện và mặt đỏy?
 A. 30o B. 45o C. 60o D. tan 2
 Lời giải
 *) Gọi thiết diện qua đỉnh của hỡnh chúp là SAB với M là trung điểm của AB .
 Vỡ gúc ở đỉnh bằng 120 nờn Oã SB 60o Sã BO 30o .
 3
 Xột SOB : SO OB.tan 30o 3a 3. 3a .
 3
 Đặt OM x . Với 0 x 3a 3 .
 Xột SOM : SM SO2 OM 2 9a2 x2 .
 Xột BOM : BM OB2 OM 2 27a2 x2 .
 Vậy AB 2BM 2 27a2 x2 .
 Page 43