Chuyên đề trắc nghiệm số phức – Toán Lớp 12

 CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN 
Phương pháp 
Cho hai số phức z a bi,z' a' b'i, a,b,a',b' ta cần nhớ các định nghĩa và 
phép tính cơ bản sau: 
 a a'
z z' .
 b b'
z z' a a' b b'i; z z' aa' b b'i. 
z.z' a bi a' b'i aa' bb' ab' a'bi. 
z' z'.z a' b'i a bi aa' bb' ab' a'bi 
 .
 2
 z z a2 b 2 a2 b 2
Vận dụng các tính tính chất trên ta có thể dễ dàng giải các bài toán sau. 
Ta cũng cần chú ý kết quả sau: Với in , n thì 
 k
 . Nếu n 4k k thì in i 4k i 4 1
 . Nếu n 4k 1 k thì in i 4k i 1.i i
 . Nếu n 4k 2 k thì in i 4k i 2 1. 1 1
 . Nếu n 4k 3 k thì in i 4k i 3 1. i i
I. CÁC VÍ DỤ MẪU
 31
Ví dụ 1. Cho số phức: zi . Tính các số phức sau: z; z;(z);12 3 z z.2
 22
 Giải 
Ta có 
 31
 . zi 
 22
 2
 3 1 3 3 1 1 3
 . 2 
 z i i i
 2 2 4 2 4 2 2
 . Tính (z)3
 3 3 2 23
 3 3 1 3 3 1 3 1 1 
 z i 3. . i 3. . i i 
 2 2 2 2 2 2 2 2 
 3 3 9 3 3 1
 i i i
 8 8 8 8
 3 1 1 3 3 3 1 3
 . 1 z z2 1 i i i
 2 2 2 2 2 2
Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 
a) z 9 5i 1 2i ; b) z 4 3i 4 5i ;
 3 2i
c) z 2 i ; d) z. 
 i1 
 Giải 
 2026
 1 7i 1013
Vậy 2 i. 
 4 3i
Ví dụ 4. Viết các số phức sau đây dưới dạng a bi, a,b R :
 33
a) z 2 i 1 2i 3 i 2 i ;
 2
 1 i 3 i 1 2i 2 i 1 i 
b) z; c) z; 
 1 i 2 i 1 i 2 1 i 3 1 i 
 5 6
 2i 1i 
 z z. 
d) 3 ; e) 5
 1 2i 2 2i 
 Giải 
 33
a) z 2 i 1 2i 3 i 2 i 
 23
 23 3.2i 2 3.2i 2 i 3 1 3.2i 3.2i 2i 6 3i 2i i2
 8 12i 6 i 1 6i 12 8i 6 5i 1 8 18i.
 1 i 3 i 1 2i
b) z 
 1 i 2 i 1 i
 2
 1i 2i2i 11i1i 
 1i1i 2i2i 1i1i 
 12ii 2 6ii 2 1i2i 2 2i7i3i 1 7
 i.
 11 41 11 2 5 2 1010
 2 2
 2 i 1 i 4 i 4i 1 i 
c) z 
 2 1 i 3 1 i 1 5i
 3 4i 1 i 3 4i2 7i 1 7i 1 5i 
 1 5i 1 5i 1 5i 1 5i 
 1 35i2 12i 34 12i 17 6
 i.
 1 25 26 13 13
 5 3 3
 2 i 2i 2 2 i 1 2i 
d) z 2 i 4 i2 4i .
 3 
 1 2i 1 2i 1 2i 1 2i 
 3
 5i 3
 3 4i i 3 4i i 3 4i 4 3i
 14 
 66 2
 1 i 1 i 1 1 i
 z . 1 i
e) 55 
 2 2i 25 1 i 32 1 i
 1 1 1 1
 .i4 .i 1 i .i 1 i i.
 32 32 32 32
Ví dụ 5. Tìm nghịch đảo của số phức sau: 
 1 i 5 2
a)z34i; b)z 32i; c)z ; d)z 3i2. 
 3 2i 
 Giải 
a) Xét z 3 4i . Ta có: 
 2
z1 1mi 1mi 11mi12miim 2 2 3m 2 3mi.
z là số thuần ảo 3 m2 0 m 3.
b) Ta có:
 m 1 2 m 1 i m 1 2 m 1 i 1 mi 
z 
 1 mi 1 mi 1 mi 
 m1m2m2 mm1 2m2i 
 .
 1m 2
z là số thực mm1 2m20 m2  m20 m1m 2.
Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y sao cho z z' , với từng trường hợp 
a)z 3x 9 3i,z' 12 5y 7i; 
b)z 2x 3 3y 1i,z' 2y 1 3x 7i. 
 23
c)(x2 2y i) 3 i y x 1 1 i 26 14i.
 9
 6 3i 
d) x2 y 2 2i 3i 1 y2 2x 320 896i
 4
 1i 
 Giải 
 3x 9 12 x 7
a) z z' 
 3 5y 7 y 2
Vậy x 7; y 2. 
 2x32y1 2x2y4 xy2 x2 
b) z z' 
 3y13x7 3x3y6 xy2 y0 
Vậy x 2; y 0. 
 23
c) Ta có 3 i 8 6i; 1 i 2 2i nên đẳng thức đã cho có dạng 
 x2 2y i86i yx1 2 2i 2614i 
Hay 8x22 2xy 14y 6 8 6x 2xy 14y 26 14i
 2
 4x22 xy 7y 10 4x xy 7y 10 4x xy 7y 10, 1 
Suy ra: 
 2 2 2
 3x xy7y11 x 2y3 2y3x,2 
Thế (2) vào (1) ta có x32 x 3x10 x1,x 1 2
Vậy các cặp số thực cần tìm là 
 x;y 1;1, 1 2; 2, 1 2;2 
 9
 6 3i 
d) Ta có 3i 1 64, 128i nên 64 x2 y 2 2i 128i y2 2x 320 896i
 4 
 1i 
Hay x2 y 2 2iy 2 2x1 514i 
 x2 y 2 5 x2 2x 1 0 x 1
Vì thế ta có: 
 22 
 y 2x 6 y 6 2x y2 
 2
1 m m 2i 1 m2 2mi m2 2mi i2 m i . 
 im im mi 1mim 1
 zi 
Lúc đó: 2 2 2 2 2
 1 m m 2i m i m i mi m 1 m 1 m 1
Ví dụ 12. Tính S 1 i i2 i 3 ... i 2012 .
 Giải 
Cách 1. Ta có: 
S 1 i i2 i 3 ... i 2012 iS i i2 i 3 i 4 ... i 2012 i 2013
Suy ra: 
 1 i2013 1 i
S iS 1 i2013 S 1
 1 i 1 i
Cách 2. Dãy số 1, i, i2 , i 3 , ...,i 2012 lập thành một cấp số nhân gồm 2013 số hạng, có 
công bội là i, số hạng đầu là 1. 
Do đó: 
 1i 2013
S 1 i i2 i 3 ... i 2013 1. 1
 1i 
Ví dụ 13. Số phức z x 2yi x,y thay đổi thỏa mãn z1 . Tìm giá trị lớn nhất, 
nhỏ nhất của biểu thức: P x y . 
 Giải 
Ta có z1 x2 4y 2 1 x 2 4y 2 11 
Từ P x y y x P , thay vào (1) ta được 5x22 8Px 4P 1 0 2 
Phương trình (2) có nghiệm 
 55
 ' 16P22 5 4P 1 0 P 
 22
 5 2 5 5 5 2 5 5
Với P z i . Với P z i . 
 2 5 10 2 5 10
Suy ra: 
 5 2 5 5 5 2 5 5
minP khi zi ; maxP khi zi . 
 2 5 10 2 5 10
Ví dụ 14. Cho số phức z cos2 sin cos i , với số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ 
nhất, lớn nhất của z . 
 Giải 
Ta có: 
 2
 z cos22 2 sin cos cos 2 sin2 1
 sin2 2 sin2 2
 2
Đặt t sin2 , 1 t 1. Xét hàm số f t t t 2, t 1;1
 1 19
Ta có: f't 2t1 f't 0 t . Ta có: f 1 0, f 1 2 , f 
 2 24 
 2 i 26i 13 15 25i
 z 3 5i z 322 5 34
 4 i 5
Vậy chọn đáp án A. 
Dùng MTCT: 
 10
Ví dụ 19: Xét số phức z thoả mãn (1 2i) z 2 i. Mệnh đề nào sau đây 
 z
đúng? 
 3 1 13
 A. z2 B. z 2 C. z D. z
 2 2 22
 Hướng dẫn giải 
Cách 1: Ta có 
 10 10 10
(12i)z 2i z2 2z1i z 2 2 z 1 i
 z z z
 2 2 10
 z 2 2 z 1 z 1
 z 2
Vậy chọn đáp án D. 
Cách 2: Dùng MTCT 
 10 10
 Ta có: (1 2i ) z 2 i z 
 z (1 2i ) z 2 i
II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
 C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1. Trong những số sau số nào là số ảo: 3 , 3 3 , 4 3 , 5 3 , 6 3
 A. B. C. D. ; ;
 Hướng dẫn giải 
Chọn đáp án D do căn bậc 2 của số thực âm không tồn tại. 
Câu 2. Số nào trong các số sau là số thực? 
 A. 3 2ii 2 2 B. 2 ii 5 2 5 
 2 2 i
 C. 13 i D. 
 2 i
 Hướng dẫn giải 
 2 ii 5 2 5 4 
 . Chọn đáp án B.
Câu 3. Số nào trong các số sau là số thuần ảo?