Chuyên đề Sự tương giao đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương - Đại số 12

 Giải tích 12| 
 GIẢI TÍCH 12. 
 CHUYÊN ĐỀ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG 
 PHƯƠNG 
Chú ý. 
Số giao điểm của hai đồ thị bằng số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó. 
Bài toán 1. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y ax42 bx c a 0 và đường thẳng yk . 
Phương pháp: 
Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số 
+) Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ. 
+) Bằng trực quan kết luận được số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng. 
Cách 2: Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm 
+) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng 
 là: ax4 bx 2 c k ax 4 bx 2 c k 0 . Số nghiệm của phương trình này là số giao điểm 
của đồ thì hàm số và đường thẳng đã cho. 
+) Đặt t x2 t 0 . Phương trình trở thành at2 bt c k 0* . 
TH1: Phương trình * có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì chúng không có điểm chung. 
TH2: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì chúng có hai điểm chung. 
TH3: Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì chúng có 4 điểm chung. 
TH4: Phương trình có nghiệm kép dương thì chúng có 2 điểm chung. 
TH5: Phương trình có 01 nghiệm dương và 01 nghiệm bằng 0 ck thì chúng có 3 điểm chung. 
 b 0
TH6: Nếu phương trình trở thành at2 00 a thì chúng có 1 giao điểm duy nhất. 
 ck 
Chú ý: Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số luôn nhận trục tung làm 
trục đối xứng và luôn cắt trục tung tại 1 điểm duy nhất Cc 0; . 
 Ví DỤ 1 
 Ví 
 Số giao điểm của đồ thị hàm số y x42 55 x và đường thẳng y 1 là: 
 A. 8 . B. 4 . C. 6 . D. 2 . 
 Lời giải 
Chọn A 
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 
 x4 5 x 2 5 1 x 4 5 x 2 4 0 x 2 4  x 2 1
 xx42 5 5 1 
 4 2 4 2 2 2
 x 5 x 5 1 x 5 x 6 0 x 3  x 2
 x 2  x 2  x 1  x 1
 x 3  x 3  x 2  x 2
Vậy có giao điểm nên chọn đáp án A. 
 1 Giải tích 12| 
 2
 x 2 1 0 x 4
 42 xx 44  
 xx 2 3 2 4 . 
 2 x 0 x 0
 x 24 
Vì số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm cũng chính là số giao điểm của hai đồ thị nên hai 
đồ thị có 3 giao điểm. Chọn đáp án A. 
 Ví DỤ 5
 Ví 
 Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm trùng phương. Giá trị của m để phương trình f x m có 4 
 nghiệm phân biệt là 
 A. mm 0; 3. B. 1 m 3. C. 3 m 1. D. m 0. 
 Lời giải 
Chọn A 
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f x m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 0, 
m 3. 
 Ví DỤ 6
 Ví 
 Các giá trị của tham số m để phương trình x22 x 2 m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt 
 A. 0 m 1. B. m 0. C. m 1. D. m 0. 
 Lời giải 
Chọn A 
Xét hàm số y x422 x y 44 x3 x 
 x 0
 3 
y 0 4 x 4 x 0 x 1. 
 x 1
 3 Giải tích 12| 
Đồ thị hàm số y x42 54 x : 
Từ đồ thị hàm số y x42 54 x 
Bước 1: Ta giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành. 
Bước 2: Lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của đồ thị lên phía trên trục hoành và xóa bỏ đi phần 
đồ thị nằm phía dưới trục hoành ta được đồ thị hàm số y x42 54 x . 
Số nghiệm của phương trình x42 5 x 4 log m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số 
 2 
y x42 54 x và đường thẳng ym log với m 0. Dựa vào đồ thị hàm số y x42 54 x ta 
 2 
thấy để phương trình x42 5 x 4 log m có 8 nghiệm thì: 
 2 
 9
0 logmm 1 4 29 . 
 2 4
 Ví DỤ 8 
 Ví 
 Đồ thị hàm số y x42 23 x và trục hoành có bao nhiêu điểm chung? 
 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 
 5 Giải tích 12| 
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng y 3 cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm phân biệt. Do đó phương 
trình fx 3 có 3 nghiệm thực phân biệt. 
 Ví DỤ 11
 Ví 
 Số giao điểm của đồ thị hàm số y x42 41 x với trục hoành là: 
 A. 1. B. 4 . C. 0. D. 3. 
 Lời giải 
Chọn B 
Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số 
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
Cách 2: 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là: 
xx42 4 1 0 1 
 t 2 3 0
Đặt t x2 t 0 phương trình trên trở thành: tt2 4 1 0 (2) . 
 t 2 3 0
Vì phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt dương nên phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt. 
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
 7 Giải tích 12| 
 42
Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành là x m 1 x m 0 1 
Đặt t x2 t 0 ta được phương trình t2 m 1 t m 0 2 
Phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt 
 mm 1 2 4 0
 m 0
dương Pm 0 
 m 1
 Sm 10 
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là t 1; t m nên phương trình có 4 nghiệm là 
x1 m x 2 11 x 3 x 4 m (do m 1). 
Nhận xét rằng hàm số y x42 m 1 x m là hàm chẵn (đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng) nên 
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành có phần phía trên và phần phía dưới trục 
hoành bằng nhau khi SS 
 HH12
 1 m
 x4 m 11 xmdx 2 x 4 m xmdx 2 
 01
 1 m
 x4 m 11 xmdx 2 x 4 m xmdx 2 
 01
 m 53
 42 xxm
 x m 1 x m dx 0 m 1 mx 0
 0 530
 mm 1
 1 0 m 5 (thoả mãn). 
 53
 Ví DỤ 13
 Ví 
 Tìm m để đồ thị y x42 22 mx m cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình 
 phẳng phần phía trên trục giới hạn bởi và trục bằng diện tích hình phẳng phần phía 
 dưới trục giới hạn bởi và . 
 A. m 3. B. m 1. C. m 0. D. m 2 . 
 Lời giải 
Chọn A 
Phương trình hoành độ giao điểm của và : x42 2 mx m 2 0 1 
Đặt t x2 , t 0 , ta có phương trình: t2 2 mt m 2 0 2 . 
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 ' mm2 2 0
dương S 2 m 0 m 2 . 
 Pm 20 
 9 Giải tích 12| 
 x3 x4
 x4 44 x 2 m dx x 4 x 2 m dx 
 0 x3
 x4 xx534
 x4 4 x 2 m dx 044 mx 0 3 x 4 20 x 2 15 m 0 
 4 4 4
 0 53
 42
 x44 4 x m 0 3 
 x là nghiệm của hệ: 
 4 42
 3x44 20 x 15 m 0 4 
 3m
Lấy 3. 3 4 x2 thay vào (3) ta có 
 4 2
 mL0 
 9 2 
 mm 50 20 
 4 m 
 9
 20
Vậy m là giá trị cần tìm. 
 9
 Ví DỤ 15
 Ví 
 42
 Cho hàm số y x 3 m 1 x 3 m 2 , m là tham số và có đồ thị là Cm . Tìm m 0 để 
 cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt và tiếp tuyến với tại giao điểm có hoành độ lớn nhất 
 hợp với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 24 . 
 1 3 2
 A. m . B. m 1. C. m . D. m . 
 3 2 3
 Lời giải 
Chọn D 
Phân tích: 
+) Ycbt: y 0 có nghiệm phân biệt? 
+) Tìm nghiệm xmax và viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại 
y y xmax y'; x max x x max d ; Gọi giao điểm của d với các trục Ox, Oy lần lượt tại AB, . 
 1
Khi đó ta có: S x. y 24 . 
 OAB2 A B
 Lời giải 
Xét phương trình: x4 3 m 1 x 2 3 m 2 0 x 2 1; x 2 3 m 2. Do đó với thì đồ thị hàm 
số đã cho luôn cắt trục hoành tại điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm là: 
x 3 m 2; x 1; x 1; x 3 m 2 và dễ dàng nhận thấy hoành độ lớn nhất là xm 32( Vì 
mm 0 3 2 1 ). 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y y 3 m 2 y ' 3 m 2 x 3 m 2 
 y 6 m 2 3 m 2 x 3 m 2 ; d 
Ta dễ dàng tính được hoành độ, tung độ giao điểm của với các trục tọa độ là: 
xAB 3 m 2; y 6 m 2 3 m 2 . 
 11