Chuyên đề Sự tương giao đồ thị hàm số bậc ba - Đại số 12

 Giải tích 12 | 
 GIẢI TÍCH 12. 
 CHUYÊN ĐỀ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA 
A. LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA 
Phương pháp chung cho bài tốn tương giao: 
Cho hai hàm số y f x và y g x cĩ đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Khi đĩ số giao điểm của 
hai đồ thị C1 và C2 chính bằng số nghiệm của phương trình f x g x và hồnh độ giao điểm 
chính là nghiệm của phương trình đĩ. 
Đặc biệt: Phương trình fx 0 là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị C1 với trục hồnh 
Ox . 
Phương pháp giải tương giao đồ thị của hàm số bậc ba 
 32
Phương trình hồnh độ giao điểm được đưa về dạng ax bx cx d 01 . 
Để giải bài tốn về tương giao của đồ thị hàm bậc ba với đường thẳng, parabol hoặc đồ thị hàm bậc 
ba khác về nguyên tắc ta sẽ xét phương trình hồnh độ giao điểm (với bậc cao nhất là bậc ba). Tuy 
nhiên, trong chương trình phổ thơng thì phương trình bậc ba khơng được học cách giải tổng quát, do 
đĩ cĩ nhiều bài phải dùng đến những kĩ thuật khác nhau xoay quanh các phương pháp: nhẩm nghiệm 
hữu tỉ của phương trình bậc ba, dựa vào hình dạng đồ thị và cực trị hàm bậc ba, sao cho phù hợp. 
Đối với những bài tốn cĩ chứa tham số, thì ta nên áp dụng các cách giải theo các thứ tự ưu tiên sau: 
Ưu tiên 1: Biết được 1 cĩ một nghiệm x . khi đĩ 
 x 
 32 2 
ax bx cx d 0 x a1 x b 1 x c 1 0 2 
 a1 x b 1 x c 1 0
 2
Tùy yêu cầu mà ta cĩ điều kiện tương ứng của phương trình a1 x b 1 x c 1 0 . 
Ưu tiên 2: Khơng biết được nghiệm của nhưng cĩ thể cơ lập biến số và tham số về 2 vế của 
phương trình rồi lập BBT của hàm số chứa biến đã được cơ lập. Quan sát BBT sẽ nhìn thấy điều kiện 
để phương trình thỏa mãn yêu cầu. 
Ưu tiên 3: Hàm số f x ax32 bx cx d cĩ các điểm cực trị là số đẹp, khi đĩ ta cĩ 
+) 1 cĩ 1 nghiệm fx khơng cĩ cực trị hoặc cĩ cực trị thỏa mãn ffCD.0 CT . 
+) 2 cĩ 2 nghiệm phân biệt cĩ cực trị thỏa mãn ff.0 . 
 CD CT
+) cĩ 3 nghiệm phân biệt cĩ cực trị thỏa mãn ff.0 . 
 CD CT
Ưu tiên 4: Hàm số cĩ các điểm cực trị là số lẻ, khi đĩ ta sử dụng tới đường 
thẳng đi qua hai điểm cực trị và kết hợp với định lý Viet để tính ffCD. CT . 
 1 | Giải tích 12 | 
5)Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ âm. 
 f có 2 cực trị
 0 
 2 yyCĐ .0CT 
 pt a1 x b 1 x c 1 0 co ù2 hoặc Pt (1) cĩ 3 nghiệm âm phân biệt. 
 xxCĐ 0,CT 0
 nghiệm âm pb khác 
 a. f (0) 0 ( hay ad 0)
B. CÁC DẠNG TỐN 
Dạng 1. Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba (khơng tham số) với đường thẳng. 
Xét hai đồ thị C : y f x và D : y g x . 
Phương trình hồnh độ giao điểm của C và D là: f x g x . 1 
Số điểm chung giữa và đúng bằng số nghiệm của phương trình . 
 Ví DỤ 1
 Ví 
 [2D1-5.4-1] Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 33 x và đường thẳng yx . 
 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . 
 Lời giải 
Chọn C. 
 x 1
 1 13
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x3 33 x x xx3 4 3 0 x . 
 2
 1 13
 x 
 2
Vậy đồ thị hai hàm số cĩ ba giao điểm. 
 3 | Giải tích 12 | 
Chọn A. 
Xét phương trình hồnh độ giao điểm. 
x3 2 x 2 x 1 1 2 x x 3 2 x 2 3 x 2 0 x 1 
Suy ra số giao điểm cần tìm là 1. 
 Ví DỤ 6
 Ví 
 [2D1-5.4-1] Cho hàm số y f x xác định trên và cĩ đồ thị như hình bên. 
 y
 3
 x
 1
 -1 O
 -1
 1
 Hỏi phương trình fx 2 cĩ bao nhiêu nghiệm? 
 2
 A. 2 . B. 0 . C. 6 . D. 4 . 
 Lời giải 
Chọn D 
Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số y f x 2 . 
Tiếp theo giữ phần đồ thị phía bên phải đường thẳng x 2, xĩa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường 
thẳng . 
Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ lại ở trên qua đường thẳng . Ta được tồn bộ phần 
đồ thị của hàm số y f x 2. (hĩnh vẽ bên dưới) 
 y y f x 2 y y f x 2
 3
 1
 x x
 O 3 O 3
 1 2
 1
 -1 -1 y
 2
 1
Dựa vào đồ thị hàm số y f x 2 , ta thấy đường thẳng y cắt đồ thị hàm số 
 2
tại 4 điểm phân biệt  phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt. 
Dạng 2. Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba (khơng tham số) với parabol hoặc đồ thị hàm số 
bậcba khác. 
 Ví DỤ 7 
 Ví 
 [2D1-5.4-1] Đồ thị hàm số y x32 31 x và đồ thị hàm số y x323 x cĩ bao nhiêu giao điểm? 
 A. . B. 3 . C. . D. . 
 5 | Giải tích 12 | 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 1 
Chọn B 
Phương trình đã cho là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số.Vì hai đồ thị đã cho 
cĩ 3 giao điểm nên phương trình cĩ 3 nghiệm. 
 Ví DỤ 11 
 Ví 
 [2D1-5.4-1] Đồ thị hàm số y x3 31 x và đồ thị hàm số y (x 2)3 được vẽ như hình vẽ. Hỏi 
 phương trình xx33 3 1 (x 2) cĩ bao nhiêu nghiệm? 
 2 0
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
Chọn D 
Phương trình đã cho là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số.Vì hai đồ thị đã cho 
cĩ 2 giao điểm nên phương trình cĩ 2 nghiệm. 
 Ví DỤ 12 
 Ví 
 [2D1-5.4-2] Biết đồ thị hàm số y x32 3 x 3 x 2 và đồ thị hàm số y x32 3 x 2 x 1 cĩ duy 
 nhất một giao điểm là A(;) a b . Hãy tính ab . 
 A. . B. . C. . D. . 
 3 Lời giải 
 7 | Giải tích 12 | 
 1
 2m 1 0 m 
Khi đĩ yêu cầu bài tốn C cắt dm tại 1 điểm duy nhất 2 
 2m 1 1 
 m 0
 Ví DỤ 14
 Ví 
 [2D1-5.4-2] Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y x32 ax cắt parabol 
 y 10 x2 x 1 tại đúng 1 điểm? 
 A. 9. B. 10. C. 11. D. 8 . 
 Lời giải 
Chọn B 
Phương trình hồnh độ giao điểm: x32 a 10 x x 1 0
Vì x 0 khơng là nghiệm của phương trình nên phương trình tương đương với 
 xx3 1
 a 10 , x 0 
 x2
 xx3 1
Xét hàm số y , . 
 x2
 xx3 2
Ta cĩ: y 3 0 x 1 
 x
Bảng biến thiên: 
Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại đúng 1 điểm thì a 10 1 a 11 
Mà là số nguyên âm nên a 10; 9;...; 1. 
Vậy cĩ 10 giá trị nguyên âm của . 
 Ví DỤ 15 
 Ví 
 [2D1-5.4-2] Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m 2019; 2019 để đồ thị hàm số 
 y x3 ( m 2) x 1 cắt đường thẳng y 2x 1 tại một điểm duy nhất cĩ hồnh độ dương 
 A. 2019. B. 0. C. 2018 D. 2022 
 9 |