Chuyên đề Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ đứng, khối lăng trụ đều - Hình học 12

 Hình học lớp 10 | 
 HÌNH HỌC 12. 
 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
 BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN 
 Dạng 4: Thể tích khối lăng trụ đứng – đều 
Phần 1: Lăng trụ tam giác 
A. LÝ THUYẾT 
+ Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Như vậy các mặt bên 
của lăng trụ đứng hình chữ nhật. 
 Chiều cao của hình lăng trụ đứng chính là 
 cạnh bên của hình lăng trụ đứng. 
+ Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Như vậy các mặt bên của hình 
chữ nhật là các hình chữ nhật bằng nhau. 
Chú ý. Hình lăng trụ tứ giác đều là một hình hộp đứng đặc biệt có đáy là hình vuông. Hình hộp đứng 
thì chỉ cần đáy là hình bình hành chứ chưa là hình vuông. 
 Hình lăng trụ đều thì hiển nhiên là hình lăng trụ đứng. 
+ Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. 
 Chiều cao của hình hộp đứng chính là cạnh 
 bên của hình hộp. 
+ Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. 
1 Hình học lớp 10 | 
 Ví dụ 2 
 Cho khối lăng trụ đứng có , đáy là hình thoi với 
 . Thể tích khối lăng trụ là 
 Lời giải 
 B
 C
 A
 D
 B'
 C'
 A'
 D' 
 1
Ta có S . AC . BD a2 3 . 
 ABCD 2
Do đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng V a. a23 3 a 3 . 
 Ví dụ 3 
 Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại và , , 
 mặt phẳng tạo với đáy một góc . Thể tích của khối lăng trụ bằng mấy? 
 Lời giải 
 A' C'
 B'
 A C
 H
 B
3 Hình học lớp 10 | 
Lập luận như trường hợp 1 ta cũng có A' BD cân tại B. Do đó BO là tia phân giác cũng đồng thời 
là đường cao. 
 a 2
 A O a62 a
Tính được BO 2 B O là điều vô lý vì là cạnh huyền trong tam 
 tan600 3 6 2
giác vuông BB O. 
 Bài tập tự luyện 
Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông là 3aa ,4 và 
chiều cao khối lăng trụ là 6a . Thể tích của khối lăng trụ bằng 
A. Va 27 3 . B. Va 12 3 . C. Va 72 3 . D. Va 36 3 . 
 Lời giải 
Chọn D 
Thể tích khối lăng trụ Vh .B. 
Trong đó ha 6 . 
 1
Diện tích đáy B .3 a .4 a 6 a2 . 
 2
Vậy V 6 a .6 a23 36 a 
 Câu 2. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC. A B C có đáy là một tam giác vuông tại A . Cho 
AC AB2 a, góc giữa AC và mặt phẳng ABC bằng 30.Tính thể tích khối lăng trụ 
 . 
 23a3 a3 3 43a3
A. . B. . C. a3 3 . D. . 
 3 3 3
 Lời giải 
Chọn D 
5 Hình học lớp 10 | 
 a23 a a 2
Vì ABC.''' A B C là lăng trụ đứng nên V S.'. AA . 
 ABC.''' A B C ABC 482
 23a
Câu 4. Cho hình lăng trụ đều ABC. A B C có cạnh đáy bằng . Đường thẳng BC tạo với mặt 
 3
phẳng ACC A góc α thỏa mãn cot α2 . Thể tích khối lăng trụ bằng 
 4 1 1 2
A. a3 11. B. a3 11 . C. a3 11 . D. a3 11. 
 3 9 3 3
 Lời giải 
Chọn C 
 A I C
 B
 α
 A' C'
 B'
Gọi I là trung điểm AC , suy ra BI AC . 
Mặt khác do BI CC nên BI ACC A . 
Do đó α BC , ACC A BC , IC BC I . 
 2
 2aa 3 32 3 2a 3 3
Ta có: S . và BI . a. 
 ABC 
 3 4 3 32
 CI'
Theo đề bài: cot α 2 2 C ' I 2 a. 
 BI
 aa2 33
Suy ra CC' C ' I2 CI 2 4 a 2 . 
 33
 aa2 3 33 1
Vậy thể tích khối lăng trụ : V S. CC ' . a3 11. 
 ABC 3 3 3
 Câu 5. Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa đường 
AC và mặt ()ABB là 30? 
 3 6 3 6
A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. a3 . 
 4 4 2 8
 Lời giải 
7 Hình học lớp 10 | 
Phần 2: Lăng trụ tứ giác 
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (Có giải chi tiết) 
 Ví dụ 1 
 Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng là bao nhiêu? 
 Lời giải 
Khối lăng trụ tứ giác đều ABCD. A B C D có tất cả các cạnh bằng 2a chính là hình lập phương. 
Vậy Va 8 3 . 
 Ví dụ 2 
 Tính theo thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là hình thoi cạnh , góc 
 bằng và cạnh bên bằng . 
 Lời giải 
 a3 3
V AA . S a . a2 .sin60  . 
 ABCD 2
 Ví dụ 3 
 Cho khối hộp chữ nhật có và . Tính thể tích của 
 khối hộp đó. 
 Lời giải 
9 Hình học lớp 10 | 
A. 100. B. 20 . C. 64 . D. 80 . 
 Lời giải. 
Chọn D. 
Diện tích đáy : S 16 . 
Chiều cao của khối lăng trụ h 5. 
Thể tích khối lăng trụ :V S. h 16.5 80 . 
Câu 2. Một hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt bằng 20cm2 , 28 cm 2 , 35 cm 2 . Tính thể tích của 
khối hộp chữ nhật đó. 
A. V 160 cm3 . B. V 140 cm3 . C. V 165 cm3 . D. V 190 cm3 . 
 Lời giải 
Chọn B 
 b
 a
 c
Gọi abc,, tương ứng là độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật. 
 ab 20 b 4
Ta có: bc 28 a 5 . Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật là: 
 ca 35 c 7
Câu 3. Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng 
 . Diện tích của mặt bên bằng S . Thể tích của khối chóp đã cho là 
 1
 A. dScos . B. dSsin . C. dSsin . D. dSsin . 
 2 2 2
 Lời giải 
Chọn A 
Xét hình bên. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC . 
Ta có AH AC.sin ACH d .sin 90o d .cos . Suy ra, V AH. S dS .cos . 
 22 BCC'' B 2
11