Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 9: Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 9. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
 •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương -
 PHẦN A. LÝ THUYẾT 
 I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM
 1. Hệ trục toạ độ trong không gian
 Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz
 trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz . 
 Chú ý: Ta gọi i, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz . 
 Trong hệ toạ độ Oxyz (Hình), ta gọi: điểm O là gốc toạ độ; Ox là trục hoành, Oy là trục 
 tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng (Oxy),( Oyz ),( Ozx ) là các mặt phẳng toạ độ. 
 Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz . 
 Nhận xét: Các mặt phẳng toạ độ (Oxy),( Oyz ),( Ozx ) đôi một vuông góc với nhau. 
Ví dụ 1: Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình. 
 a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?
 b) Trục Oz có vuông góc với mặt sân hay không?
 Giải
 a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ Oxy .
 b) Trục Oz vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) nên trục Oz vuông góc với mặt sân.
 2. Toạ độ của một điểm
 Ta có định nghĩa sau (Hình):
 Facebook Nguyễn Vương Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
Giải 
Gọi Axyz1 111; ;,;;,;; Axyz 2222 Axyz 3333 . 
Với A(4;5;3) , đặt xA 4,yAA 5, z 3. Ta có: 
 x1 xA 4; y1 yA 5 và z1 0 (vì A1 nằm trên mặt phẳng (Oxy)) . Do đó A1(4;5;0) . 
 y2 yA 5; z2 zA 3 và x2 0 (vì A2 nằm trên mặt phẳng (Oyz)) . Do đó A2 (0;5;3). 
 x3 xA 4; z3 zA 3 và y3 0 (vì A3 nằm trên mặt phẳng (Ozx)) . Do đó A3 (4;0;3) . 
II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ  
Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ OM . 
   
Nếu OM có tọa độ (a;;) b c thì ta viết OM ( a;;) b c , trong đó a gọi là hoành độ của vectơ 
    
 OM, b gọi là tung độ của vectơ OM và c gọi là cao độ của vectơ OM (Hình). 
Chú ý: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , ta có: 
  
- OM ( a;;)(;;) b c M a b c ;
-Vectơ đơn vị i trên trục Ox có tọa độ là i (1;0;0) ; 
Vectơ đơn vị j trên trục Oy có tọa độ là j (0;1;0) ; 
Vectơ đơn vị k trên trục Oz có toạ độ là k (0;0;1) (Hình). 
 Facebook Nguyễn Vương 3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
  
 Do đó, OA 1 i 2 j ( 3) k i 2 j 3 k . 
 b) Vì u (3; 4;2) nên u 3i ( 4) j 2 k 3 i 4 j 2 k .
 Ta có định lí sau: 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A x; y; z và B x; y; z . Khi đó, 
  A AA B BB
 ta có: AB xB xABABA; y y; z z . 
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình bình hành có ba đỉnh A(1;1; 2),B (4;3;1) và 
 C( 1; 2;2). 
  
 a) Tìm toạ độ của vectơ AB . 
 b) Tìm toạ độ của điểm D .
 Giải
 a) Ta có:
 AB (4 1;3 1;1 ( 2)) (3;2;3). 
 b) Gọi tọa độ của điểm D là x ; y; z , ta có: 
  D DD
 DC 1 xD ; 2 yDD ;2 z . 
 Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 
 1 xD 3 xD 4
   
 DC AB 2 yD 2 yD 4
 2 zD 3 zD 1.
 Vậy D( 4; 4; 1) . 
 III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ,
 PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ 
 Nếu u x1; y1; z 1 và v x2 ; y2; z 2 thì
 u v x x; y y;; z z 
 1 2 1 2 1 2
 u v x x; y y;; z z 
 1 2 1 2 1 2
 mu mx1; my 1; mz 1 , m .
 Nhận xét: Hai vectơ u x1; y1; z 1 , v x2 ; y 2 ; z 2 ( v 0) cùng phương khi và chỉ khi có một 
 x1 mx2
 số thực m sao cho y1 my2 . 
 z1 mz2
Ví dụ 7: Cho a ( 2;3;2),b (2;1; 1), c (1;2;3) . Tính tọa độ của mỗi vectơ sau: 
 a) 3a ; 
 b) 2a b ; 
 3 
 c) a 2b c .
 2
 Giải 
 Ta có: 
 a) 3a (3 ( 2);3  3;3  2) . Vậy 3a ( 6;9;6) .
 b) Ta có 2a ( 4;6;4) và b (2;1; 1) . Do đó, 2a b ( 4 2;6 1;4 ( 1)) . 
 Vậy 2a b ( 6;5;5) . 
 3 3 9 
 c) Do a ( 2;3;2) và 2b (4;2; 2) nên a 2b (2;5;0) . Ngoài ra, vì c ; 3; 
 2 2 2 
 3 1 9 
 nên a 2b c ;2; . 
 2 2 2 
 Facebook Nguyễn Vương 5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 BA 12 02 ( 1) 2 2,
 BC 22 1 2 0 2 5,
 AC 12 1 2 1 2 3.
 Vậy chu vi của tam giác ABC bằng 2 3 5 . 
 c) Ta có:
   
   BA BC 1 2 0  1 ( 1)  0 2 10
 cosABC cos( BA , BC )   .
 | BA| | BC | 2 5 10 5
 VI. CÁCH TÌM TOẠ ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ VUÔNG GÓC VỚI HAI VECTƠ CHO
 TRƯỚC
 Ta có định lí sau:
 Cho hai vectơ u x1; y1; z 1 và v x2 ; y2; z 2 không cùng phương.
 Khi đó, vectơ w yz1 2 yzzx 2112; zxxy 2112; xy 21 vuông góc với cả hai vectơ u và v .
 Nhận xét 
 - Vectơ w trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ u và v , kí hiệu là
 w [ u,] v .
 a b
 - Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: ad bc , với a, b,, c d là các số thực.
 c d
 Khi đó, với hai vectơ u x1; y1; z 1 và v x2 ; y2; z 2 , ta có:
 y1 z1 z 1 x 1 x 1 y 1 
 [u,];; v yz12 yzzx 2112;;. zxxy 2112 xy 21 
 y2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 
 -Hai vectơ u,v không cùng phương khi và chỉ khi vectơ w [ u, v ] 0 . 
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai vectơ u (1; 2;3) và v (2;0; 3) . Hãy chỉ ra
 toạ độ của một vectơ w khác 0 vuông góc với cả hai vectơ u và v .
 Giải 
 Ta có: 
 2 3 3 1 1 2 
 [u , v ] ; ; (6;9;4). 
 0 3 3 2 2 0 
 Chọn w (6;9;4) . Theo định lí trên, vectơ w vuông góc với cả hai vectơ u và v .
 PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 NHẮC LẠI LÝ THUYẾT 
 1.Hệ trục tọa độ Oxyz:
 Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau. 
 Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i (1;0;0) . 
 Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1;0) . 
 Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0;0;1). 
 Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ. 
 2.Tọa độ vectơ: Vectơ u xi yj zk u ( xyz;;) . 
 Cho a ( a1; a2 ; a 3 ), b ( b1 ; b 2 ; b 3 ) . Ta có: 
  a b ( a1 b1;;) a 2 b 2 a 3 b 3  a cùng phương 
  ka ( ka1;;) ka2 ka 3 b a kb( k R)
 Facebook Nguyễn Vương 7 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 DẠNG 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Có thể lập một hệ toạ độ
    
 Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B và các vectơ i, j, k lần lượt là các vectơ BABCBB ,, 
 không? Giải thích vì sao. 
Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật OABC O A B C . Hệ toạ độ Oxyz được chọn sao cho các tia 
 Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các điểm ACO, , (Hình). 
 a) Mặt bên OCC O nằm trong mặt phẳng toạ độ nào?
 b) Ox có vuông góc với mặt bên OCC O không?
 c) Mặt bên OAA O có vuông góc với mặt phẳng toạ độ Oxy không?
Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật OABC O A B C có cạnh OA 4, OC 6, OO 3. Chọn hệ trục tọa độ 
 Oxyz có gốc tọa độ O ; các điểm ACO, , lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz . Xác định tọa độ 
 các điểm ABB, , . 
Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đỉnh A trùng với gốc O , 
    
 các vectơ AB , AD , AA theo thứ tự cùng hướng với i, j, k và có AB 8, AD 6, AA 4 . 
     
 Tìm toạ độ các vectơ AB , AC , AC và AM với M là trung điểm của cạnh C D . 
Câu 5. Hình minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 
 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm M . 
Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật OBCD. O B C D có 
 BD(2;0;0), (0;1;0) ,O (0;0;1) . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. 
Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác ABC. A B C có 
 ABC(1;0;2), (3;2;5), (7; 3;9) và A (5;0;1) . 
 Facebook Nguyễn Vương 9