Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 CHUYÊN ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA 
1. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y f() x xác định trên tập D . 
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f() x trên tập D nếu f ()x M với mọi x D và
tồn tại x0 D sao cho f x0 M . 
Kí hiệu M max f ()x hoặc M max f ()x . 
 x D D
- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f() x trên tập D nếu f ()x m với mọi x D và tồn
tại x0 D sao cho f x0 m . 
Kí hiệu m min f (x) hoặc m min f (x ) . 
 x D D
Chú ý 
- Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ()x (mà không nói "trên tập
D ") thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của f ()x trên tập xác định của hàm số.
- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D , ta thường lập bảng biến thiên của hàm
số trên tập D để kết luận.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f() x 1 x2 . 
Giải 
Tập xác định của hàm số là [ 1;1]. 
Cách 1. Sử dụng định nghĩa. 
Ta có: 
- f() x 1 x2 0 ; dấu bằng xảy ra khi 1 x2 0, tức là khi x 1 hoặc x 1. 
Do đó minf ( x ) f ( 1) f (1) 0. 
 [ 1;1]
- f() x 1 x2 1; dấu bằng xảy ra khi 1 x2 1, tức là khi x 0 . Do đó maxf ( x ) f (0) 1.
 [ 1;1]
Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên. 
 2
 1 x x
Với x ( 1;1) , ta có: y ;y 0 x 0 . 
 2 1 x2 1 x2
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [ 1;1] : 
Từ bảng biến thiên, ta được: minf ( x ) f ( 1) f (1) 0;maxf ( x ) f (0) 1.
 [ 1;1] [ 1;1]
Chú ý. Trong thực hành, ta cũng dùng các kí hiệu minD y ,max D y để chỉ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 
(nếu có) của hàm số y f() x trên tập D . Do đó, trong Ví dụ 1 ta có thể viết: 
min[ 1;1] y y( 1) y (1) 0;max[ 1;1] y y (0) 1. 
 1
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y x 2 trên khoảng (0;) .
 x
Giải 
 1
Ta có: y 1 ; y 0 x 1 (vì x 0 ).
 x2
Tính các giới hạn: 
 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 max f x max f x,, f x..., f x , f a , f b .
 1 2 n 
 a, b 
 minfx minfx,, fx..., fx , fafb , . 
 1 2 n 
 a, b 
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f() x 1 x2 trên đoạn [0;2] . 
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 
 a) y f ()x 2 x 3 trên đoạn [ 3;1] ;
 b) y g()x 1 x2 . 
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f() x x3 6 x 2 9 x 1 trên nửa khoảng 
 [ 1;) .
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f() x x4 8 x 2 9 trên đoạn [ 1;3] . 
 1
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f ()x x 7 trên khoảng (0;) .
 x
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f ()x x3 3 x 2 9 x 5 trên đoạn [0;5]. 
 x2 9
Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f ()x trên khoảng (0;) .
 x
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: 
 x3
 a) f() x 2x2 3 x 1 trên đoạn [ 3;2];
 3
 ln x
 b) g() x trên đoạn [1;4] .
 x
Câu 9. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x4 10 x 2 2 trên đoạn 
  1;2
Câu 10. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f() x x3 30 x trên đoạn 2;19 
 4 2 
Câu 11. (Mã 110 2017) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x 2x 3 trên đoạn 0; 3 .
 2 2 1 
Câu 12. (Mã 104 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x trên đoạn ;2 . 
 x 2 
Câu 13. (Sở Nam Định-2019) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 4 x2 
Câu 14. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x sinx cos 2 x trên 0;  
 4
Câu 15. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 trên khoảng 1; . Tìm m? 
 x 1
 Dạng 2. Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước 
 Bước 1. Tìm nghiệm xi ( i 1,2,...) của y 0 thuộc a; b 
 Bước 2. Tính các giá trị f xi ;;f a f b theo tham số 
 Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
 Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận 
 Lưu ý: 
  Hàm số y f x đồng biến trên đoạn a; b thì Maxfx fbMinfx ; fa 
 a; b  a;b 
  Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a; b thì Maxfx faMinfx ; fb 
 a; b  a;b 
 m2 x 1
Câu 16. Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 1;3 
 x 2
 bằng 1. 
  3 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Dạng 4: Tìm m để min y f x m không vượt quá giá trị a cho trước. 
  ;  
 Phương pháp: Trước tiên tìm maxf x K ; min f x k K k . 
  ;   ;  
 Để 
 m k a m K a m a k m a K
 min y a   m K m k 0   K m k.
  ;   m k 0 m K 0 m k m K
 Dang 5: Tìm m để max y f x m đạt min. 
 a; b 
 Phương pháp: 
 Trước tiên tìm maxf x K ; min f x k K k . 
 a;b  a; b 
 K k K k
 Đề hỏi tìm m m . Đề hỏi tìm min của max y giá trị này là . 
 2 a; b  2
 Dạng 6: Tìm m để min y f x m đạt min. 
 a; b 
 Phương pháp: Trước tiên tìm maxf x K ; min f x k K k . 
 a;b  a; b 
 Đề hỏi tìm m m K m k 0 K m k . Đề hỏi tìm min của min y giá trị này là 
 a; b 
 0. 
 Dạng 7: Cho hàm số y f x m .Tìm m để maxy h .miny h 0 hoặc Min max 
 a;b  a; b 
 Phương pháp: Trước tiên tìm maxf x K ; min f x k K k . 
 a;b  a; b 
 K m k m
 TH1: K m h k m  K mcung dau k m m S1. 
 k m K m
 TH2: k m h K m  K mcungdau k m m S2. 
 Vậy m S1 S 2. 
 Dạng 8: Cho hàm số y f x m . 
 Phương pháp: Trước tiên tìm maxf x K ; min f x k K k . 
 a;b  a; b 
 BT1: Tìm m để miny max y m K m k .
 a; b  a;b 
 BT2: Tìm m để miny *max y  m K* m k  .
 a; b  a;b 
Câu 21. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá 
 trị lớn nhất của hàm số f x x3 3 x m trên đoạn0;3 bằng 16. Tính tổng tất cả các phần tử
 của S 
Câu 22. (THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số y x2 2x a 4 ( a là tham số). Tìm a để giá trị 
 lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;1 đạt giá trị nhỏ nhất 
Câu 23. (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của 
 tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x 2 9 x m trên đoạn  2; 4 bằng 
 16. Số phần tử của S là bao nhiêu? 
  5 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 
 Dạng 4. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 32. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho x , y là các số thực thỏa mãn x y x 1 2 y 2 . Gọi 
 M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P x2 y 2 2 x 1 y 1 8 4 x y . 
 Tính giá trị M m 
Câu 33. (Chuyên Hà Tĩnh - 2019) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x2 y 2 xy 1 và hàm số 
 3 2 5x y 2 
 f t 2 t 3 t 1. Gọi M , m tương ứng là GTLN và GTNN của Q f . Tính 
 x y 4 
 tổng M m 
Câu 34. (THPT Trần Nhân Tông 2018) Cho hai số thực x, y thỏa 
 mãn:9x3 2 y3 xy 5 x 3 xy 5 0 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của P x3 y 3 6xy 3 3x2 1 x y 2 
Câu 35. (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 
 2y3 7 y 2 x 1 x 3 1 x 3 2 y2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y .
 x2 2 m ( m 1) x 2 m3 m2 1
Câu 36. (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho hàm số y có đồ thị 
 x m
 Cm ( m là tham số thực). Gọi A là điểm thỏa mãn vừa là điểm cực đại của Cm ứng với một 
 giá trị m vừa là điểm cực tiểu của Cm ứng với giá trị khác của m . Tìm giá trị của a để 
 khoảng cách từ A đến đường thẳng d : x a 1 y a 0 đạt giá trị lớn nhất là 
 PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 NHÓM CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH 
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  1;3  và có đồ thị như hình 
 vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 
  1; 3  . Giá trị của M m bằng
 A. 1 B. 4 C. 5 D. 0
Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  1;1  và có đồ thị như hình vẽ. 
 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;1 . Giá 
 trị của M m bằng 
 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
  7