Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 29: Phương trình mặt cầu (Mức 9-10 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 29 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM
 Dạng 1. Một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến (tiếp xúc) mặt cầu
 2
Câu 1. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z 2 3 . Có tất cả 
 bao nhiêu điểm A a;b;c ( a,b,c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất 
 hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
 A. 8 . B. 16. C. 12 . D. 4 .
 Lời giải
 Chọn C
 Mặt cầu S có tâm I 0;0; 2 và bán kính R 3 ; A Oxy A a;b;0 .
 * Xét trường hợp A S , ta có a2 b2 1. Lúc này các tiếp tuyến của S thuộc tiếp diện của 
 S tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau.
 a 0 a 0 a 1 a 1
 Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của a;b là ; ; ; .
 b 1 b 1 b 0 b 0
 * Xét trường hợp A ở ngoài S . Khi đó, các tiếp tuyến của S đi qua A thuộc mặt nón đỉnh 
 A . Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A .
 Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng90 .
 Giả sử A N; A M là các tiếp tuyến của S thỏa mãn AN  AM ( N;M là các tiếp điểm)
 N A
 I M
 Dễ thấy A NIM là hình vuông có cạnh IN R 3 và IA 3. 2 6 .
 IA R a2 b2 1
 Điều kiện phải tìm là 
 2 2
 IA IA 6 a b 4
 Vì a,b là các số nguyên nên ta có các cặp nghiệm a;b là
 0;2 , 0; 2 , 2;0 , 2;0 , 1;1 , 1; 1 , 1;1 , 1; 1 .
 Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu.
Câu 2. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z 1 2 5 . Có tất cả bao 
 nhiêu điểm A a,b,c ( a,b,c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp 
 tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
 A. 20 B. 8 C. 12 D. 16
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Đề tồn tại E, F thì hai mặt cầu S và S phải cắt nhau suy ra R R II R R 
 1 1 1
 5 a2 b2 1 a2 b2 1 5 a2 b2 1
 2 2 2
 5 a2 b2 1 a2 b2 4 1 
 Gọi H là hình chiếu của I trên AEF khi đó tứ giác AEHF là hình vuông có cạnh 
 AE HF AI 2 5 .
 Ta có IH 2 R2 HF 2 5 AI 2 5 10 AI 2 0 a2 b2 1 10 a2 b2 9 2 
 Từ 1 và 2 ta có 4 a2 b2 9 mà a, b, c ¢ nên có 20 điểm thỏa bài toán.
 Cách khác:
 Mặt cầu S có tâm I 0,0, 1 bán kính R 5 . Ta có d 1 R mặt cầu S cắt mặt 
 I Oxy 
 phẳng Oxy . Để có tiếp tuyến của S đi qua A AI R 1 .
 Có A a,b,c Oxy A a,b,0 , IA a2 b2 1.
 Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua A của S là một mặt nón nếu AI R và là một mặt phẳng nếu 
 AI R .
 Trong trường hợp quỹ tích các tiếp tuyến đi qua A của S là một mặt nón gọi AM , AN là hai 
 tiếp tuyến sao cho A, M , I, N đồng phẳng.
 M
 I A
 N
 Tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau khi và chỉ 
 khi M· AN 90o IA R 2 2 .
 Từ 1 , 2 4 a2 b2 9 . Vì a,b ¢
 a2 0 a2 9 a2 4 a2 0 a2 1 a2 4 a2 4
 hoặc hoặc hoặc hoặc hoặc hoặc .
 2 2 2 2 2 2 2
 b 9 b 0 b 0 b 4 b 4 b 1 b 4
 Bốn hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm A thỏa mãn là 
 4.2 3.4 20 .
Câu 4. (THPT Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 
 2 2
 S : x 1 y 1 z2 4 và một điểm M 2;3;1 . Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới 
 S , biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn C . Tính bán kính r của đường tròn C .
 2 3 3 2
 A. r . B. r . C. r . D. 2 .
 3 3 3
 Lời giải
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Gọi A, B là tâm quả cầu bán kính bằng 2 . C, D là tâm quả cầu bán kính bằng 3 . I là tâm quả 
 cầu bán kính x .
 Mặt cầu I tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm A, B,C, D nên IA IB x 2, IC ID x 3.
 Gọi P , Q lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn AB và CD .
 IA IB I P 
 I P  Q 1 .
 IC ID I Q 
 Tứ diện ABCD có DA DB CA CB 5 suy ra MN là đường vuông góc chung của AB và 
 CD , suy ra MN P  Q (2).
 Từ 1 và 2 suy ra I MN
 Tam giác IAM có IM IA2 AM 2 x 2 2 4 .
 Tam giác CIN có IN IC 2 CN 2 x 3 2 9 .
 Tam giác ABN có NM NA2 AM 2 12 .
 2 2 6
 Suy ra x 3 9 x 2 4 12 x .
 11
 Dạng 2. Bài toán cực trị
1. Một số bất đẳng thức cơ bản
Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn
Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường 
thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
1. MA MB nhỏ nhất.
2. | MA MB | lớn nhất.
Lời giải.
1. Ta xét các trường hợp sau
- TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với (P) . Khi đó
AM BM AB 
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với (P) .
- TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với (P) . Gọi A đối xứng với A qua (P) . Khi đó
AM BM A M BM A B
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với (P) .
2. Ta xét các trường hợp sau
- TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với (P) . Khi đó
| AM BM | AB
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với (P) .
- TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với (P) . Gọi A' đối xứng với A qua P , Khi đó
| AM BM | A M BM A B
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với (P) .
Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng (P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (P), khi đó
d(B,(P)) BH BA
Do đó P là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB
Bài toán 5. Cho các số thực dương ,  và ba điểm A, B, C. Viết phương trình măt phẳng
(P) đi qua C và T d(A,(P)) d(B,(P)) nhỏ nhất.
 Trang 7  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
w 1 2  n MG 1GA1 2GA2  nGAn 1 2  n MG
Do đó
| w | 1 2  n | MG |
Vi 1 2  n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà 
M (P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P) .
Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1, A2 ,, An. Xét biểu thức:
 2 2 2
T 1MA1 2MA2  nMAn
Trong đó 1, 2 ,, n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng (P) sao cho
1. T giá trị nhỏ nhất biết 1 2  n 0 .
2. T có giá trị lớn nhất biết 1 2  n 0 .
Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn
 GA GA  GA 0
 1 1  2 2 n n
Ta có MAk MG GAk với k 1;2;;n, nên
  2  
 2 2 2
MAk MG GAk MG 2MG GAk GAk
Do đó
 2 2 2 2
T 1 2  n MG 1GA1 2GA2  nGAn
 2 2 2
Vì 1GA1 2GA2  nGAn không đổi nên
• với 1 2  n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất.
• với 1 2  n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất.
Mà M (P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P) .
Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau. Viết phương trình của 
mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P) và lấy điểm M d, M I . Gọi H, K 
lầ lượt là hình chiếu của M lên (P) và giao tuyến của (P) và (Q) .
Đặt  là góc giữa (P) và (Q), ta có  M· KH, do đó
 HM HM
tan 
 HK HI
 Trang 9