Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 29: Phương trình mặt cầu (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 29 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
 Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu
 g Mặt cầu tâm I(a;b;c) và có bán kính R có phương trình (S) : (x a)2 (y b)2 (z c)2 R2.
 g Phương trình x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0
 2 2 2
 là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R a b c d . I R
 g Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:
 Hệ số trước x2 , y2 , z2 phải bằng nhau và a2 b2 c2 d 0.
Câu 1. (Sở Phú Thọ 2019) Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để
 x2 y2 z2 2 m 2 x 2 m 1 z 3m2 5 0 là phương trình một mặt cầu?
 A. 4 B. 6 C. 5 D. 7
 Lời giải
 Chọn D
 Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
 m 2 2 m 1 2 3m2 5 0
 m2 2m 10 0
 1 11 m 1 11
 Theo bài ra m ¢ m 2; 1;0;1;2;3;4 có 7 giá trị của m nguyên thỏa mãn bài toán.
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 
 x2 y2 z2 2 m 2 x 4my 19m 6 0 là phương trình mặt cầu.
 A. 1 m 2 . B. m 1 hoặc m 2 . C. 2 m 1. D. m 2 hoặc m 1.
 Lời giải
 Điều kiện để phương trình x2 y2 z2 2 m 2 x 4my 19m 6 0 là phương trình mặt cầu 
 2
 là: m 2 4m2 19m 6 0 5m2 15m 10 0 m 1 hoặc m 2 .
Câu 3. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz có tất cả bao nhiêu giá trị 
 nguyên m để phương trình
 2 2 2 2
 x y z 4mx 2my 2mz 9m 28 0 là phương trình mặt cầu?
 A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 6 .
 Lời giải
 Ta có x2 y2 z2 4mx 2my 2mz 9m2 28 0
 2 2 2
 x 2m y m z m 28 3m2 1 .
 28 28
 1 là phương trình mặt cầu 28 3m2 0 m .
 3 3
 Do m nguyên nên m 3; 2; 1;0;1;2;3.
 Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .
 Phương trình mặt cầu S có dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 .
 Vì O , A , B , C thuộc S nên ta có:
 1
 a 
 d 0 2
 1 2a d 0 3
 b .
 4 4c d 0 2
 c 1
 9 6b d 0 
 d 0
 1 9 14
 Vậy bán kính mặt cầu S là: R a2 b2 c2 d 1 .
 4 4 2
Câu 8. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội -2019) Gọi S là mặt cầu đi qua 4 điểm 
 A 2;0;0 , B 1;3;0 ,C 1;0;3 , D 1;2;3 . Tính bán kính R của S . 
 A. R 2 2 . B. R 3. C. R 6 . D. R 6 .
 Lời giải
 Gọi I a;b;c là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B,C, D . Khi đó:
 2 2 2 2 2 2
 AI 2 BI 2 a 2 b c a 1 b 3 c
 2 2 2 2 2 2 2 2
 AI CI a 2 b c a 1 b c 3 
 2 2 
 AI DI a 2 2 b2 c2 a 1 2 b 2 2 c 3 2
 a 3b 3 a 0
 a c 1 b 1 I 0;1;1 
 a 2b 3c 5 c 1
 Bán kính: R IA 22 12 12 6 .
Câu 9. (Sở Hà Nội 2019) Cho hai điểm A, B cố định trong không gian có độ dài AB là 4 . Biết rằng tập 
 hợp các điểm M trong không gian sao cho MA 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng
 9 3
 A. 3 . B. . C. 1. D. .
 2 2
 Lời giải
 A B I
 Ta có: 
  2  2   2   2
 MA 3MB MA 9MB MI IA 9 MI IB 
    
 IA2 9IB2 2MI IA 9IB 8MI 2 1 
    1  1 9
 Gọi I thỏa mãn IA 9IB 0 BI AB nên IB ; IA .
 8 2 2
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A. 9;18; 27 . B. 3; 6;9 . C. 3;6; 9 . D. 9; 18;27 .
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi tọa độ các điểm trên ba tia Ox,Oy,Oz lần lượt là A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c với 
 a,b,c 0 .
 a
 6
 3
 a 18
 b 
 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 12 b 36 .
 3
 c 54
 c 
 18
 3
 Gọi phương trình mặt cầu S cần tìm là: x2 y2 z2 2mx 2ny 2 pz q 0 . Vì S qua các 
 điểm O, A, B,C nên ta có hệ:
 q 0 m 9
 2 
 36m q 18 n 18
 .
 2 
 72n q 36 p 27
 2 
 108p q 54 q 0
 Vậy tọa độ tâm mặt cầu S là 9; 18;27 .
 2 2 2
Câu 14. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x cos y cos  z cos 4 với 
 ,  và  lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox,Oy và Oz . Biết rằng mặt cầu S 
 luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng
 A. 40 . B. 4 . C. 20 . D. 36 .
 Lời giải
 Chọn A
 O I
 Ta dễ dàng chứng minh được: cos2 cos2  cos2  1
 Mặt cầu S có tâm I cos ;cos ;cos .
 Suy ra tâm I thuộc mặt cầu S có tâm O 0;0;0 ,R cos2 cos2  cos2  1
 Mặt cầu S luôn tiếp xúc với hai mặt cầu S1 , S2 .
 Mặt cầu S1 có tâm là O , bán kính R1 OI R 1 2 1.
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 A. R 41 . B. R 15 . C. R 13 . D. R 26 .
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi phương trình mặt cầu S có dạng x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 , với tọa độ tâm 
 I a;b;c .
 Ta có:
 I a;b;c Oxy c 0 ;
 A S 2a 4b d 21 a 2
 B S 2a 6b d 11 b 1 ;
 4a 4b d 17 d 21
 C S 
 R a2 b2 c2 d 4 1 0 21 26 .
Câu 18. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian Oxyz , gọi S là mặt cầu đi qua điểm 
 D 0;1;2 và tiếp xúc với các trục Ox , Oy , Oz tại các điểm A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c 
 trong đó a, b, c ¡ \ 0;1 . Bán kính của S bằng
 5 3 2
 A. 5 . B. . C. . D. 5 2 .
 2 2
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi I là tâm của mặt cầu S . Vì S tiếp xúc với các trục Ox , Oy , Oz tại các điểm 
 A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c nên ta có IA  Ox , IB  Oy , IC  Oz hay A , B , C tương 
 ứng là hình chiếu của I trên Ox , Oy , Oz I a;b;c .
 Mặt cầu S có phương trình: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0 .
 2 2 2
 a b c d 1 
 Vì S đi qua A , B , C , D nên ta có: .
 5 2b 4c d 0 2 
 Vì a, b, c ¡ \ 0;1 nên 0 d 1. Mặt khác, từ 1 R a2 b2 c2 d 2d .
 TH1: Từ 1 b c d . Thay vào * : 5 6 d d 0 d 25 (nhận).
 R 2.25 5 2 .
 TH2: Từ 1 b c d . Thay vào * : 5 6 d d 0 (vô nghiệm).
 TH3: Từ 1 b d , c d . Thay vào * : 5 2 d d 0 (vô nghiệm).
 TH4: Từ 1 b d , c d . Thay vào * : 5 2 d d 0 (vô nghiệm).
 Vậy mặt cầu S có bán kính R 5 2 .
 2 2 2
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 25 và 
 hình nón H có đỉnh A 3;2; 2 và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một 
 Trang 7