Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 25: Nguyên hàm (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 25 NGUYÊN HÀM
 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
 Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện
 Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
 ò 0dx = C. ¾ ¾® òkdx = kx + C.
 xn+ 1 1 (ax + b)n+ 1
  xn dx = + C. ¾ ¾® (ax + b)n dx = + C.
 ò n + 1 ò a n + 1
 1 1 1
  dx = ln x + C. ¾ ¾® dx = ln ax + b + C.
 ò x ò ax + b a
 1 1 1 1 1
  dx = - + C. ¾ ¾® dx = - × + C.
 ò x 2 x ò (ax + b)2 a ax + b
  sin xdx = - cosx + C. 1
 ò ¾ ¾® sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C.
 ò a
 cosxdx = sin x + C. 1
 ò ¾ ¾® cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C.
 ò a
 1 dx 1
 dx = - cot x + C. ¾ ¾® = - cot(ax + b) + C.
 ò sin2 x ò sin2(ax + b) a
 1 dx 1
  dx = tan x + C. ¾ ¾® = tan(ax + b) + C.
 ò cos2 x ò cos2(ax + b) a
 ex dx = ex + C. 1
 ò ¾ ¾® eax+bdx = eax+b + C.
 ò a
 ax 1 aax+ b
  ax dx = + C. ¾ ¾® aax+ b dx = + C.
 ò lna ò a lna
 1
 ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax + b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm ×
 a
 Một số nguyên tắc tính cơ bản
 g Tích của đa thức hoặc lũy thừa ¾ ¾PP ¾® khai triễn.
 g Tích các hàm mũ ¾ ¾PP ¾® khai triển theo công thức mũ.
 1 1 1 1
 g Bậc chẵn của sin và cosin Þ Hạ bậc: sin2 a = - cos2a, cos2 a = + cos2a.
 2 2 2 2
 g Chứa tích các căn thức của x ¾ ¾PP ¾® chuyển về lũy thừa.
 1 
Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \  thỏa mãn 
 2
 2
 f x , f 0 1, f 1 2 . Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng
 2x 1
 A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15
 Lời giải
 Chọn C
 2
 dx ln 2x 1 C f x 
 2x 1
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 1
Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số y trên ;0 
 x
 thỏa mãn F 2 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
 x 
 A. F x ln x ;0 
 2 
 B. F x ln x C x ;0 với C là một số thực bất kì.
 C. F x ln x ln 2 x ;0 .
 D. F x ln x C x ;0 với C là một số thực bất kì.
 Lời giải
 1
 Ta có F x dx ln x C ln x C với x ;0 .
 x
 x 
 Lại có F 2 0 ln 2 C 0 C ln 2 . Do đó F x ln x ln 2 ln .
 2 
 x 
 Vậy F x ln x ;0 .
 2 
Câu 6. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f x xác định trên R \ 1 thỏa mãn 
 1
 f x , f 0 2017 , f 2 2018 . Tính S f 3 f 1 .
 x 1
 A. S ln 4035 . B. S 4 . C. S ln 2 . D. S 1.
 Lời giải
 1
 Trên khoảng 1; ta có f ' x dx dx ln x 1 C f x ln x 1 C .
 x 1 1 1
 Mà f (2) 2018 C1 2018.
 1
 Trên khoảng ;1 ta có f ' x dx dx ln 1 x C f x ln 1 x C .
 x 1 2 2
 Mà f (0) 2017 C2 2017 .
 ln(x 1) 2018 khi x 1
 Vậy f x . Suy ra f 3 f 1 1.
 ln(1 x) 2017 khi x 1
 3
Câu 7. (Mã 105 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f (x) ex 2x thỏa mãn F 0 . 
 2
 Tìm F x .
 1 5
 A. F x ex x2 B. F x ex x2 
 2 2
 3 1
 C. F x ex x2 D. F x 2ex x2 
 2 2
 Lời giải
 Chọn A
 x x 2 
 Ta có F x e 2x dx e x C
 3 1
 Theo bài ra ta có: F 0 1 C C .
 2 2
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 2 x
 F x x e C
 Suy ra 1 C 2019 C 2018.
 F 0 2019
 Vậy F x x2 ex 2018.
 1
Câu 12. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x , thỏa mãn F 0 . Tính giá trị biểu 
 ln 2
 thức T F 0 F 1 ... F 2018 F 2019 .
 22019 1
 A. T 1009. . B. T 22019.2020 .
 ln 2
 22019 1 22020 1
 C. T . D. T .
 ln 2 ln 2
 Lời giải
 2x
 Ta có f x dx 2xdx C
 ln 2
 2x 1
 F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x , ta có F x C mà F 0 
 ln 2 ln 2
 2x
 C 0 F x .
 ln 2
 T F 0 F 1 ... F 2018 F 2019 
 1 1 22020 1 22020 1
 1 2 22 ... 22018 22019 . 
 ln 2 ln 2 2 1 ln 2
Câu 13. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x sin x cos x thoả mãn F 2 .
 2 
 A. F x cos x sin x 3 B. F x cos x sin x 1
 C. F x cos x sin x 1 D. F x cos x sin x 3
 Lời giải
 Chọn C
 Có F x f x dx sin x cos x dx cos x sin x C
 Do F cos sin C 2 1 C 2 C 1 F x cos x sin x 1.
 2 2 2
Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x 3 5sin x và f 0 10 . Mệnh đề nào dưới 
 đây đúng?
 A. f x 3x 5cos x 15 B. f x 3x 5cos x 2
 C. f x 3x 5cos x 5 D. f x 3x 5cos x 2
 Lời giải
 Chọn C
 Ta có f x 3 5sinx dx 3x 5cos x C
 Theo giả thiết f 0 10 nên 5 C 10 C 5 .
 Vậy f x 3x 5cos x 5.
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 18. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2x , thỏa mãn 
 1
 F 0 . Tính giá trị biểu thức T F 0 F 1 F 2 ... F 2019 .
 ln 2
 22020 1 22019 1 22019 1
 A. T . B. T 1009. . C. T 22019.2020 . D. T .
 ln 2 2 ln 2
 Lời giải
 Chọn A
 2x
 Ta có: F x 2x dx C .
 ln 2
 1 20 1 2x
 Theo giả thiết F 0 C C 0 . Suy ra: F x 
 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
 20 21 22 22019
 Vậy T F 0 F 1 F 2 ... F 2019 ... 
 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
 1 1 1 22020 22020 1
 20 21 22 ... 22019 .1. .
 ln 2 ln 2 1 2 ln 2
 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
 “ Nếu f x dx F x C thì f u x .u ' x dx F u x C ”.
 Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f x dx , trong đó ta có thể phân tích
 f x g u x u ' x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t u x 
 dt u ' x dx . Khi đó: I g t dt G t C G u x C
 Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x 
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp
 b
g f (ax b)n xdx PP t ax b. g n f (x) f (x)dx PP t n f (x).
 a
 b 1 b
g f (ln x) dx PP t ln x. g f (ex )exdx PP t ex .
 a x a
 b b
g f (sin x)cos xdx PP t sin x. g f (cos x)sin xdx PP t cos x.
 a a
 b 1 b
g f (tan x) dx PP t tan x. g f (sin x cos x).(sin x cos x)dx t sin x cos x.
 2 
 a cos x a
  
g f ( a2 x2 )x2ndx PP x asin t. g f ( x2 a2 )m x2ndx PP x a tan t.
  
 a x PP dx
g f dx  x a cos 2t. g t ax b cx d .
 a  x (ax b)(cx d)
   dx 1
g R s1 ax b,., sk ax b dx t n ax b. g PP x 
 n n n
 (a bx ) a bx t
2. Đổi biến số với hàm ẩn
g Nhận dạng tương đối: Đề cho f (x), yêu cầu tính f ( x) hoặc đề cho f ( x), yêu cầu tính f (x).
g Phương pháp: Đặt t ( x).
 Trang 7