Chuyên đề Ôn thi THPTQG - Chuyên đề 2: Cực trị hàm số (Mức 7-8 điểm)

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Chuyên đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Dạng 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0
 Bước 1. Tính y ' x0 , y '' x0 
 Bước 2. Giải phương trình y ' x0 0 m?
 y '' 0 x0 CT
 Bước 3. Thế m vào y '' x0 nếu giá trị 
 y '' 0 x0 CD
 Dạng 1.1 Hàm số bậc 3
 1
Câu 1. (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt 
 3
 cực đại tại x 3.
 A. m 1 B. m 7 C. m 5 D. m 1
 Lời giải
 Chọn C
 Ta có y x2 2mx m2 4 ; y 2x 2m .
 1 y 3 0
 Hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 khi và chỉ khi: 
 3 y 3 0
 m 1 L 
 9 6m m2 4 0 m2 6m 5 0 
 m 5 TM .
 6 2m 0 m 3 
 m 3
 Vậy m 5 là giá trị cần tìm.
Câu 2. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số y x3 2mx2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 1
 A. không tồn tại m . B. m 1. C. m 1. D. m 1;2.
 Lời giải
 m 1
 y 1 0 3 4m m 0 
 Để x 1 là điểm cực tiểu của hàm số 3 m 1.
 y 1 0 6 4m 0 m 
 2
 Thử lại với m 1, ta có y x3 2x2 x 1 ; y 3x2 4x 1.
 x 1
 2
 y 0 3x 4x 1 0 1.
 x 
 3
 Bảng biến thiên:
 Quan sát bảng biến thiên ta thấy m 1 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 2 .
 A. m 0 . B. m 4 . C. 0 m 4 . D. 0 m 4 .
 Lời giải
 Trang 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Lời giải
 Chọn B
 Ta có y 3x2 2 3m 1 x m2 y 6x 6m 2 .
 m 1
 2 
 f 1 0 m 6m 5 0 m 5
 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 m 5 .
 f 1 0 6m 8 0 4
 m 
 3
Câu 8. (THPT Kinh Môn - 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
 1
 y x3 mx2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 2?
 3
 A. m 2 .B. m 3 . C. Không tồn tại m . D. m 1.
 Lời giải
 Chọn D
 Ta có y x2 2mx m 1.
 Giả sử x 2 là điểm cực đại của hàm số đã cho, khi đó 
 y 2 0 2 2 2m 2 m 1 0 5m 5 0 m 1.
 1
 Với m 1, ta có y x3 x2 1.
 3
 2 2 x 2
 y x 2x ; y 0 x 2x 0 .
 x 0
 Ta có bảng biến thiên:
 Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận m 1 là giá trị cần tìm.
Câu 9. (Chuyên ĐHSPHN - Lần 3 - 2019) Tập hợp các số thực m để hàm số 
 y x3 3mx2 (m 2)x m đạt cực tiểu tại x 1 là.
 A. 1 . B. 1 . C.  . D. R .
 Lời giải
 ChọnC.
 y 3x2 6mx m 2
 y 6x 6m
 y (1) 0 5m 5 0 m 1
 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1khi không có giá trị của m .
 y (1) 0 6 6m 0 m 1
 Dạng 1.2 Hàm số đa thức bậc cao, hàm căn thức 
Câu 10. (Chuyên QH Huế - Lần 2 - 2019) Xác định tham số m sao cho hàm số y x m x đạt cực trị 
 tại x 1.
 A. m 2 . B. m 2 . C. m 6 . D. m 6 .
 Lời giải
 Chọn A
 Trang 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
Câu 13. (Mã 101 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
 y x8 m 2 x5 m2 4 x4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ?
 A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4
 Lời giải
 Chọn D
 Ta có y x8 m 2 x5 m2 4 x4 1 y 8x7 5 m 2 x4 4 m2 4 x3 .
 y 0 x3 8x4 5 m 2 x 4 m2 4 0
 x 0
 4 2
 g x 8x 5 m 2 x 4 m 4 0
 Xét hàm số g x 8x4 5 m 2 x 4 m2 4 có g x 32x3 5 m 2 .
 Ta thấy g x 0 có một nghiệm nên g x 0 có tối đa hai nghiệm
 + TH1: Nếu g x 0 có nghiệm x 0 m 2 hoặc m 2
 Với m 2 thì x 0 là nghiệm bội 4 của g x . Khi đó x 0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi 
 dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x 0 nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 2 
 thỏa ycbt.
 x 0
 4 
 Với m 2 thì g x 8x 20x 0 5 .
 x 3
 2
 Bảng biến thiên
 Dựa vào BBT x 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 2 không thỏa ycbt.
 + TH2: g 0 0 m 2 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 g 0 0 
 m2 4 0 2 m 2 .
 Do m ¢ nên m 1;0;1.
 Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.
Câu 14. (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
 x5 mx4
 y = - + 2 đạt cực đại tại x = 0 là:
 5 4
 A. m Î ¡ . B. m < 0 .
 C. Không tồn tại m . D. m > 0 .
 Lời giải
 Chọn D
 x5 mx4
 Đặt f (x)= - + 2 .
 5 4
 Ta có: f ¢(x)= x4 - mx3 .
 Khi m = 0 thì f ¢(x)= x4 ³ 0 , " x Î ¡ nên hàm số không có cực trị.
 éx = 0
 Khi m ¹ 0 , xét f ¢(x)= 0 Û x4 - mx3 = 0 Û x3 (x- m)= 0 Û ê .
 ëêx = m
 Trang 5 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG
 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực tiểu. Suy ra 2 m 1 (loại).
 Trường hợp 3: m 2 , suy ra x2 x1 .
 Ta có, bảng xét dấu y m 1 x4 m 2 x3
 Dựa, vào bảng xét dấu ta thấy x 0 là điểm cực đại. Suy ra m 2 (nhận).
 Vậy, tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài là m 2 mà m thuộc khoảng 
 2019;2019 .
 Suy ra, số giá trị nguyên của m là 2016.
Câu 16. (Mã 104 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
 y x8 m 3 x5 m2 9 x4 1 đạt cực tiểu tại x 0 ?
 A. 6 B. Vô số C. 4 D. 7
 Lời giải
 Chọn A
 Ta có y x8 m 3 x5 m2 9 x4 1 y 8x7 5 m 3 x4 4 m2 9 x3 .
 y 0 x3 8x4 5 m 3 x 4 m2 9 0
 x 0
 4 2
 g x 8x 5 m 3 x 4 m 9 0
 Xét hàm số g x 8x4 5 m 3 x 4 m2 9 có g x 32x3 5 m 3 .
 Ta thấy g x 0 có một nghiệm nên g x 0 có tối đa hai nghiệm
 +) TH1: Nếu g x 0 có nghiệm x 0 m 3 hoặc m 3
 Với m 3 thì x 0 là nghiệm bội 4 của g x . Khi đó x 0 là nghiệm bội 7 của y và y đổi 
 dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x 0 nên x 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 3 
 thỏa ycbt.
 x 0
 4 
 Với m 3 thì g x 8x 30x 0 15 .
 x 3
 4
 Bảng biến thiên
 Dựa vào BBT x 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m 3 không thỏa ycbt.
 +) TH2: g 0 0 m 3. Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 g 0 0 
 m2 9 0 3 m 3.
 Trang 7