Chuyên đề Ôn thi THPT Toán 12 - Chủ đề 7: Tọa độ trong không gian Oxyz (Vận dụng cao)

 PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
 Chủ đề 7. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1;2;0), B(3;4;1), 
 D(- 1;3;2). Tìm tọa độ điểm C sao cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có 
 góc C bằng 45°.
 A. C(5;9;5). B. C(1;5;3). C. C(- 3;1;1). D. C(3;7;4).
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.
 uuur
 Cách 1. AB = (2;2;1) . 
 = ―1 + 2푡
 Đường thẳng CD có phương trình là : = 3 + 2푡 . 
 = 2 + 푡
 Suy ra C(- 1+ 2t;3 + 2t;2 + t); = (4 ― 2푡;1 ― 2푡; ― 1 ― 푡), = ( ― 2푡; ― 2푡; ― 푡).
 (4 - 2t)(- 2t) + (1- 2t)(- 2t) + (- 1- t)(- t)
 Ta có cosB·CD = 
 (4 - 2t)2 + (1- 2t)2 + (- 1- t)2 (- 2t)2 + (- 2t)2 + (- t)2
 (4 - 2t)(- 2t) + (1- 2t)(- 2t) + (- 1- t)(- t) 2
 Hay = (1).
 (4 - 2t)2 + (1- 2t)2 + (- 1- t)2 (- 2t)2 + (- 2t)2 + (- t)2 2
 Lần lượt thay t bằng 3;1;- 1;2(tham số t tương ứng với toạ độ điểm C ở các phương án A, B, 
 C, D), ta thấy t = 2 thoả (1). 
 Cách 2.
 ‰
 Ta có = (2;2;1), = ( ― 2;1;2) . A B
 Suy ra ⊥ và AB = AD . Theo 
 giả thiết, suy ra = 2 . Kí hiệu 
 C(a;b;c) , ta có = ( + 1; ― 3; 
 ― 2), 2 = (4;4;2). Từ đó C(3;7;4) .
 D C Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai mặt phẳng 
 4x - 4y + 2z - 7 = 0và 2x - 2y + z + 1 = 0 chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối 
 lập phương đó là
 27 81 3 9 3 64
 A. V = B. . V = C.V D. V 
 8 8 . 2 27
 Hướng dẫn giải
 Theo bài ra hai mặt phẳng 4x 4y 2z 7 0 và 2x 2y z 1 0 chứa hai mặt của hình lập 
 phương. Mà hai mặt phẳng (P) : 4x 4y 2z 7 0 và (Q) : 2x 2y z 1 0 song song với 
 nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng sẽ bằng cạnh của hình lập phương.
 2 7 3
 Ta có M (0;0; 1) (Q) nên d((Q),(P)) d(M ,(P)) 
 42 ( 4)2 22 2
 2 2 2 8
 Vậy thể tích khối lập phương là: V . . .
 3 3 3 27
Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz, cho điểm A(2;3;0),
 x t
 6 
 B(0; 2;0), M ; 2;2 và đường thẳng d : y 0 .Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam 
 5 
 z 2 t
 giác ABC là nhỏ nhấ thì độ dàiCM bằng
 2 6
 A. 2 3. B. 4. C. 2. D. .
 5
 Hướng dẫn giải
 Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC CB nhỏ nhất.
 2 2
 VìC d C t;0;2 t AC 2t 2 2 9, BC 2t 2 4
 2 2
 AC CB 2t 2 2 9 2t 2 4.
 Đặtu 2t 2 2;3 , v 2t 2;2 ápdụngbấtđẳngthức u v u v
 2 2 2
 2t 2 2 9 2t 2 4 2 2 2 25.Dấubằngxảyrakhivàchỉ
 2 2
 2t 2 2 3 7 7 3 6 7 3 
 khi t C ;0; CM 2 2 2.
 2t 2 2 5 5 5 5 5 5 
 Chọn C.
Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A 1;1;1 , B 0;1;2 , C 2;0;1 
 P : x y z 1 0 . Tìm điểm N P sao cho S 2NA2 NB2 NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.   
 IM1 t;1 t; 1 t , IM 2 1 t; t; t .
 Theo giả thiết ta có d I;d1 d I;d2 , tương đương với 
     
 IM ;u IM ;u 2 2 2
 1 d1 2 d2 1 t t 2 1 t 
   t 0
 u u 1 2
 d1 d2
 Suy ra I 1;0;1 và bán kính mặt cầu là R d I;d1 1. Phương trình mặt cầu cần tìm là
 x 1 2 y2 z 1 2 1.
Câu 8: (LẠNG GIANG SỐ 1) Trong không gian với hệ tọa độ Ox choyz, hai điểm A 1;0;2 ; B 0; 1 ;2 
 và mặt phẳng P : x 2y 2z 12 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho MA MB nhỏ 
 nhất?
 6 18 25 
 A. .M 2;2;9 B. M ;. ; 
 11 11 11 
 7 7 31 2 11 18 
 C. .M ; ; D. M ; ; .
 6 6 4 5 5 5 
 Hướng dẫn giải
 Chọn D.
 Thay tọa độ A 1;0;2 ; B 0; 1;2 vào phương trình mặt phẳng P , ta được P A P B 0
 hai điểm A, B cùng phía với đối với mặt phẳng P .
 ‰
 B
 Gọi A là điểm đối xứng của A qua P . Ta có 
 A
 MA MB MA MB A B .
 Nên min MA MB A B khi và chỉ khi M là giao điểm của 
 A B với P .
 H M
 x 1 t
 P
 Phương trình AA : y 2t ( AA đi qua A 1;0;2 và có 
 z 2 2t
  
 A'
 véctơ chỉ phương n P 1;2; 1 ).
 Gọi H là giao điểm của AA trên P , suy ra tọa độ của H là H 0; 2;4 , suy ra A 1; 4;6 , 
 x t
 nên phương trình A B : y 1 3t .
 z 2 4t
 2 11 18 
 Vì M là giao điểm của A B với P nên ta tính được tọa độ M ; ; .
 5 5 5 
Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Trong không gian với hệ tọa độ O x choyz, đường thẳng 
 x y 1 z 2
 : và mặt phẳng P : x 2y 2z 4 0. Phương trình đường thẳng d nằm 
 1 1 1
 trong P sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng là Vậy có 3 mặt phẳng.
Câu 11: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) .Viết 
 phương trình mặt phẳng ( ) qua E và cắt nửa trục dương Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao 
 cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC .
 A. x y 2z 11 0 . B. 8x y z 66=0 . 
 C. 2x y z 18 0 . D. x 2y 2z 12 0.
 Hướng dẫn giải
 Chọn D. 
 Cách 1 :
 11 11 11 11 121
 Với đáp án A: A(11;0;0);B(0;11;0);C(0;0; ) G( ; ; ) OG2 
 2 3 3 6 4
 33 11 15609
 Với đáp án B: A( ;0;0);B(0;66;0);C(0;0;66) G( ;22;22) OG2 
 4 4 16
 18 18
 Với đáp án C: A(9;0;0);B(0;18;0);C(0;0;18) G(3; ; ) OG2 81
 3 3
 Với đáp án D: A( 12;0;0);B(0;6;0);C(0;0;6) G( 4;2;2) OG2 24
 Cách 2 :
 8 1 1
 Gọi A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c với a,b,c 0 . Theo đề bài ta có : 1. Cần tìm giá trị 
 a b c
 nhỏ nhất của a2 b2 c2 .
 2 2
 Ta có a2 b2 c2 4 1 1 a.2 b.1 c.1 6. a2 b2 c2 2a b c 
 Mặt khác 
 a2 b2 c2 4 1 1 a.2 b.1 c.1 
 8 1 1 
 2a b c 
 a b c 
 4 1 1 2 36
 a2
 Suy ra a2 b2 c2 63 . Dấu '' '' xảy ra khi b2 c2 a 2b 2c.
 4
 Vậy a2 b2 c2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a 12,b c 6 .
 x y z
 Vậy phương trình mặt phẳng là : 1 hay x 2y 2z 12 0.
 12 6 6