Chuyên đề Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ hóa - Hình học 12

 CHƯƠNG 3 
 BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
 DẠNG 6. Một số bài toán giải bằng phương pháp tọa độ hóa 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Một số dấu hiệu nhận biết bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ 
 Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông. 
 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là các tam giác vuông, tam giác đều, hình 
vuông, hình chữ nhật, 
 Hình lập phương, hình hộp chữ nhật. 
 Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt phẳng đó có những đa giác 
đặc biệt: Tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi, 
 Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diện vuông chẳng hạn: Hai 
đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hai mặt phẳng vuông góc. 
Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc như đã nêu ở trên thì ta 
có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của các đoạn thẳng hay đường thẳng trong hình vẽ 
để thiết lập hệ trục tọa độ. 
2. Các bước giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ 
 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp và tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán. 
 Bước 2: Chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích và giải. 
 Bước 3: Giải bài toán hình học giải tích trên. 
 Bước 4: Chuyển kết luận của bài toán hình học giải tích sang tính chất hình học tương ứng 
3. Thiết lập hệ trục tọa độ Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình không gian bằng 
phương pháp tọa độ là thiết lập hệ tọa độ cho phù hợp. 
(1) Thiết lập hệ tọa độ đối với tam diện Với góc tam diện việc tọa độ hóa thường được thực hiện 
khá đơn giản, đặc biệt với: 
 Tam diện vuông thì hệ trục tọa độ vuông góc được thiết lập ngay trên tam diện đó. 
 Tam diện có một góc phẳng vuông, khi đó ta thiết lập một mặt của hệ trục tọa độ chứa góc phẳng 
đó. 
(2) Thiết lập hệ tọa độ cho hình chóp 
 Hình chóp đều thì hệ tọa độ được thiết lập dựa trên gốc trùng với tâm của đáy và trục 
 trùng với đường cao của hình chóp. 
 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì ta thường chọn trục là cạnh bên vuông góc với 
đáy, gốc tọa độ trùng với chân đường vuông góc. 
 Trong các trường hợp khác ta dựa vào đường cao của hình chóp và tính chất đa giác đáy để chọn 
hệ tọa độ phù hợp. 
(3) Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình hộp chữ nhật 
 Chọn một đỉnh làm gốc tọa độ và ba trục trùng với ba cạnh của hình hộp chữ nhật. 
 Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ và ba trục song song với ba cạnh của hình hộp chữ nhật. 
(4) Thiết lập hệ tọa độ cho hình lăng trụ 
 Với lăng trụ đứng thì ta chọn trục Oz thẳng đứng, gốc tọa độ là một đỉnh nào đó của đáy hoặc 
tâm của đáy hoặc điểm nằm trong mặt đáy là giao của hai đường thẳng vuông góc. Các trục Ox, Oy
thì dựa vào tính chất của đa giác đáy mà chọn cho phù hợp. 
Dạng 1. Dùng phương pháp tọa độ tính thể tích. 
1. Lý thuyết cần nhớ : Công thức tính thể tích. 
 1
 - Thể tích hình chóp bất kì : V B. h ; trong đó B là diện tích đáy , h là chiều cao của khối 
 3
 chóp. 
1 
SB a;0; 2 a ; SN 0; a ; a 
 22
 SM, SC a ; a ;0 
 3
 SM, SC SB a 
 SM, SC SN a3
+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a 
 VVVS. BCNM SMCB SMCN 
 1 a3
 V SM, SC SB 
 SMCB 66 
 1 a3
 V SM, SC SN 
 SMCN 66 
 a3
 VVV đvtt 
 S. BCNM SMCB SMCN 3
 Ví DỤ 2 
 Ví 
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA a; SB a 3 và mặt phẳng 
 SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi MN; lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . 
Tính thể tích khối chóp S. BMDN . 
 Lời giải 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên SH ABCD 
Ta có : SA2 SB 2 a 2 3 a 2 AB 2 SAB vuông tại SM a 
 a 3
Do đó : SAM đều SH 
 2
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như hình vẽ. 
Ta được 
3 
 Vì hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ()ABC nên suy ra 
 SA () ABC . 
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, đặt SA x,0 x . 
 Vì MN// BC N là trung điểm cạnh AC 
 Tọa độ các đỉnh là: 
 B 0;0;0; A 2;0;0; a C 0;2;0; a S 2;0; a x 
 M a;0;0 ; N a ; a ;0 
 Suy ra 
 2
 BS 2;0;, a x BC 0;2;0 a BS , BC 2;0;4 ax a 
 Do đó n x;0; 2 a là VTPT của mặt phẳng SBC 
 k 0;0;1 là VTPT của mặt phẳng 
 Theo giả thiết ta có: 
 nk 121a
 cos600 x22 12 a x 2 a 3 
 nk 22xa22 4
 1 3 3a2
 Vì MN, là trung điểm của AB, CB nên SSSS 
 AMN4 ABC BMNC 4 ABC 2
 1 1 3a2
 Từ đó suy ra thể tích khối chóp S. BCNM là: V SA. S 2 a 3. a3 3 . 
 S. BMNC3 BMNC 3 2
 Ví DỤ 4 
 Ví 
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.''' A B C có BB' a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng 
 bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm 
A' lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện 
A' ABC theo a . 
 Lời giải 
5 
 uudd. 
Khi đó ta có cos 
 uu.
 dd 
 Ví DỤ 1 
 Ví 
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB a, SA a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. 
Tính cosin của góc giữa đường thẳng BG và đường thẳng SA . 
 Lời giải 
 z
 S
 G
 A y
 D
 O
 B
 C x
 Gọi O là tâm mặt đáy ABCD . Do là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ 
 độ Oxyz như hình vẽ. 
 AC a 2
 Ta có: OA OB OC OD . 
 22
 a 10
 Tam giác SAO vuông tại O : SO SA22 OA . 
 2
 a 2 a 2 a 2 a 2 a 10
 Ta có: , B 0; ;0 , , , 
 A ;0;0 C ;0;0 D 0; ;0 S 0;0;
 2 2 2 2 2
 . 
 aaa2 2 10
 là trọng tâm tam giác SCD nên: . 
 G ;;
 6 6 6
 aa2 10 a2 2 a 2 a 10
 , . 
 SA ;0; BG ;;
 22 6 3 6
 aa225
 SA. BG 66 33
 cos SA , BG . 
 SA. BG a 11 11
 a 3.
 3
7 
 SA.3 a a
 Ta có: SA2 SB 2 AB 2 SA  SB AH SH . 
 AB 22
 z
 S
 M A D y
 B H
 N C
 x
 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: 
 aa3
 A 0;0;0, Ba 2;0;0, CaaDaMa 2;2;0, 0;2;0, ;0;0, NaaS 2; ;0, ;0; 
 22
 aa3 2
 Ta có: SM ;0; , DN 2 a ; a ;0 SM . DN a 
 22
 SM. DN a2 5
 Vậy cos SM , DN . 
 SM. DN aa.5 5
 Ví DỤ 4 
 Ví 
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC 60o , BC 2 a . Gọi D là 
điểm thỏa mãn 32SB SD . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc đoạn BC 
sao cho BC 4 BH . Biết SA tạo với đáy một góc 60o . Tính góc giữa hai đường thẳng AD và 
SC . 
 Lời giải 
9