Chuyên đề Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Toán Lớp 12

CHUYÊN ĐỀ: 
MẶT NÓN – MẶT TRỤ- MẶT CẦU 
* Lưu ý: 
- Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón theo 1 đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta 
được 1 hình quạt có bán kính bằng độ dài đường sinh của hình nón và 1 cung tròn có độ dài bằng 
chu vi đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh hình 
nón. 
- Mối quan hệ giữa đường sinh l và bán kính r: 
 Gọi là số đo góc của cung AmB , khi đó ta có độ dài của cung : Cl . Vì độ dài 
 AmB
cung bằng chu vi của đường tròn có bán kính r của đáy hình chóp ban đầu nên ta có: 
 l 2 
 lr 2 
 r 
d)Thiết diện của mặt phẳng với hình nón: 
- Mặt phẳng cắt hình nón và đi qua đỉnh: 
 Mặt phẳng đi qua 2 đường sinh Mặt phẳng đi qua 1 đường sinh 
Thiết diện là tam giác cân tại đỉnh của hình Khi này mặt phẳng tiếp xúc với hình nón (gọi 
nón là tiếp diện) 
- Mặt phẳng cắt hình nón và không đi qua đỉnh: 
Mặt phẳng vuông góc với trục và cắt tất cả Mặt phẳng không vuông góc và cắt tất cả 
 đường sinh của hình nón đường sinh của hình nón 
 Thiết diện là 1 đường tròn Thiết diện là 1 đường elip 
 3 
Ví dụ 2: Cho hình nón có đường sinh l = a (cm), góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. 
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón theo a. 
 Hướng dẫn: 
- Bán kính đáy của hình nón: 
 a 3
r l cos SAO a cos300 
 2
- Chiều cao của hình nón: 
 2
 aa3
h l2 r 2 a 2 
 22
- Diện tích xung quanh hình nón: 
 aa33 2
S rl a dvdt 
 xq 22 
- Diện tích đáy hình nón: 
 2
 aa33 2
S r2 dvdt 
 đ 
 24
- Thể tích hình nón: 
 1 1 3 a22 a a
V S h dvtt) 
 3đ 3 4 2 8
+ Dạng 2: Các bài toán về thiết diện của mặt phẳng qua đỉnh của hình nón 
Phương pháp: Ta cần nắm các tính chất sau 
 Gọi: 
 + Mặt phẳng (SAC) là thiết diện của mặt phẳng giao với hình nón 
đỉnh O, đáy có tâm là H. 
 + M là trung điểm của AC. 
 + K là hình chiếu của H lên OM 
 Khi đó ta có: 
- Khoảng cách từ tâm H tới thiết diện (OAC): 
 (OHM) (OAC) OM
Ta có: HK OM HK  (OAC) 
 HK (OMH)
Vậy khoảng cách từ H tới (OAC) là HK 
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và OH: 
 AC MH
 Ta có: d(AC;OH) MH 
 OH MH 
Vậy MH là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và OH 
- Góc giữa thiết diện (OAC) và OH: 
 Ta có: HK  (OAC) OK là hình chiếu của OH lên (OAC) 
 (OH,(OAC)) (OH,OK) HOK 
Vậy góc giữa thiết diện (OAC) và OH là HOK 
- Góc giữa thiết diện (OAC) và đáy của hình nón (ABC) 
 5 
 OH 4 8 3
OM (cm) 
 cosMOH cos30 3
- Độ dài cạnh AM: 
 Xét OMA tại M, ta có: 
 2
 8 3 33
AM OA2 OM 2 5 2 
 (cm) 
 33
- Diện tích thiết diện OAC: 
 1 1 8 3 33 8 11
S OM.AC OM.2AM . (cm2) 
 OAC 2 2 3 3 3
Ví dụ 3: Cho hình nón đỉnh S, có chiều cao h=a và bán kính đáy r=2a. Mặt phẳng (P) đi qua S, 
cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB= 23a. Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn 
đáy đến mặt (P). 
 Hướng dẫn: 
 Gọi H là tâm của mặt đáy (ABC), M là trung điểm của AB, K là hình chiếu của H lên SM ,mặt 
(P) cắt hình nón theo thiết diện là SAB. 
- Độ dài cạnh AM: 
 Xét AMH tại M, ta có: 
 2
 2 2 2 AB 2 2
MH AHAM AH (2)(3)a a a 
 2
- Khoảng cách từ H tới mặt (P): 
 Vì K là hình chiếu của H lên SM nên: 
d(H;(P)) HK 
 Xét SHM tại H, ta có: 
 1 1 1 1 1
HK2 SH 2 MH 2aa 2 2
 2
 HK a 
 2
+ Dạng 3: Hình nón ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp đều 
 Hình nón nội tiếp hình chóp đều S.ABCD Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD 
 Hình nón nội tiếp có đỉnh S và đáy là đường Hình nón ngoại tiếp có đỉnh S và đáy là 
tròn nội tiếp hình vuông ABCD có tâm là O. đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có 
Ta có: tâm là O. Ta có: 
 1 1
- Bán kính đáy: r OM AB - Bán kính đáy: r OA AC 
 2 2
- Đường cao: h SO - Đường cao: 
- Đường sinh: l SM - Đường sinh: l SA 
 7 
 O : Trung ®iÓm AC
 OM l¯ ®­êng trung b×nh ABC 
 M : Trung ®iÓm BC
 11
 OM AB b 
 22
- Độ dài cạnh SO: 
 Xét SOM tại O, ta có: 
 13
 SO OM.tanSOM btan30  b 
 24
- Độ dài cạnh OC: 
 12
 Vì ABCD là hình vuông cạnh b OC AC b 
 22
- Giá trị của b theo a: 
 Xét SOC tại O, ta có: 
 SC2 SO 2 OC 2 
 22
 32 
 a2 b b
 42 
 4 11
 ba 
 11
- Độ dài cạnh SM: 
 Xét tại O, ta có: 
 OMb 3
 SM b 
 cosSMO 2cos30 3
- Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD: 
 2
 1 3 3 3 4 11 8 3
 S .OM.SM . b . b b22 a a 
 xq 
 2 3 6 6 11 33
- Thể tích của khối nón: 
 3
 1 1 113 3 3411 6433
 V S.SO . OM2 .SO . b 2 . b b 3 a a 3 
 đy¸ 
 3 3 3 4 4 48 48 11 5808
Ví dụ 3: Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC có thể tích là V. 
 Hướng dẫn: 
Gọi O là tâm của đáy, M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC, a là độ dài cạnh của đáy 
- Diện tích tam giác ABC: 
 Vì ABC đều cạnh a nên ta có: 
 3
 Sa 2 
 ABC 4
- Thể tích hình chóp SABC: 
 13
 V S.SO a2 .SO (1) 
 3 ABC 12
- Độ dài bán kính OC của đáy hình nón ngoại tiếp SABC 
 2 2 3 3
 R CO CM . aa 
 3 3 2 3
- Diện tích đáy của hình nón: 
 9 
VÍ DỤ 
Cho hình nón cụt có bán kính đáy là 12cm, chiều cao 8cm và độ dài đường sinh là 10cm. Tính 
thể tích của khối nón cụt. 
 Hướng dẫn: 
Gọi O,O’ là tâm của 2 đáy, r là bán kính đường tròn của đáy nhỏ; dựng AB vuông góc với O’C 
như hình vẽ. 
- Độ dài cạnh BC: 
 Xét ABC tại B, ta có: 
BC AC2 AB 2 10 2 8 2 6(cm) 
- Độ dài cạnh O’B: 
 Ta có: O'B O'C BC 12 6 6 (cm) 
- Độ dài bán kính đường tròn của đáy nhỏ: 
 Ta có OABO’ là hình chữ nhật nên: 
r O'B 6(cm) 
- Thể tích của khối nón cụt: 
 11 
Vr OO'(O'C2 2 O'C.r) 8(12 2 6 2 12.6) 672 (cm 3 ) 
 33
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1: Cho khối nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đường tròn đáy bằng r. Thể tích 
của khối nón là: 
 1 1
 A. V r2 h B. V 3 r2 h C. V rh D. V r2 h 
 3 3
Câu 2: Với V là thể tích của khối nón tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h được cho bởi 
công thức nào sau đây: 
 4 4
 A. . B. V r2 h C. D. V 22 r h 
 3 3
Câu 3: Cho khối nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đường tròn đáy bằng r. Diện tích 
toàn phần của khối nón là: 
 A. Stp r 1 r B. t Stp r 21 r C. Stp 21 r r D. Stp 2 r 1 2 r 
Câu 4: Cho khối nón có chiều cao bằng 6 và bán kính đường tròn đáy bằng 8. Thể tích của khối 
nón là: 
 A. 160 B. 144 C. 120 D. Đáp án khác 
Câu 5: Cho khối nón có chiều cao bằng 6 và bán kính đường tròn đáy bằng 8. Thể tích của khối 
nón là: 
 A. 160 B. 144 C. 128 D. 120 
Câu 6: Cho khối nón có chiều cao bằng 8 và độ dài đường sinh bằng 10. Thể tích của khối nón 
là: 
 A. 96 B. 140 C. 128 D. 124 
Câu 7: Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng 
a; Biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là: 
 a3 23 a3 3 3a3 
 A. a3 3 B. C. D. 
 9 24 8
Câu 8: Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC vuông cân tại A; 
Biết A trùng với đỉnh của khối nón, AB = 4a. Bán kính đường tròn đáy của khối nón là: 
 a 3 a 3
 A. B. C. D. a22 
 2 4
 11