Chuyên đề Khối đa diện và thể tích của khối đa diện - Toán học 12

 A- KIẾN THỨC BỔ TRỢ CHO CHUYÊN ĐỀ 
I) HÌNH HỌC PHẲNG 
a) Các hệ thức trong tam giác 
 Đối với tam giác vuông Đối với tam giác thường 
- Nhóm công thức tính cạnh: -Định lý cos: 
BC2 AB 2 AC 2 BC2 AB 2 AC 2 2 AB . AC cos A 
AB2 BH. BC AC2 BC 2 AB 2 2 BC . AB cos B 
AC2 CH. CB AB2 AC 2 BC 2 2 AC . BC cos C 
-Nhóm công thức tính đường cao: -Định lý sin: 
 1 1 1 AC BC AB
 2 2 2 2R
AH AB AC sinBAC sin sin 
AH2 CH. BH (R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp 
AH.. BC AB AC ABC ) 
b) Các tính chất về đường trung tuyến của tam giác: 
- Độ dài đường trung tuyến: 
 AB2 AC 2 BC 2
 AM2 
 24 
 BC2 BA 2 AC 2
 BN2 
 24 
 CA2 CB 2 AB 2
 CL2 
 24 
(Bình phương đường trung tuyến bằng 1 nửa 
tổng bình phương 2 cạnh kề trừ cho 1 phần tư 
bình phương cạnh còn lại) 
- Trọng tâm của tam giác: 
 Là giao điểm của 3 đường trung tuyến. Độ dài từ đỉnh tam giác tới trọng tâm bằng 2/3 độ dài 
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh đó. 
 AG 2 AM ; BG 2 BN ; CG 2 CL 
 3 3 3
* Lưu ý: 
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông có độ dài bằng 1 nửa cạnh 
huyền; khi đó trung điểm cạnh huyền chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác. 
- Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác là đường trung bình của tam giác. (Khi đề bài 
cho trung điểm của cạnh ta cần hết sức để ý tới việc vận dụng tính chất đường trung bình). 
c) Các công thức tính diện tích tam giác 
 1 1 1
- S AH... BC BK AC CQ AB 
 ABC 2 2 2
 1 
 II) HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 
 1) QUAN HỆ SONG SONG 
a) Đường thẳng song song với mặt phẳng: 
+ Định nghĩa: 
Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song khi chúng không có điểm chung nào 
+ Các phương pháp chứng minh: 
 Phương pháp 1 
 Phương pháp 2 Phương pháp 3 
 (Phương pháp chính) 
Nếu đường thẳng a không nằm Nếu 2 mặt phẳng và Nếu như đường thẳng a và mặt 
trên mặt phẳng () , và song () song song nhau, thì đường phẳng cùng vuông góc với 
song với đường thẳng b nằm thẳng a bất kì thuộc mặt phẳng đường thẳng hoặc mặt phẳng 
trên mặt phẳng thì a song cũng sẽ song song với mặt khác thì a sẽ song song với 
song với . phẳng . mắt phẳng . 
 a  () 
 a  () a  ()
 a b a () a () a () 
 ()()  ()() 
 b  () 
* Lưu ý: 
 Ta còn dùng mối quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng để chứng minh 2 đường 
thẳng song song. 
-Định lí 1: 
 Gọi b là giao tuyến của 2 mặt phẳng () và () , nếu đường thẳng a 
nằm trong mặt phẳng và song song với thì a cũng song song 
với b. 
- Định lí 2: 
 Nếu 2 mặt phẳng () và () giao nhau tại b và cùng song song với 
đường thẳng a (a không nằm trong mặt phẳng và ) thì a song 
song với b 
b) Hai mặt phẳng song song 
+ Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. 
+ Các phương pháp chứng minh: 
 Phương pháp 1 
 Phương pháp 2 
 (Phương pháp chính) 
Nếu mặt phẳng () song song với 2 đường Nếu 2 mặt phẳng và () cùng vuông góc 
thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng () thì với 1 đường thẳng hoặc cùng song song với 1 
() song song với () . mặt phẳng khác thì song song với () . 
 3 
 2) QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: 
+ Định nghĩa: 
 Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường 
phẳng chứa trong mặt phẳng đó. 
+ Các phương pháp chứng minh: 
 Phương pháp 1 
 Phương pháp 2 Phương pháp 3 
 (Phương pháp chính) 
 Nếu đường thẳng a vuông Nếu 2 mặt phẳng và () Nếu mặt phẳng () và 
góc với 2 đường thẳng b và c vuông góc tại b, thì đường cùng vuông góc với mặt 
cắt nhau nằm trong mặt phẳng thẳng a bất kì nằm trong phẳng ()Q thì giao tuyến a 
() thì a vuông góc với () . và vuông góc với b thì cũng sẽ của và () sẽ vuông góc 
 vuông góc với . với ()Q . 
 a b, c ()()  Q
 ()()  b 
 b,()() c a  a () ()()() Q a  Q 
 ab 
 bc O ()()  a
* Lưu ý: 
Ta còn dùng tính chất bắt cầu để chứng minh 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Dưới đây 
là 2 trường hợp thường gặp: 
- Nếu đường thẳng a vuông góc với b, mà b song song với () thì a cũng sẽ vuông góc với () 
-Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng , mà vuông góc với () thì a cũng sẽ 
vuông góc với . 
 5 
 3) KHOẢNG CÁCH 
Khoảng cách giữa 2 đối tượng (điểm, đoạn, đường hoặc mặt phẳng) là độ dàinhỏ nhất nối giữa 2 
đối tượng đó. 
a) Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng hoặc 1 mặt phẳng: 
+ Định nghĩa: 
Là độ dài của đoạn thẳng nối điểm đó với hình chiếu của điểm đó lên đường thẳng hoặc mặt 
phẳng đang xét. 
+ Các phương pháp tìm khoảng cách: 
Xét bài toán tìm khoảng cách từ M đến mặt phẳng () 
 Phương pháp 1 Phương pháp 2 
+ Bước 1: Xác định mặt phẳng () đi qua M + Bước 1: Xác định mặt phẳng không đi 
và vuông góc với . qua M và vuông góc với . 
+ Bước 2: Trong mặt phẳng , ta dựng đoạn + Bước 2: Xác định đoạn thẳng song song, đi 
thẳng vuông góc từ M tới là MH. qua M và cắt tai N. Khi đó, khoảng cách từ 
+ Bước 3: Sử dụng hình học phẳng (thông M tới bằng khoảng cách từ N tới . 
thường ta ghép đoạn MH vào 1 vuông) để + Bước 3: Trong mặt phẳng , ta dựng đoạn 
xác định độ dài MH. vuông góc từ N tới là NH và tính NH. 
d(M ,( )) MH 
 dd(MN ,( )) ( ,( )) NH 
*Lưu ý: 
- Ở phương pháp 2, nếu không xác định được mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thì 
đi tìm đường thẳng a vuông góc với rồi sau đó thực hiện các bước 2 và 3 tương tự. 
- Đối với bài toán tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta làm hoàn toàn tương tự. 
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 
Khoảng cách giữa đường thẳng a song song với mặt phẳng là khoảng cách của 1 điểm M bất 
kì thuộc a tới mặt phẳng . 
 7 
 * Lưu ý: 
Góc giữa a và b còn được xác định thông qua công thức: 
(độ lớn của tích vô hướng chia cho tích độ dài) 
 ab.
 cos(ab , )= 
 ab
b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
Phương pháp xác định góc giữa a và mặt phẳng() 
 + Bước 1: Từ điểm M trên đường thẳng a, xác định đoạn 
thẳng MH vuông góc với mặt phẳng () . 
 + Bước 2: Suy ra AH là hình chiếu của AM lên , từ đây 
ta có góc giữa a và là MAH 
c) Góc giữa 2 mặt phẳng 
Phương pháp xác định góc giữa 2 mặt phẳng() và () 
- Bước 1: Xác định giao tuyến c của () và 
- Bước 2: Xác định a nằm trong và b nằm trong sao cho a và 
b đều vuông góc với c tại M. 
- Bước 3: Góc giữa và khi đó là góc giữa đường thẳng a và b. 
*Lưu ý: 
 Khi hình chóp SABC có SA  (ABC) thì (ABC) được gọi là hình 
chiếu của (SBC) lên mặt đáy. Gọi là góc tạo bởi (SBC) và (ABC), 
khi đó ta có: 
 Diện tích của ABC: 
SS ABC SBC cos (*) 
( *là công thức tính diện tích hình chiếu) 
 9 
 *Lưu ý: 
 Mỗi đa diện chia các điểm còn lại (ngoại trừ các điểm trên hình đa diện) của không gian thành 
2 miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện. Các điểm nằm ở miền 
trong gọi là điểm trong, các điểm nằm ở miền ngoài gọi là điểm ngoài. 
c) Hai đa diện bằng nhau 
+ Phép dời hình: 
- Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi 
là 1 phép biến hình. 
- Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa 2 
điểm tùy ý. 
 Một số phép dời hình trong không gian: 
 . Phép tịnh tiến theo vecto 
 . Phép đối xứng qua mặt phẳng 
 . Phép đối xứng tâm 
 . Phép đối xứng qua đường thẳng 
 Các phép biến hình trong không gian 
* Lưu ý: 
- Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình H thành chính nó (P) được gọi là mặt phẳng 
đối xứng của H. 
- Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng. 
- Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d gọi là trục đối xứng 
của (H). 
+ Hai hình bằng nhau: 
 Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. 
 Tương tự, hai đa diện gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa 
diện kia. 
d) Phân chia và lắp ghép các khối đa diện 
Một khối đa diện có thể được phân chia thành nhiều khối đa diện khác nhau. Đặc biệt, một khối 
đa diện bất kỳ luôn có thể phân chia được thành những khối tứ diện. 
  BÀI TẬP 
Phương pháp:Nắm vững lý thuyết về hình đa diện, khối đa diện, các phép dời hình và phân 
chia, lắp ráp các khối đa diện. Ngoài ra ta cần ghi nhớ thêm các kiến thức sau: 
- Mối liên hệ giữa số cạnh, số đỉnh và số mặt của 1 hình đa diện bất kỳ: 
 Sè c¹nh = Sè ®Ønh + Sè mÆt -2 
- Hình chóp có số đỉnh bằng số mặt và có số cạnh gấp đôi số cạnh của đáy. 
- Nếu 1 khối đa diện chỉ có các mặt là tam giác thì tổng số các mặt là số chẵn. 
 11