Chuyên đề Hình giải tích không gian - Toán Lớp 12

Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
 MỤC LỤC 
CHỦ ĐỀ 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN ..................................................... 3 
 VẤN ĐỀ 1. Các bài tốn điển hình thường gặp .............................................................. 5 
 VẤN ĐỀ 2. Ứng dụng tọa độ giải tốn hình học khơng gian........................................... 9 
CHỦ ĐỀ 2. MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ............................... 10 
 VẤN ĐỀ 1. Viết phương trình mặt phẳng ................................................................ 11 
 VẤN ĐỀ 2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ............................................................ 14 
 VẤN ĐỀ 3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt 
 phẳng song song. Hính chiếu và điểm đối xứng ............................................................. 16 
 VẤN ĐỀ 4. Gĩc của hai mặt phẳng............................................................................... 17 
 VẤN ĐỀ 5. Ứng dụng giải tốn hình học khơng gian ................................................... 18 
CHỦ ĐỀ 3. MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ..................................... 20 
 VẤN ĐỀ 1. Viết phương trình mặt cầu ........................................................................ 20 
 VẤN ĐỀ 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu................................................ 20 
CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ........................ 28 
 VẤN ĐỀ 1. Viết phương trình đường thẳng .................................................................. 28 
 Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng ( ()P hoặc //()P ) qua điểm A và 
 vuơng gĩc với đường thẳng d ..................................................................................... 30 
 Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng qua A, vuơng gĩc với d1 và cắt d2 ........ 30 
 Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với (P) và cắt d ......... 31 
 Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai 
 đường thẳng d1, d2...................................................................................................... 31 
 VẤN ĐỀ 2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong khơng gian ........................ 32 
 Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng 
 dd12, .......................................................................................................................... 32 
 Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng và cắt hai 
 đường thẳng dd12, ..................................................................................................... 33 
 Dạng 3. Viết phương trình đường vuơng gĩc chung d của hai đường thẳng chéo nhau
 ................................................................................................................................... 34 
 VẤN ĐỀ 3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách 
 giữa hai đường thẳng chéo nhau ............................................................................... 34 
 Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .......................................... 34 
 Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ............................................. 35 
 Dạng 3. Ứng dụng tọa độ giải tốn khơng gian ......................................................... 35 
 VẤN ĐỀ 4. Các bài tốn liên quan giữa đường thẳng và mặt phẳng ............................ 36 
 Dạng 1. Đường thẳng song song với mặt phẳng ....................................................... 37 
 Dạng 2. Hình chiếu vuơng gĩc của một điểm lên mặt phẳng ..................................... 38 
 Dạng 3. Hình chiếu vuơng gĩc của một đường thẳng lên mặt phẳng ........................ 40 
 Dạng 4. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng .................................................. 43 
 VẤN ĐỀ 5. Các bài tốn liên quan giữa đường thẳng và mặt cầu ................................. 53 
 Page 1 
Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
 CHỦ ĐỀ 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
1. AB ( xBABABA x , y y , z z )
 2 2 2
 2. AB AB xBABABA x y y z z 
 3. a b a1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 
 4. k.a ka1 , ka 2 , ka 3 
 222
 5. a aaa1 2 3
 ab 
 11
 6. a b a22 b
 ab 
 33
 7. a.b a . b a . b a . b | a | . | b | c os a,b
 1 1 2 2 3 3 
 aaa
 8. a / /b a k . b a , b 0 12 3
 b1 b 2 b 3
 9. ab a . b 0 a1 . b 1 a 2 . b 2 a 3 . b 3 0
 a a a a aa 
10. [a,b ] 2 3 , 3 1 , 12
 b b b b bb
 2 3 3 1 12
Trong khơng gian (Oxyz ) cho Axyz AAABBBCCC;;;;;;;; Bxyz Cxyz . Ta cĩ: 
 AB xBABABA x;; y y z z 
 2 2 2 
 AB AB xBABABA x y y z z 
 xxAB 
 xI 
 2
 yyAB 
I là trung điểm của AB thì yI 
 2
 zzAB 
 zI 
 2
 xABC x x
 xG 
 3
 yABC y y
G là trọng tâm của tam giác ABC thì yG 
 3
 zABC z z
 zG 
 3
 Page 3 
Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
VẤN ĐỀ 1. Các bài tốn điển hình thường gặp 
Ví dụ 1: a 1; m ;2 ; b m 2;2;1 ; c 0; m 2;2 
 a) Tìm m để ab 
 b) Tìm m để a,, b c đồng phẳng 
 c) Tìm m để a b c 
 42
ĐS: a) m ; b ) m ; c ) m 6 3 3 
 35
Ví dụ 2: Tìm xy, để ba điểm A 2;0;2 ; B 1;2;3 ; C x ; y 3;7 thẳng hàng 
ĐS: xy 13, 13 
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cĩ A(1;2;1), B(5;3;4); C(8;-3;2) 
 a) Chứng minh rằng ABC vuơng 
 b) Tìm điểm M sao cho MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất 
Hướng dẫn 
 a) AB . BC 0
 b) M ( x ; y , z )...; x 4, y 4, z 1
Ví dụ 4. Cho 3 điểm A(1;-1;2), B(2;1;0); C(0;1;-1). Tìm điểm M thuộc trục Oz sao cho 
 MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất 
 1
Hướng dẫn: M(0;0; t );..., t 
 3
BTTT: Cho 3 điểm A(1;-1;2), B(-1;2;0); C(3;-1;0). Tìm điểm M thuộc trục sao cho 
 MA2 MB 2 MC 2 nhỏ nhất 
Hướng dẫn: 
Ví dụ 5. Cho 3 điểm A(1;-1;1), B(2;1;-2); C(0;0;1). Tìm tọa độ trực tâm của 
Hướng dẫn: 
 AH BC AH.0 BC
 5 4 8
 BH AC BH. AC 0 . ĐS : H ; ; 
 9 9 9
 BC, AC , CH đồng phẳng CH. BC ; AC 0
BTTT: Cho 3 điểm A(4;-2;-1), B(1;4;-1); C(1;-2;-7). Tìm tọa độ trực tâm của . 
Đáp số: H(3;-1;-2) 
Ví dụ 6. Cho 2 điểm A(1;2;-1), B(-2;1;3). Tìm M thuộc trục Ox sao cho AMB cĩ diện tích nhỏ 
nhất. 
 1 12 1
Hướng dẫn M( t ;0;0). S AM ; AB 17 t 2 t 75,.... t 
 AMB 2 2 17
 Page 5 
Bài giảng Hình Học Giải tích Khơng gian. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
Hướng dẫn: 
 aM) (0;0;4)
 b) C ( a ; b ; c ).... ĐS : a 4; b 5; c 2
Ví dụ 11. Cho 4 điểm A(1;2;4); B(2;-1;0); C(-2;3;-1); M(;;) x y z ABC . Tìm hệ thức liên hệ 
giữa x, y, z. Tìm tọa độ D biết ABCD là hình bình hành và diện tích hình bình hành ABCD. 
Hướng dẫn: 
 M ABC AB; AC . AM 0 19178290 x y z 
 DS( 1;0; 5);ABCD 714
Ví dụ 12. Cho tứ diện ABCD, cĩ A(2;3;1); B(1;1;-2); C(2;1;0); D(0;-1;2). Đường cao AH. Tìm tọa độ 
chân đường cao 
Hướng dẫn: 
 AH BC
 31
 AH BD..... H 3; ; 
 22
 BC; BD . BH 0
Ví dụ 13. Cho 3 điểm A(3;2;-5); B(-2;1;-3); C(5;1;-1). 
 a) Chứng minh rằng ABC nhọn 
 b) Tìm điểm D thuộc (xOy) sao cho tứ diện ABCD là tứ diện trực tâm ( cĩ các cặp cạnh đối 
 vuơng gĩc với nhau) 
Hướng dẫn: 
 a)*Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của tam giác
 * Chứng minh AB2 BC 2 CA 2 , AB 2 CA 2 BC 2 , BC 2 CA 2 AB 2
 b) D ( x ; y ;0)
 AB. AC ; AD 0 
 31 19
 Điều kiện ABCD là tứ diện trực tâm AB . CD 0 .....D ; ;0
 77
 AB. BD 0
Ví dụ 14. Tam giác ABC cĩ các đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz và cĩ trọng tâm 
G(1;2;-1). Tính diện tích tam giác đĩ. 
Hướng dẫn: 
 x 3
 A( x ;0;0); B (0; y ;0); C (0;0; z ).G là trọng tâm của tam giác ABC nên y 7
 z 3 
 3V 27
 S OABC (h là khoảng cách từ O đến (ABC))
 ABC h 2
Ví dụ 15. Cho ba điểm A(2;0;0), B(1;1;2), C(3;-1;1). 
 Page 7