Chuyên đề Hệ trục toạ độ trong không gian - Hình học Lớp 12

 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN- CÓ GIẢI CHI TIẾT 
A. LÝ THUYẾT 
1. Hệ trục tọa độ trong không gian 
 Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox,, Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và 
 chung một điểm gốc O. Gọi i,, j k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox,, Oy Oz . 
 Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. 
 2 2 2
 Chú ý: i j k 1 và i. j i . k k . j 0. 
2. Tọa độ của vectơ 
 a) Định nghĩa: u x;; y z u xi y j zk 
 b) Tính chất: Cho a ( a1 ; a 2 ; a 3 ), b ( b 1 ; b 2 ; b 3 ), k 
 a b (;;) a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 
 ka (;;) ka1 ka 2 ka 3 
 ab11 
 a b a22 b 
 ab33 
 0 (0;0;0),i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) 
 a cùng phương bb( 0) a kb() k 
 a11 kb
 aa12a3
 a2 kb 2 , ( b 1 , b 2 , b 3 0) 
 b1 b 2 b 3
 a33 kb
 a.... b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 
 2 2 2 2 222
 a a1 a 2 a 3 a a1 a 2 a 2 
 ab. a b a b a b
 cos(ab , ) 1 1 2 2 3 3 (với ab,0 ) 
 2 2 2 2 2 2
 ab. a1 a 2 a 3. b 1 b 2 b 3
3. Tọa độ của điểm 
 b) Tính chất: 
 [,];[,]a b a a b b 
 a,, b b a 
 i,;,;, j k j k i k i j 
 [a , b ] a . b .sin a , b 
 ab, cùng phương [ab , ] 0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng) 
 c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao) 
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ab, và c đồng phẳng [a , b ]. c 0 
 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD AB, AD 
 1
 Diện tích tam giác ABC : S ABC AB, AC 
 2
 Thể tích khối hộp ABCDA B C D : VABCD.'''' A B C D [ AB , AD ]. AA 
 1
 Thể tích tứ diện ABCD: V [ AB , AC ]. AD 
 ABCD 6
 Chú ý: 
 – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường 
thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. 
 – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính 
thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng 2 2 2
 Ta có a b a b2 a b .cos a , b 4 16 8 28 a b 2 7. 
Câu 3. Cho u 1;1;1 và v 0;1;m . Để góc giữa hai vectơ uv, có số đo bằng 450 thì m bằng 
 A. 3 . B. 23 . C. 13 . D. 3 . 
 Hướng dẫn giải 
 m 1
 1.0 1.1 1.m 1 2 
 cos 2 mm 1 3 1 2
 2 2
 3.m 1 2 3 mm 1 2 1 
 m 23 
Câu 4. Cho ABCD 1; 2;0 , 3;3;2 , 1;2;2 , 3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng 
 A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. 
 Hướng dẫn giải 
 Tính AB 2;5;2 , AC 2;4;2 , AD 2;5;1 
 1
 V AB,. AC AD 
 6 
 Sử Dụng Casio 
 Nhập vectơ AB 
 w8112=5=2= 
 Nhập vectơ AC 
 q5221z2=4=2= 
 Nhập vectơ AD 
 q52312=5=1= 
 1
 Tính V AB,. AC AD 
 6 
 Cqcq53q54q57q55)a Soi đáp án chọn A. 
Câu 6. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B (3;7;4), C ( x ; y ;6) . Giá trị của xy, để ba 
 điểm ABC,, thẳng hàng là 
 A. xy 5; 11. B. xy 5; 11. C. xy 11; 5. D. xy 11; 5. 
 Hướng dẫn giải 
 AB 1;2;1 , AC x 2; y 5;3 
 xy 2 5 3
 ABC,, thẳng hàng AB, AC cùng phương xy 5; 11 
 1 2 1
Câu 7. Cho hình chóp S. ABCD biết ABCD 2;2;6 , 3;1;8 , 1;0;7 , 1;2;3 . Gọi H là trung 
 27
 điểm của CD, SH ABCD . Để khối chóp S. ABCD có thể tích bằng (đvtt) thì có 
 2
 hai điểm SS12, thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của SS12 
 A. I 0; 1; 3 . B. I 1;0;3 C. I 0;1;3 . D. I 1;0; 3 . 
 Hướng dẫn giải 
 1 3 3
 Ta có AB 1; 1;2 , AC 1; 2;1 S AB , AC 
 ABC 22 
 DC 2; 2;4 , AB 1; 1;2 DC 2. AB ABCD là hình thang và 
 93
 SS 3 
 ABCD ABC 2
 1
 Vì V SH. S SH 3 3 
 S. ABCD3 ABCD
 Lại có H là trung điểm của CD H 0;1;5 
 Gọi S a; b ; c SH a ;1 b ;5 c SH k AB , AC k 3;3;3 3 k ;3 k ;3 k 
 Suy ra 3 3 9k222 9 k 9 k k 1 
 +) Với k 1 SH 3;3;3 S 3; 2;2 
 +) Với k 1 SH 3; 3; 3 S 3;4;8 
 Suy ra 
Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có AB( 1;2;4), (3;0; 2),C(1;3;7) . Gọi D là 
 chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD . 
 207 203 201 205
 A. . B. C. . D. . 
 3 3 3 3 7 14
 GA2 GB 2 GC 2 GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M  G ; ;0 x y z 7 . 
 33 Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho M không 
 trùng với gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là (
 abc, , 0 ) 
 A. 0;ba ; . B. ab; ;0 . C. 0;0;c . D. a;1;1 
Câu 12. Trong không gian , cho a 0;3;4 và ba 2 , khi đó tọa độ vectơ b có thể là 
 A. 0;3;4 . B. 4;0;3 . C. 2;0;1 . D. 8;0; 6 . 
Câu 13. Trong không gian cho hai vectơ u và v , khi đó uv, bằng 
 A. u. v .sin u , v . B. u. v .cos u , v . C. u. v .cos u , v . D. u. v .sin u , v . 
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a 1; 1;2 , b 3;0; 1 , c 2;5;1 , vectơ 
 m a b c có tọa độ là 
 A. 6;0; 6 . B. 6;6;0 . C. 6; 6;0 . D. 0;6; 6 . 
Câu 15. Trong không gian cho ba điểm ABC 1;0; 3 , 2;4; 1 , 2; 2;0 . Độ dài các cạnh 
 AB,, AC BC của tam giác ABC lần lượt là 
 A. 21, 13, 37 . B. 11, 14, 37 . C. 21, 14, 37 . D. 21, 13, 35 . 
Câu 16. Trong không gian cho ba điểm . Tọa độ trọng 
 tâm G của tam giác ABC là 
 5 2 4 5 2 4 5
 A. ;; . B. ;; . C. 5;2;4 . D. ;1; 2 . 
 3 3 3 3 3 3 2
Câu 17. Trong không gian cho ba điểm ABC 1;2;0 , 1;1;3 , 0; 2;5 . Để 4 điểm 
 ABCD,,, đồng phẳng thì tọa độ điểm D là 
 A. D 2;5;0 . B. D 1;2;3 . C. D 1; 1;6 . D. D 0;0;2 . 
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a (;;),1 2 3 b ( 2 ;;), 0 1 c ( 1 ;;) 0 1 . Tìm tọa độ 
 của vectơ n a b 23 c i 
 A. n 6;2;6 . B. n 6;2; 6 . C. n 0;2;6 . D. n 6;2;6 . 
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có ABC(1;0;2), ( 2;1;3), (3;2;4) . Tìm tọa 
 độ trọng tâm G của tam giác ABC 
 2 1
 A. G ;1;3 . B. G 2;3;9 . C. G 6;0;24 . D. G 2; ;3 . 
 3 3
Câu 20. Cho 3 điểm MNP 2;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;4 . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ 
 của điểm Q là 
 A. Q 2; 3;4 B. Q 2;3;4 C. Q 3;4;2 D. Q 2; 3; 4