Chuyên đề Hệ trụ tọa độ trong không gian - Hình học 12

 TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong khơng gian
 Ox,, Oy Oz
 i,, j k Ox,, Oy Oz
 Trong khơng gian, xét ba trục tọa độ vuơng gĩc với nhau từng đơi một và chung một
 hệ trục tọa độ vuơng gĩc
 điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục . Hệ ba trục như vậy
 2 2 2 
 gọi là i j k 1trong khơngi. j i . k gian. k . j 0
 Chú ý: và .
2. Tọa độ của vectơ
 a) Định nghĩa: u xyz;; u xiyjzk 
 b) Tính chất: a ( a1 ; a 2 ; a 3 ), b ( b 1 ; b 2 ; b 3 ), k 
 Cho
 a b (;;) a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
 ka (;;) ka1 ka 2 ka 3
 a1 b 1
 a b a2 b 2
 a3 b 3
 0 (0;0;0),i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)
 a b( b 0) a kb() k 
 cùng phương a1 kb 1
 a1 a 2 a3
 a2 kb 2 , ( b 1 , b 2 , b 3 0)
 b1 b 2 b 3
 a3 kb 3
 a.... b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0
 2 2 2 2 2 2 2
 a a1 a 2 a 3 a a1 a 2 a 2
 a. b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 
 cos(a , b ) (với a, b 0 )
 2 2 2 2 2 2
 a. b a1 a 2 a 3. b 1 b 2 b 3
3. Tọa độ của điểm
  
 a) Định nghĩa: Mxyz(;;)... OM xi yjzk (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) 
 a,, b b a 
 i,;,;, j k j k i k i j
 [a , b ] a . b .sin a , b 
 a, b [a , b ] 0
 cùng phương (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
 c) Ứng dụng của tích cĩ hướng: (Chương trình nâng cao)
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b c [a , b ]. c 0
 và đồng phẳng  
 Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD AB, AD 
 1   
 Diện tích tam giác ABC : S ABC AB, AC 
 2
    
 Thể tích khối hộp ABCDA B C D : VABCD.'''' A B C D [ AB , AD ]. AA 
 1    
 Thể tích tứ diện ABCD : V [ AB , AC ]. AD
 ABCD 6
 Chú ý:
 – Tích vơ hướng
 của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng
gĩc, tính gĩc giữa hai đường thẳng.
 – Tích cĩ hướng
 của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích
khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương. 
 a  b a . b 0
 a và b cùng phương  a , b 0
 a ,,,. b c đồng phẳng  a b c 0 m 1
 1.0 1.1 1.m 1 2 
 cos 2 m 1 3 m 1 2
 2 2
 3.m 1 2 3 m 1 2 m 1 
 m 2 3
Câu 4. ABCD 1; 2;0 , 3;3;2 , 1;2;2 , 3;3;1 ABCD
 A. B. C. D.
 Cho . Thể tích của tứ diện bằng
 5. 4. Hướng dẫ3.n giải 6.
    
 Tính AB 2;5;2 , AC 2;4;2 , AD 2;5;1 
 1    
 V AB,. AC AD
 6 
 Sử Dụng Casio
  
 Nhập vectơ AB
 w8112=5=2=
  
 Nhập vectơ AC
 q5221z2=4=2=
  
 Nhập vectơ AD
 q52312=5=1=
 1    
 Tính V AB,. AC AD
 6 
 Cqcq53q54q57q55)a
Câu 5. Oxyz ABCD 1; 2;0 , 3;3;2 , 1;2;2 , 3;3;1 
 ABCD D ABC
 Trong khơng gian tọa độ , cho bốn điểm . Độ
 dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh xuống mặt phẳng là   
 AB 1;2;1 , AC x 2; y 5;3 
   x 2 y 5 3
 ABC,, AB, AC x 5; y 11
 1 2 1
 thẳng hàng cùng phương
Câu 7. S. ABCD ABCD 2;2;6 , 3;1;8 , 1;0;7 , 1;2;3 H
 27
 Cho CDhình, SHchĩp ABCD biết S. ABCD . Gọi là trung điểm
 2
 cSSủ1,a 2 . Để khối chĩp cĩ thể tíchI bằngSS1 2 (đvtt) thì cĩ hai điểm
 A. I 0; 1; 3 . B. I 1;0;3 C. I 0;1;3 . D. I 1;0; 3 .
 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Tìm tọa độ trung điểm của
 Hướng dẫn giải
   1   3 3
 AB 1; 1;2 , AC 1; 2;1 S AB , AC 
 ABC 2 2
 Ta cĩ    
 DC 2; 2;4 , AB 1; 1;2 DC 2. AB ABCD
 9 3
 SS 3 là hình thang và
 ABCD ABC 2
 1
 V SH. S SH 3 3
 S. ABCD3 ABCD
 Vì
 H CD H 0;1;5 
     
 Lại cĩ là trung điểm của 
 Sabc ;; SH a ;1;5 b c SHkABAC , k 3;3;33;3;3 kkk 
 Gọi
 3 3 9k2 9 k 2 9 k 2 k 1
  
 Suy ra k 1 SH 3;3;3 S 3; 2;2 
  
 +) Với k 1 SH 3; 3; 3 S 3;4;8 
 +) Với I 0;1;3 
Câu 8. Suy ra Oxyz ABC AB( 1;2;4), (3;0; 2),C(1;3;7) D
  
 A OD .
 Trong khơng gian , cho tam giác cĩ . Gọi là chân
 207 203 201 205
 đưA. ờng phân. giác trong B.của gĩc . Tính độ dàiC. . D. .
 3 3 3 3
 Hướng dẫn giải
 D x; y;z 
 GDBọi AB 2 14
 2
 DC AC 14 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi là gĩc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đĩ cos bằng
 a. b a. b a. b a b
 A. . B. . C. . D. .
 a. b a. b a. b a. b
Câu 2. Gọi là gĩc giữa hai vectơ a 1;2;0 và b 2;0; 1 , khi đĩ cos bằng
 2 2 2
 A. 0. B. . C. . D. .
 5 5 5
Câu 3. Cho vectơ a 1;3;4 , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
 A. b 2; 6; 8 . B. b 2; 6;8 . C. b 2;6;8 . D. b 2; 6; 8 .
Câu 4. Tích vơ hướng của hai vectơ a 2;2;5 , b 0;1;2 trong khơng gian bằng
 A. 10. B. 13. C. 12. D. 14.
Câu 5. Trong khơng gian cho hai điểm AB 1;2;3 , 0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
 A. 6. B. 8. C. 10. D. 12.
  
Câu 6. Trong khơng gian Oxyz , gọi i,, j k là các vectơ đơn vị, khi đĩ với M x;; y z thì OM bằng
 A. xi y j zk. B. xi y j zk. C. x j yi zk. D. xi y j zk.
Câu 7. Tích cĩ hướng của hai vectơ a (;;) a1 a 2 a 3 ,b (;;) b1 b 2 b 3 là một vectơ, kí hiệu a, b , được xác
 định bằng tọa độ
 A. ab23 abab 3231;;. abab 1312 ab 21 B. ab23 abab 3231;;. abab 1312 ab 21 
 C. ab23 abab 3231;;. abab 1312 ab 21 D. ab22 abab 3333;;. abab 1111 ab 22 
Câu 8. Cho các vectơ u u1;; u 2 u 3 và v v1;; v 2 v 3 , u. v 0 khi và chỉ khi
 A. u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 1. B. u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 0 .
 C. u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 0 . D.u1 v 2 u 2 v 3 u 3 v 1 1.
Câu 9. Cho vectơ a 1; 1;2 , độ dài vectơ a là
 A. 6 . B. 2. C. 6 . D. 4.
Câu 10. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M khơng trùng với gốc tọa độ,
 khi đĩ tọa độ điểm M cĩ dạng
 A. M a;0;0 , a 0 . B. M 0; b ;0 , b 0 . C. M 0;0; c , c 0 . D. M a;1;1 , a 0 .
Câu 11. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho M khơng trùng với
 gốc tọa độ và khơng nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đĩ tọa độ điểm M là ( a, b , c 0 )
 A. 0;b ; a . B. a; b ;0 . C. 0;0;c . D. a;1;1