Chuyên đề Giải phương trình bậc hai với hệ số thực (Phần 1) - Đại số 12

pdf 11 trang thanh nguyễn 16/12/2024 90
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Giải phương trình bậc hai với hệ số thực (Phần 1) - Đại số 12", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề Giải phương trình bậc hai với hệ số thực (Phần 1) - Đại số 12

Chuyên đề Giải phương trình bậc hai với hệ số thực (Phần 1) - Đại số 12
 Giải tích 12. 
CHƯƠNG 
BÀI 
 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 
 I Dạng 1: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai. 
 I 
 = Phương pháp giải 
 2
 =+ Tính b 4 ac . 
 + Áp dụng công thức nghiệm. 
 =
 b
 0:phương trình có nghiệm thực x . 
 I 2a
 b 
 0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: x . 
 1,2 2a
 bi || 
 0:phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: x . 
 1,2 2a
 Chú ý: 
 Có thể dùng biệt thức b2 ac (với bb 2 ). Khi đó nghiệm của phương trình bậc hai đã 
 bi || 
 cho được xác định bởi công thức: x 
 1,2 a
 - Casio: 
 + Dùng chức năng giải phương trình bậc hai trên máy tính Casio. 
 VÍ DỤ 1 
 Ví 
 2
[Mức độ 1] Giải phương trìnhsau: zz 2 17 0 trên tập số phức. 
 Lời giải 
z22 2 z 1 16 z 1 2 16 i z 1 2 4 i 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phức là: zi1 14, zi2 14. 
 VÍ DỤ 2 
 Ví 
[Mức độ 1] Gọi zz, là hai nghiệm của phương trình: zz2 5 21 0. Tính A z z . 
 12 12 
 Lời giải 
 5i 59
Ta có : 59 59i2 z , z z z 21 z z 2 21 
 1 22 1 2 1 2
 VÍ DỤ 3 
1 | Ví 
 4 8 4. 
Phương trình (1) có hai nghiệm là: xi1 22, xi2 22. 
 22
3xi1 6 6 , x2 (2 2 i ) 8 i. 
Do đó A(6; 6) , B(0;8) . 
OA (6; 6),OB (0;8) . 
 OA. OB 0 48 1
cosAOB cos( OA ; OB ) . 
 OAOB. 6 2.8 2
 3 
Suy ra AOB . 
 4
 VÍ DỤ 3 
 Ví 
[Mức độ 2]Cho phương trình x22 2 mx m 1 0 (1) ( m là tham số thực). 
Gọi x1 , x2 là các nghiệm phức của phương trình (1), trong đó có phầnảoâm và A , B lần lượt là 
các điểm biểu diễn cácsố phức , 2x2 trong mặt phẳng phức. Tìm tất cả các giá trị thực của tham 
số để AB 13 . 
 Lời giải 
 mm22 11 . 
Phương trình (1) có hai nghiệm là: x1 m i , x22 m i 2 x 2 m 2 i . 
Do đó Am( ; 1) , Bm(2 ;2) . 
AB 13 m2 9 13 m 2. 
Vậy m 2 là các giá trị cần tìm. 
 VÍ DỤ 4 
 Ví 
[Mức độ 3] Cho hai số thực bc, thỏa mãn bc2 0.Gọi AB, là hai điểm của mặt phẳng tọa độ 
biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z2 2 bz c 0. Tìm điều kiện của b và c để tam 
giác OAB vuông tại O. 
 Lời giải 
 Theo định lí Viet, ta có 
 OA2 z 2
 1
 z12 z 2 b 2 2
 và OB z2 . 
 z12. z c 
 ABzz22 2 zz 22 zz 4 zz 4 bc 4
 1 2 1 2 1 2 1 2
 2222
 22z z z z 44b b c
 Do đó z z 1 2 1 2 2 b22 2 b c . 
 12 22
 Để tam giác vuông tại O OA2 OB 2 AB 2 
3 | 
[ Mức độ 2 ]. Tìm các số thực ab, để phương trình x2 ax b 0 nhận số phức xi 1 làm một 
nghiệm. 
 Lời giải 
Vì là một nghiệm của phương trình nênta có 
 2 b a 02 b 
 1 i 1 i a b 0 2i a ai b 0 a b 2 a i 0 
 2 aa 0 2
 b 2
Vậy . 
 a 2
 VÍ DỤ 4 
 Ví 
[ Mức độ 2 ]. Biết phương trình x2 ax b 0 ab, có một nghiệm phức là xi 12.Tìm 
nghiệm còn lại. 
 Lời giải 
Vì là một nghiệmcủa phương trình nên ta có 
 1 2i 2 1 2 i a b 0 3 4i a 2 ai b 0 a b 3 2 a i 0
 a b 3 0 b 5
 aa 2 0 2
 b 5 2 22 xi 12
Với phương trình trở thành x 2 x 5 0 x 1 2 i 
 a 2 xi 12
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là xi 1 2 . 
 I Dạng 4: Mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. 
 I 
PhươngI pháp giải 
 + Tìm các nghiệm của phương trình đã cho. 
 +I Dùng định lý Vi-ét để giải quyết yêu cầu bài toán 
 I 2
 Cho phương trình bậc hai ax bx c 00 a có hai nghiệm phân biệt xx12, (thực hoặc 
 I 
 b
 = S x x 
 12 a
phức). Ta có hệ thức Vi–ét . 
 = c
 P x. x
 = 12 a
 I 
 VÍ DỤ 1 
 Ví 
5 | 
 2 2018
[Mức độ2] Biết phương trình zz 2017.2018 2 0 có hai nghiệm z1 , z2 .Tính S z12 z . 
 Lời giải 
 Do các hệ số của phương trình đều là số thực nên , là 
 hai số phức liên hợp. 
 Đặt z1 a bi ; z2 a bi a, b . Ta có: 
 2 2 2018 1010
 S z1 z 2 2 a b 2 z 1 . z 2 2 2 2 . 
 V D ạ ngb2 5: 4 Ph ac ương trình bậc hai với hệ số phức. 
 = 
Phương pháp giải (kiến thức cần nhớ): 
 = 0:
 phương trình: az2 bz c 0 a 0 1 
 =
Cách 1: 
 I 0
 + Tính . Tìm căn bậc 2 của 
 + Áp dụng công thức nghiệm. 
 0 b
 phương trình (1) có nghiệm thực z . 
 2a
 b 
 : phương trình (1) có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: z . 
 1,2 2a
 bi || 
 : phương trình (1) có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: z . 
 1,2 2a
Cách 2: Gọi nghiệm của phương trình có dạng z a bi a, b 
 Thay vào phương trình (1) tìm ab,
Chú ý: - Mối liên hệ giữa 2 nghiệm nên sử dụng định lí viet 
 - Với phương trình bậc cao có thể nhóm nhân tử chung đưa về phương trình dạng tích 
 VÍ DỤ 1 
 Ví 
 2
[Mức độ2]Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 3 i z 3 i 0 . Tính giá trị của biểu 
 22
thức P z12 z . 
 Lời giải 
 Cách 1: 
 Ta có: Δ 3 ii 2 12 3 i 2 . 
 Phương trình đã cho có hai nghiệm là z 3 và zi . 
 Vậy Pi 322 8. 
 Cách 2: 
7 | 
 Lời giải 
Gọi z a a là 1 nghiệm thực của phương trình z32 3 i z 3 z m i 0 
Khi đó ta có: 
 a3 3 a 2 3 a m a 2 1 i 0
 2 a 1
 a 10 
 a 1 
 32 
 a 3 a 3 a m 0 32
 a 3 a 3 a m 0
 a 1
 m 1
 a 1
 m 5
Vậy m 1;5thỏa mãn yêu cầu bài toán 
 I Dạng 6: Phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc hai. 
 I 
PhươngI pháp giải 
 + Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích, trong đó mỗi nhân tử là phương trình bậc 
nhất Ihoặc bậc hai. 
 +I Dùng phương pháp đặt ẩn phụ. 
 +I Với phương trình trùng phương bậc bốn: az42 bz c 00 a : Đặt tz 2 . 
 =
 = 
 = VÍ DỤ 1 
 Ví 
 42
[MứcI độ1] Kí hiệu z1, z 2 , z 3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình 6zz 19 15 0. 
 1 1 1 1
Tính tổng T . 
 z1 z 2 z 3 z 4
 Lời giải 
 23x2
Phương trình 6x4 19 x 2 150 2 x 2 33 x 2 50 . 
 35x2
 3 3ii2 6
 x22 x x
 2 2 2 2 2 3 3
 T 0.
 2
 2 5 2 5i i 15 i6 i 6 i 15 i 15
 x x x
 3
 3 3 
 VÍ DỤ 2 
 Ví 
9 | 

File đính kèm:

  • pdfchuyen_de_giai_phuong_trinh_bac_hai_voi_he_so_thuc_phan_1_da.pdf