Chuyên đề Đồ thị và sự tương giao (Vận dụng) - Toán 12

 CHUYấN ĐỀ: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ TƯƠNG GIAO
I. Hệ thống kiến thức liờn quan.
 ❖ Quy trỡnh khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số
 ❖ Tương giao của hai đồ thị của hai hàm số y = f (x) và y = g(x) : Số giao điểm của hai đồ 
 thị là số nghiệm của phương trỡnh f (x) = g(x) (1) và nghiệm của phương trỡnh (1) cũng 
 chớnh là hoành độ của giao điểm.
II. Cỏc dạng bài/cõu thường gặp 
Dạng 1: Bài toỏn tương giao với hàm xỏc định.
Dạng 1.1 Bài toỏn tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3 
 Bài toỏn tổng quỏt: Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng d : y = px + q cắt đồ thị 
hàm số (C) : y = ax 3 + bx 2 + cx + d tại 3 điểm phõn biệt thỏa điều kiện K ? (dạng cú điều kiện)
 Phương phỏp giải:
Bước 1. Lập phương trỡnh hoành độ giao điểm của d và (C) là: ax 3 + bx 2 + cx + d = px + q
Đưa về phương trỡnh bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x = xo để chia Hoocner được:
 ộx = x
(x - x ) ì(ax 2 + bÂx + cÂ) = 0 Û ờ o ì
 o ờg(x) = ax 2 + bÂx + cÂ= 0
 ởờ
Bước 2. Để d cắt (C) tại ba điểm phõn biệt Û phương trỡnh g(x) = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 
 ùỡ D > 0
 ù g(x)
 x Û ớ ì Giải hệ này, tỡm được giỏ trị m ẻ D .
 o ù g(x ) ạ 0 1
 ợù o
Bước 3. Gọi A(xo;pxo + q), B(x1;px1 + q), C(x2;px2 + q) với x1, x2 là hai nghiệm của g(x) = 0.
 b cÂ
Theo Viột, ta cú: x + x = - và x x = (1)
 1 2 a 1 2 a
Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tớch của x1, x2 (2)
Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trỡnh hoặc bất phương trỡnh với biến là m. Giải chỳng sẽ tỡm 
được giỏ trị m ẻ D2.
Kết luận: m ẻ D1 ầ D2.
 Một số cụng thức tớnh nhanh “ thường gặp ” liờn quan đến cấp số
￿ Tỡm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phõn biệt 
cú hoành độ lập thành cấp số cộng.
Điều kiện cần:
 3 2
Giả sử x1,x2,x3 là nghiệm của phương trỡnh ax + bx + cx + d = 0
 b
Khi đú: ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x - x )(x - x )(x - x ) , đồng nhất hệ số ta được x = -
 1 2 3 2 3a
 b
Thế x = - vào phương trỡnh ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc 
 2 3a
giỏ trị của tham số.
Điều kiện đủ:
Thử cỏc điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giỏ trị của tham số để phương trỡnh 
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 cú 3 nghiệm phõn biệt.
￿ Tỡm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phõn biệt 
cú hoành độ lập thành cấp số nhõn.
Điều kiện cần:
 3 2
Giả sử x1,x2,x3 là nghiệm của phương trỡnh ax + bx + cx + d = 0 Û (x 3 - m2x)+ (3mx 2 - 3m3) = 0
 Û x (x 2 - m2)+ 3m (x 2 - m2) = 0
 Û (x + 3m)(x 2 - m2) = 0
 ộ
 ờx = - 3m
 ờ
 Û ờx = m
 ờ
 x = - m
 ởờ
Để đường thẳng d cắt đồ thị (Cm ) tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ x1,x2,x3 Û m ạ 0.
 4 4
 4 4 4 4
Khi đú, x1 + x2 + x3 = 83 Û m + (- m) + (- 3m) = 83
 Û 83m4 = 83 Û m = ± 1
Vậy m1 = 1,m2 = - 1 hay m1 + m2 = 0. Chọn A
Vớ dụ 3. (Mó 123 2017) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của tham sốm để đường thẳng y = mx - m + 1cắt 
đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 + x + 2 tại ba điểm A,B,C phõn biệt sao AB = BC
 5
A. ∈ ― ; + ∞ B. m ẻ - 2;+ Ơ C. m ẻ Ă D. ∈ ( ―∞;0) ∪
 4 ( )
 4; + ∞)
 Lời giải
Ta cú phương trỡnh hoành độ giao điểm là: 
 x 3 - 3x 2 + x + 2 = mx - m + 1 Û x 3 - 3x 2 + x - mx + m + 1 = 0 (1)
 ộx = 1
 2 ờ
 Û (x - 1) x - 2x - m - 1 = 0 Û 2 .
 ( ) ờx - 2x - m - 1 = 0
 ởờ
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phõn biệt thỡ phương trỡnh x 2 - 2x - m - 1 = 0cú 
 ỡ ỡ
 ù 1+ m + 1 > 0 ù m > - 2
hai nghiệm phõn biệt khỏc 1 Û ớ Û ớ Û m > - 2.
 ù 1- 2 - m - 1 ạ 0 ù m ạ - 2
 ợù ợù
Với m > - 2 thỡ phương trỡnh (1) cú ba nghiệm phõn biệt là 1,x1,x2 (x1,x2 là nghiệm của 
 x + x
 x 2 - 2x - m - 1 = 0). Mà 1 2 = 1 suy ra điểm cú hoành độ x = 1luụn là trung điểm của hai 
 2
điểm cũn lại nờn luụn cú 3 điểm A,B,C thoả món AB = BC Vậy m > - 2 .Chọn B
Vớ dụ 4. Tất cả giỏ trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 + (m2 - 2)x + 2m2 + 4 cắt cỏc trục 
tọa độ Ox,Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tớch tam giỏc OAB bằng 8 là
A. m = ± 2. B. m = ± 1. C. m = ± 3 . D. m = ± 2 .
 Lời giải
Giao điểm của đồ thị hàm số đó cho với trục tung là B (0;2m2 + 4)
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị đó cho với trục hoành là:
 3 + ( 2 ― 2) + 2 2 + 4
 2 2 = ―2
 = 0⇔( + 2)( ― 2 + + 2) = 0⇔ ( ― 1)2 + 2 + 1 = 0(푣푛)
Giao điểm của đồ thị đó cho với trục hoành là A(- 2;0).
 1 1
Diện tớch tam giỏc ABC là: S = OA.OB = .2.(2m2 + 4) = 8 ị m = ± 2. Chọn D
 2 2 -Từ (i ),(*) ị m ẻ (D1 ầ D2 ) và kết luận giỏ trị m cần tỡm.
 Một số cụng thức tớnh nhanh “ thường gặp ” liờn quan đến tương giao giữa đường thẳng 
 ax + b
 y = kx + p và đồ thị hàm số y =
 cx + d
 ax + b
Giả sử d : y = kx + p cắt đồ thị hàm số y = tại 2điểm phõn biệt M ,N .
 cx + d
 ax + b
Với kx + p = cho ta phương trỡnh cú dạng: Ax 2 + Bx + C = 0 thỏa điều kiện cx + d ạ 0, 
 cx + d
cú D = B 2 - 4AC . Khi đú:
 uuuur D
1). M (x ;kx + p),N(x ;kx + p) ị MN = (x - x ;k(x - x )) ị MN = (k2 + 1)
 1 1 2 2 2 1 2 1 A2
Chỳ ý: khi min MN thỡ tồn tại min D,k = const
 2).OM 2 + ON 2 = (k2 + 1)(x 2 + x 2) + (x + x )2kp + 2p2
 uuur uuur 1 2 1 2
 2 2
 3). OM .ON = (x1.x2)(1+ k ) + (x1 + x2)kp + p
 2
 4). OM = ON Û (x1 + x2)(1+ k ) + 2kp = 0
 x
Vớ dụ 1. Cho hàm số y = (C ) và đường thẳng d : y = - x + m . Gọi S là tập cỏc số thực m 
 x - 1
để đường thẳng d cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phõn biệt A,B sao cho tam giỏc OAB (O là gốc tọa 
độ) cú bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp bằng 2 2 . Tổng cỏc phần tử của S bằng
A. 4 . B. 3 . C. 0. D. 8 .
 Lời giải
 x
Xột phương trỡnh = - x + m, (điều kiện x ạ 1).
 x - 1
Phương trỡnh tương đương x 2 - mx + m = 0 (1).
Đồ thị (C ) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A và B khi và chỉ khi phương trỡnh 
(1) cú hai nghiệm phõn biệt x ạ 1 điều kiện cần và đủ là m 4 .
Khi đú hai giao điểm là A(x1;- x1 + m) ; B(x2;- x2 + m) .
 m
Ta cú OA = m2 - 2m ;OB = m2 - 2m ;AB = 2(m2 - 4m) ; d (O,d) = .
 2
 m
 1 1 2 OA.OB.AB
SDOAB = .AB.d (O,d) = . . 2(m - 4m) = .
 2 2 2 4R
 1 m (m2 - 2m). 2(m2 - 4m)
Suy ra . 2(m2 - 4m) =
 2 2 4.2 2
 ộ
 ờm = 0 (l)
 2 ờ
 Û m - 2m = 4 m Û ờm = 6 (n) .
 ờ
 m = - 2 (n)
 ởờ
Vậy tổng cỏc phần từ của S bằng 4 . Chọn A 2
 ổ ử2 2 5 m - 3 + 80
 ỗm + 1ữ m - 3 5m + 10m + 5 - 40m + 120 ( )
 AB = 5.ỗ ữ - 20. = = ³ 2 5.
 ốỗ 2 ứữ 2 4 2
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 3.
Vậy m = 3 thỡ độ dài AB đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 2 5. Chọn D
 x
Vớ dụ 4. Cho hàm số y = (C ) và điểm A(- 1;1). Tỡm m để đường thẳng 
 1- x
d : y = mx - m - 1 cắt (C )tại hai điểm phõn biệt M ,N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 2
 A. m = - 1.B. m = 0.C. m = - 2.D. m = -
 3
 Lời giải
 x
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C ) và d là: = mx - m - 1 (đk: x ạ 1)
 1- x
 ị x = (1- x)(mx - m - 1)
 Û x = mx - m - 1- mx 2 + mx + x
 Û mx 2 - 2mx + m + 1 = 0 (*)
Để (C ) và d cắt nhau tại hai điểm phõn biệt M ,N thỡ (*) phải cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 1
 ùỡ m ạ 0
 ù
 ù 2
 Û ớ D ' = m - m m + 1 = - m > 0
 ù ( )
 ù m - 2m + m + 1 ạ 0
 ợù
 Û m < 0
 m + 1
Giả sửM (x ;y ),N (x ;y ). Theo hệ thức viột : x + x = 2; x x =
 1 1 2 2 1 2 1 2 m
 ị y1 + y2 = m (x1 + x2 )- 2m - 2 = 2m - 2m - 2 = - 2
 2
 2
và y1.y2 = (mx1 - m - 1)(mx2 - m - 1) = m x1x2 - m (m + 1)(x1 + x2 )+ (m + 1)
 2
 = m(m + 1) - 2m (m + 1)+ (m + 1) = m + 1
 2 2 2 2
 2 2
Ta cú: AM + AN = (x1 + 1) + (y1 - 1) + (x2 + 1) + (y2 - 1)
 2 2
 = (x1 + x2 + 2) - 2(x1 + 1)(x2 + 1)+ (y1 + y2 - 2) - 2(y1 - 1)(y2 - 1)
 2 2
 = (x1 + x2 + 2) - 2(x1x2 + x1 + x2 + 1)+ (y1 + y2 - 2) - 2(y1y2 - (y1 + y2 )+ 1)
 ổ ử
 2 ỗm + 1 ữ 2
 = (2 + 2) - 2ỗ + 2 + 1ữ+ (- 2 - 2) - 2(m + 1- (- 2)+ 1)
 ốỗ m ứữ
 ổm + 1ử 1 ộ 1 ự
 = 18 - 2ỗ ữ- 2m = 18 - 2 - 2. - 2m = 16 + 2.ờ + (- m)ỳ³ 16 + 2.2 = 20 (Áp dụng 
 ỗ ữ ờ ỳ
 ốỗ m ứữ m ở- m ỷ
BĐT Cụsi)
 1 ộm = 1
Suy ra: AM 2 + AN 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất là 20 khi = - m Û m2 = 1 Û ờ
 - m ờm = - 1
 ởờ
Vậy m = - 1 (vỡ m < 0). Chọn A