Tổng hợp Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi Hình học Toán 8

 ChuyenDe.com 
  
 Sưu tầm 
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG 
 HSG HÌNH HỌC TOÁN LỚP 8 
 AH AC b AH b AH b
neân ==⇒=⇒ = D
 HB BD c HB c HB + AH b + c A
 AH b AH b b.c H
Hay = ⇒ = ⇒=AH (1) K F
 AB b + c c b + c b + c
AB // CF (cuøng vuoâng goùc vôùi AC) neân 
 C
AK AB c AK c AK c B
 ==⇒=⇒ = 
KC CF b KC b KC + AK b + c
 AK b AK c b.c
Hay = ⇒ = ⇒=AK (2) 
 AC b + c b b + c b + c
Töø (1) vaø (2) suy ra: AH = AK 
 AH AC b AK AB c AH KC AH KC
b) Töø = = vaø = = suy ra =⇒=(Vì AH = AK) 
 HB BD c KC CF b HB AK HB AH
⇒ AH2 = BH . KC 
3. Baøi 3: Cho hình bình haønh ABCD, ñöôøng thaúng a ñi qua A laàn löôït caét BD, BC, DC theo thöù töï taïi E, K, G. 
Chöùng minh raèng: 
a) AE2 = EK. EG 
 111
b) = + 
 AE AK AG
c) Khi ñöôøng thaúng a thay ñoåi vò trí nhöng vaãn qua A thì tích BK. 
DG coù giaù trò khoâng ñoåi 
 A a B
Giaûi 
a) Vì ABCD laø hình bình haønh vaø K ∈ BC neân b K
 E
AD // BK, theo heä quaû cuûa ñònh lí Ta-leùt ta coù: 
 D C G
EK EB AE EK AE
 = = ⇒=⇒AE2 = EK.EG 
AE ED EG AE EG
 AE DE AE BE
b) Ta coù: = ; = neân 
 AK DB AG BD
AE AE BE DE BD 1 1 111
 + = +==⇒1 AE  + =1 ⇒ = + (ñpcm) 
AK AG BD DB BD AK AG AE AK AG
 BK AB BK a KC CG KC CG
c) Ta coù: = ⇒ = (1); = ⇒ = (2) 
 KC CG KC CG AD DG b DG
 BK a
Nhaân (1) vôùi (2) veá theo veá ta coù: = ⇒ BK. DG = ab khoâng ñoåi (Vì a = AB; b = AD laø ñoä daøi hai 
 b DG
caïnh cuûa hình bình haønh ABCD khoâng ñoåi) 
4. Baøi 4: 
 CM DC
 AK // CD ⇒ = (2) D C
 AM AK
 c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c h×nh b×nh hµnh nªn 
AF = DC, FB = AK (3) P
 M I
 CP CM
KÕt hîp (1), (2) vµ (3) ta cã = ⇒ MP // AB (§Þnh lÝ Ta-lÐt 
 PB AM
®¶o) (4) A K F B
 CP CM DC DC
b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF, ta cã: = = = 
 PB AM AK FB
 DC DI CP DI
Mµ = (Do FB // DC) ⇒ = ⇒ IP // DC // AB (5) 
 FB IB PB IB
Tõ (4) vµ (5) suy ra : qua P cã hai ®­êng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nªn theo tiªn ®Ò ¥clÝt th× ba 
®iÓm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao ®iÓm cña CF vµ DB hay ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy 
6. Bµi 6: 
Cho ∆ ABC cã BC < BA. Qua C kÎ ®­êng th¼ng vu«ng go¸c víi tia ph©n gi¸c BE cña ABC ; ®­êng th¼ng nµy c¾t 
BE t¹i F vµ c¾t trung tuyÕn BD t¹i G. Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng EG bÞ ®o¹n th¼ng DF chia lµm hai phÇn b»ng 
nhau 
Gi¶i 
Gäi K lµ giao ®iÓm cña CF vµ AB; M lµ giao ®iÓm cña DF vµ BC B
∆ KBC cã BF võa lµ ph©n gi¸c võa lµ ®­êng cao nªn ∆ KBC c©n t¹i B 
⇒ BK = BC vµ FC = FK 
 M
MÆt kh¸c D lµ trung ®iÓm AC nªn DF lµ ®­êng trung b×nh cña ∆ AKC K
⇒ DF // AK hay DM // AB G
 F
Suy ra M lµ trung ®iÓm cña BC 
 1 A D E C
DF = AK (DF lµ ®­êng trung b×nh cña ∆ AKC), ta cã 
 2
BG BK BG BK 2BK
 = ( do DF // BK) ⇒ = = (1) 
GD DF GD DF AK
 CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD
Mæt kh¸c = = −=11 − (V× AD = DC) ⇒ = = −=11 − 
 DE DE DE DE DE DE DE DE
 CE AE - DE AE AB AE AB
Hay = −=122 − = − (v× = : Do DF // AB) 
 DE DE DE DF DE DF
 CE AK + BK 2(AK + BK) 1 CE 2(AK + BK) 2BK
Suy ra = −=22 −(Do DF = AK) ⇒ = −=2 (2) 
 DE DE AK 2 DE AK AK
 BG CE
Tõ (1) vµ (2) suy ra = ⇒ EG // BC 
 GD DE
CHUYEÂN ÑEÀ 2 – CAÙC BAØI TOAÙN SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LÍ TALEÙT VAØ TÍNH CHAÁT ÑÖÔØNG PHAÂN 
 GIAÙC 
A. Kieán thöùc: 
1. Ñònh lí Ta-leùt: 
 A
 ∆ABC  AM AN
* Ñònh lí Taleùt  ⇔ = M
 MN // BC AB AC N
 AM AN MN
* Heä quaû: MN // BC ⇒ = = 
 AB AC BC B C
2. Tính chaát ñöôøng phaân giaùc: 
 BD AB
∆ ABC ,AD laø phaân giaùc goùc A ⇒ = 
 CD AC
 BD' AB
AD’laø phaân giaùc goùc ngoaøi taïi A: = 
 CD' AC
 A
B. Baøi taäp vaän duïng 
1. Baøi 1: 
Cho ∆ ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phaân giaùc AD B D C
 A
a) Tính ñoä daøi BD, CD 
 AI
b) Tia phaân giaùc BI cuûa goùc B caét AD ôû I; tính tæ soá: D' B
 ID C
Giaûi 
 A
 BD AB c
a) AD laø phaân giaùc cuûa BAC neân = = 
 CD AC b
 c
 BD c BD c ac b
⇒ = ⇒= ⇒BD = 
 CD + BD b + c a b + c b + c I
 ac ab
Do ñoù CD = a - = 
 b + c b + c B D C
 a
 AI AB ac b + c
b) BI laø phaân giaùc cuûa ABC neân = =c : = 
 ID BD b + c a A
2. Baøi 2: 
Cho ∆ ABC, coù B < 600 phaân giaùc AD 
a) Chöùng minh AD < AB 
b) Goïi AM laø phaân giaùc cuûa ∆ ADC. Chöùng minh raèng BC > 4 DM 
 C M D B
 1 a.m
c) Ta coù: MI = DE = khoâng ñoåi ⇒ I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi neân taäp hôïp caùc ñieåm 
 2 a + 2m
 a.m
I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = (Tröø giao ñieåm cuûa noù vôùi BC 
 a + 2m
d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ∆ ABC ⇔ DA = DB ⇔ MA = MB ⇔ ∆ ABC vuoâng ôû A 
4. Baøi 4: 
 A
Cho ∆ ABC ( AB < AC) caùc phaân giaùc BD, CE 
a) Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AB ôû K, chöùng minh E K D
naèm giöõa B vaø K E
b) Chöùng minh: CD > DE > BE 
Giaûi M B C
a) BD laø phaân giaùc neân 
AD AB AC AE AD AE
 = < = ⇒< (1) 
DC BC BC EB DC EB
 AD AK
Maët khaùc KD // BC neân = (2) 
 DC KB
 AK AE AK + KB AE + EB AB AB
Töø (1) vaø (2) suy ra EB 
 KB EB KB EB KB EB
⇒ E naèm giöõa K vaø B 
b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù CBD = KDB (so le trong)⇒ KBD = KDB 
 maø E naèm giöõa K vaø B neân KDB > EDB ⇒ KBD > EDB ⇒ EBD > EDB ⇒ EB < DE 
Ta laïi coù CBD + ECB = EDB + DEC ⇒ DEC > ECB ⇒ DEC > DCE (Vì DCE = ECB ) 
Suy ra: CD > ED ⇒ CD > ED > BE 
5. Baøi 5: Cho ∆ ABC . Ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. Chöùng minh 
 DB EC FA
a. ..= 1. 
 DC EA FB
 11111 1
b. ++>+ +. 
 AD BE CF BC CA AB
Giaûi 
 DB AB
a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa BAC neân ta coù: = (1) 
 DC AC