Tổng hợp 9 Chuyên đề Trang bị cho học sinh chuyên Toán THCS

 MỤC LỤC
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ.........................................................................................................................2
 B. NỘI DUNG
 1. Chuyờn đề 1: Phương phỏp chứng minh phản chứng.....................................................3
 2. Chuyờn đề 2: Nguyờn tắc Dirichlet..............................................................................10
 3. Chuyờn đề 3: Định lý Bộzout – Lược đồ Horner..........................................................19
 4. Chuyờn đề 4: Dấu tam thức bậc hai..............................................................................23
 5. Chuyờn đề 5: Một số phương phỏp giải phương trỡnh nghiệm nguyờn........................25
 6. Chuyờn đề 6: Phần nguyờn và ứng dụng......................................................................36
 7. Chuyờn đề 7: Đường thẳng Simson..............................................................................45
 8. Chuyờn đề 8: Bất đẳng thức Erdos – Modell và một vài ứng dụng..............................53
 9. Chuyờn đề 9: Định lý Ptụlờmờ và đặc trưng của tứ giỏc nội tiếp..................................62
C. KẾT LUẬN.............................................................................................................................72
 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................73 Chứng minh:
Giả sử tồn tại cỏc số nguyờn dương x, y, z,t thỏa món đồng thời cỏc đẳng thức 
 1 , 2 , 3 , 4 . Trừ từng vế cỏc đẳng thức này ta được:
 x y 1000 , y z 900 , z t 80 .
Suy ra x, y, z,t cú cựng tớnh chẵn lẻ.
Nếu x, y, z,t cựng tớnh chẵn thỡ x xyzt là số chẵn, mõu thuẫn với (1).
Nếu x, y, z,t cựng lẻ thỡ x xyzt vẫn là số chẵn, mõu thuẫn với (1).
Điều này chứng tỏ giả sử trờn là sai. Vậy ta cú điều phải chứng minh.
Vớ dụ 4: Chứng minh rằng nếu n là số nguyờn dương thỡ số 2010n 1 khụng chia hết cho 
1000n 1.
Chứng minh:
Giả sử với n là số nguyờn dương thỡ 2010n 1 chia hết cho 1000n 1.
Khi đú, do 1000n 1 chia hết cho 3 nờn 2010n 1 chia hết cho 3. Điều này là vụ lớ vỡ 
2010n 1 khụng chia hết cho 3. Vậy điều giả sử 2010n 1 chia hết cho 1000n 1 là sai. Suy 
ra 2010n 1 khụng chia hết cho 1000n 1.
Vớ dụ 5: Chứng minh: nếu a1,a2 ,...,an là một hoỏn vị tựy ý của cỏc số 1,2,...,n với n là số 
lẻ, thỡ tớch a1 1 a2 2 ... an n là một số chẵn.
Chứng minh:
Đầu tiờn, ta cú nhận xột rằng tổng của một số lẻ cỏc số lẻ là một số lẻ. Để chứng minh bài 
toỏn ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại một hiệu ak k nào đú là số chẵn. Giả sử rằng tất 
cả cỏc hiệu ak k đều là số lẻ. Khi đú tổng S a1 1 a2 2 ... an n 0,
vỡ cỏc số ak là sắp xếp lại của cỏc số 1,2,...,n . Nhưng theo nhận xột trờn thỡ S là số lẻ vỡ 
tổng của một số lẻ cỏc số lẻ. Điều này mõu thuẫn. Do đú giả sử tất cả cỏc hiệu ak k là số 
chẵn, suy ra tớch a1 1 a2 2 ... an n là số chẵn. 
•Cú nhiều cỏch chứng minh về sự tồn tại vụ hạn cỏc số nguyờn tố, vớ dụ sau đưa ra cỏch 
chứng minh bằng phản chứng của Euclid cho kết quả này.
Vớ dụ 6: Chứng minh rằng tồn tại vụ hạn số nguyờn tố.
Chứng minh:
Giả sử chỉ cú hữu hạn cỏc số nguyờn tố là p1, p2 ,..., pn và giả sử p1 p2 ... pn . Xột tớch 
A p1.p2...pn 1. Rừ ràng A pn nờn A là hợp số, do đú A cú ớt nhất một ước nguyờn tố 
p. Khi đú do p1, p2 ,..., pn là tất cả cỏc số nguyờn tố nờn tồn tại i {1,2,...,n} sao cho p pi .
Như vậy A p ; ( p1.p2...pn ) p nờn 1 p , mõu thuẫn.
Do đú giả sử chỉ cú hữu hạn số nguyờn tố là sai. Vậy cú vụ hạn cỏc số nguyờn tố. 
Vớ dụ 7: Cho số nguyờn n là hợp số, n > 1. Chứng minh rằng n cú ước nguyờn tố p n
Chứng minh: Giả sử tồn tại cỏc số nguyờn dương xo , yo thỏa món đẳng thức đó cho, tức là: axo byo ab 
(1)
Ta cú: axo ab byo b(a yo )b . Vỡ (a,b) 1 nờn xo b .
 *
Do đú, tồn tại x1 Ơ sao cho xo bx1 .
 *
Tương tự, tồn tại y1 Ơ sao cho yo ay1 . Thay vào đẳng thức (1) ta được abx1 aby1 ab 
hay x1 y1 1. Điều này vụ lớ vỡ x1 y1 1. Vậy điều giả sử trờn là sai. Ta cú điều phải chứng 
minh.
Vớ dụ 11: Chứng minh rằng với mọi số nguyờn a, b, c, ta luụn tỡm được số nguyờn dương 
n sao cho số f n n3 an2 bn c khụng phải là số chớnh phương.
Chứng minh:
Giả sử ngược lại, tồn tại a,b,c  để với mọi số nguyờn dương n thỡ f (n) là số chớnh 
phương.
Khi đú: f (1) 1 a b c , f (2) 8 4a 2b c , 
 f (3) 27 9a 3b c , f (4) 64 16a 4b c ,
là cỏc số chớnh phương.
Nhận xột rằng: Một số chớnh phương khi chia cho 4 chỉ cú số dư là 0 hoặc 1. Do đú số dư 
trong phộp chia hiệu của hai số chớnh thương cho 4 chỉ cú thể là 0, 1 hoặc –1.
Ta cú: f (4) f (2) 12a 2b 56 4(3a 14) 2b , mà 2b là số chẵn nờn theo nhận xột trờn 
thỡ 2b4 . (1)
Tương tự, f (3) f (1) 8a 2b 26 4(2a 6) 2b 2 , mà 2b 2 cũng là số chẵn nờn 
(2b 2)4 . (2)
Từ (1) và (2) suy ra 24 , vụ lớ. Do đú giả sử trờn là sai. Vậy với mọi số nguyờn a, b, c luụn 
tỡm được số nguyờn dương n sao cho số f n n3 an2 bn c khụng phải là số chớnh 
phương.
Vớ dụ 12: Chứng minh rằng nếu một tam giỏc cú hai đường phõn giỏc trong bằng nhau thỡ 
tam giỏc đú cõn.
Chứng minh: 
 Xột ABC cú hai đường phõn giỏc trong bằng nhau A
 BM CN . Ta sẽ chứng minh ABC cõn tại A. D
 Giả sử ABC khụng cõn tại A. 1
 à à à à 2
 Xột B C B1 C1 1 . Qua M kẻ đường thẳng 
 song song AB , qua N kẻ đường thẳng song song N M
 BM cắt nhau tại D .
 Khi đú BNM DMN BM DN, Bả Dả . 3
 2 1 2 2
 Theo giả thiết BM CN ND NC . Vậy NCD 1 1
 B C
 cõn tại N Nã CD Nã DC 2 . Vớ dụ 15: Trờn một mặt phẳng cú thể xếp được 7 đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng cắt 
đỳng 3 đoạn thẳng khỏc được khụng?
Giải: 
 Cõu trả lời là khụng. Thật vậy, giả sử xếp được 7 1 i j 7
 đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng cắt đỳng 3 1 0
 đoạn thẳng khỏc. 0
 Ta lập bảng gồm 7 hàng, 7 cột và đỏnh dấu cỏc ụ: 
 i 0 X
 nếu hai đoạn thẳng cắt nhau ta đỏnh dấu X, nếu 
 khụng cắt nhau ta đỏnh dấu 0. Chẳng hạn nếu đoạn 0
 thẳng thứ I cắt đoạn thẳng thứ j ta đỏnh dấu X vào j X 0
 giao của dũng i và cột j, dũng j và cột i. Khi đú mỗi 0
 dũng cú 3 dấu X. 7 0
Mặt khỏc bảng sẽ cú 7 dấu 0 xếp theo đường chộo của hỡnh vuụng. Như núi ở trờn nếu ụ 
giao của dũng I cột j cú dấu X thỡ ụ giao của dũng j cột I cũng cú dấu X, hai ụ này đối 
xứng qua đường chộo gồm cỏc ụ cú dấu 0. Vỡ vậy cỏc ụ được đỏnh dấu X trong bảng phải 
là số chẵn. Mõu thuẫn vỡ cú 21 ụ cú dấu X theo giả thiết.
BÀI TẬP:
 1.Chứng minh rằng:
 a) Tổng của một số hữu tỉ và một số vụ tỉ là một số vụ tỉ.
 b) Khụng tồn tại số hữu tỉ dương nhỏ nhất.
 12n 1
 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n thỡ phõn số là tối giản.
 30n 2
 3. Tớch của 43 số nguyờn cú trước bằng 1. Chứng minh rằng tổng của chỳng khụng thể 
 bằng 0.
 1 1 1
 4. Gọi a1,a2 ,...,a2000 là cỏc số tự nhiờn thỏa món ... 1. Chứng mỉnh rằng tồn 
 a1 a2 a2000
 tại ớt nhất một số ak là số chẵn.
 5. Số palindrome (cũn gọi là số xuụi ngược hay số đối xứng) là số mà đọc xuụi hay đọc 
 ngược đều như nhau, vớ dụ cỏc số 151, 1991, 1211121, 15677651 là những số đối xứng. 
 Chứng minh rằng khụng tồn tại số đối xứng dương chia hết cho 10.
 6. Chứng minh: với mọt số tự nhiờn n ta luụn cú A n2 3n 38 khụng chia hết cho 49.
 7. Cho n là số tự nhiờn khỏc 0; a là ước nguyờn dương của 2n2 . Chứng minh rằng n2 2 
 khụng thể là số chớnh phương.
 8. Chứng minh rằng với n Ơ ,n 2 thỡ giữa n và n! cú ớt nhất một số nguyờn tố. Từ đú 
 suy ra cú vụ hạn cỏc số nguyờn tố.
 9. Đặt cỏc số 1,2,3,...,25 trờn một vũng trũn theo một thứ tự tựy ý. Chứng minh rằng luụn 
 cú 3 số liờn tiếp cú tổng lớn hơn hoặc bằng 39.
 10. Cho dóy số: 3,7,11,15,19,23,... và 5,11,17,23,29,35,... Chứng minh rằng trong những 
 số hạng của mỗi dóy số trờn cú vụ số cỏc số nguyờn tố.
 11. Chứng minh rằng trong một tam giỏc, gúc đối diện với cạnh nhỏ nhất là gúc nhọn.
 12. Chứng minh rằng trong một tam giỏc, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 
 nữa cạnh huyền. nhất n con thỏ, thỡ số con thỏ chứa trong k lồng nhiều nhất chỉ cú thể là kn con. Điều này 
mõu thuẫn với giả thiết cú m con thỏ với m kn r (0 r k 1) .
Nguyờn lớ Dirichlet thật đơn giản, dễ hiểu nhưng được vận dụng vào giải rất nhiều bài 
toỏn trong số học, đại số, hỡnh học về ciệc chỉ ra sự tồn tại của một hay nhiều đối tượng 
thỏa món một điều kiện đặt ra.
Khi sử dụng nguyờn lớ Dirichlet vào bài toỏn cụ thể, điều quan trọng là phải nhận ra (hay 
tạo ra) Lồng hoặc Thỏ hoặc cả Lồng và Thỏ.
2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
 Dạng 1.CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHIA HẾT
Thụng thường ta coi m số tự nhiờn đó cho là m “con thỏ”, cỏc số dư trong phộp chia cỏc 
số tự nhiờn đú cho n là những “lồng”; như vậy sẽ cú n cỏi lồng: lồng i( 0 i b) gồm những 
số tự nhiờn đó cho chia cho n dư i. 
VÍ DỤ 1.Chứng mỡnh rằng:
a) Trong 2012 số tự nhiờn bất kỡ luụn tỡm được hai số chia cho 2011 cú cựng số dư (hay 
hiệu của chỳng chia hết cho 2011).
b) Trong 2012 sụ tự nhiờn bất kỡ luụn tỡm được một số chia hết cho 2012 hoặc luụn tỡm 
được hai số chia cho 2012 cú cựng số dư.
Giải
a) Ta coi 2012 số tự nhiờn đó cho là 2012 “con thỏ”; “lồng i” gồm cỏc số chia cho 2011 
dư i (0 i 2011) nờn cú 2011 lồng: lồng 0, lồng 1, , lồng 2010. Như vậy cú 2011 lồng 
chứa 2012 con thỏ nờn theo nguyờn lớ Dirchlet tồn tại ớt nhất một lồng chứa khụng ớt hơn 
hai con thỏ, tức là cú ớt nhất hai số chia cho 2011 cú cựng số dư.
b) Nếu trong 2012 số đó cho cú ớt nhất một số chia hết cho 2012 thỡ ta chọn luụn số này. 
Nếu khụng cú số nào chia hết cho 2012 thỡ khi chia cho 2012 nhận nhiều nhất 2012 số dư 
khỏc nhau là 1, 2, , 2011. Theo nguyờn lớ Dirichlet, tồn tại ớt nhất hai số chia cho 2012 
cú cựng số dư.
Nhận xột. Ta cú thể tổng quỏt bài toỏn trờn như sau:
1) Trong n + 1 số tự nhiờn bất kỡ luụn tỡm được hai số chia cho n cú cựng số dư (hay hiệu 
của chỳng chia hết cho n).
2) Trong n số tự nhiờn bất kỡ luụn tỡm được một số chia hết cho n hoặc luụn tỡm được hai 
số chia cho n cú cựng số dư.
VÍ DỤ 2.Chứng minh rằng luụn tỡm được số cú dạng 201220122012 (gồm cỏc số 2012 
viết liờn tiếp nhau) chia hết cho 2013.
Giải
Xột 2014 số sau: 2012, 20122012, ..., 2012...2012 (gồm 2014 bộ số 2102).
Đem 2014 số này lần lượt chia cho 2013, cú 2014 số mà chỉ cú 2013 số dư trong phộp 
chia cho 2013 (là 0, 1, 2, ..., 2012) nờn luụn tồn tại hai số chia cho 2013 cú cựng số dư, 
chẳng hạn đú là a = 2012...2012 (gồm i bộ 2012) và b = 2012...2012 (gồm j bộ 2012) với 
1 i j 2014. Khi đú