Tổng hợp 8 Chuyên đề luyện thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán

 CHỦ ĐỀ 1 – RÚT GỌN BIỂU THỨC 
 DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: .................................................................................................................. 1 
 DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC .................................................... 3 
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ................................................................................................. 4 
DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ..................................................................................... 10 
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ............................... 16 
DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN ....................................................................... 24 
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH Pm= CÓ NGHIỆM ................................................... 28 
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ................................................................................ 30 
 DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: 
 Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức: 
 1 x0≥ x0≥
 ⇔
 • (a> 0) : Điều kiện xác định là 2
 xa−  xa≠ xa≠
 1
 • (a> 0): Điều kiện là x0≥ 
 xa+
 • Gặp phép chia phân thức thì đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới nên dạng
 này ta thường làm bước đặt điều kiện sau.
 Bước 2 Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung. 
 Bước 3 Gộp tử, rút gọn và kết luận. 
 x 2 x 3x+ 9
 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A =+−
 x3+− x3 x9−
 Lời giải 
 Điều kiện: x≥≠ 0,x 9 
 x 2 x 3x+ 9
 Có A =+−
 x+ 3 x − 3 ( x −+ 3)( x 3)
 x( x− 3) 2 x( x ++ 3) 3x 9
 =+−
 ( x−+ 3)( x 3) ( x −+ 3)( x 3) ( x −+ 3)( x 3)
 x− 3 x ++ 2x 6 x −− 3x 9 3( x − 3) 3
 = = =
 ( x−+ 3)( x 3) ( x −+ 3)( x 3) x + 3
 3
 Vậy A = với điều kiện x≥≠ 0,x 9 
 x3+
 x+− 1 2 9x 3
 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A =+−
 x2− x3x + +− x6
 1 
 Điều kiện a>≠ 0,a 1 
 a1+
 Vậy P = với điều kiện a>≠ 0,a 1. 
 2a
 DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 
 Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện. 
 Bước 2 Tính x rồi thay giá trị của x, x vào biểu thức đã rút gọn. 
 Bước 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận. 
 x1+
 Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức P = khi: 
 x2−
 a) x= 36 b) x= 6 − 25
 2 23−
 c) x = d) x =
 23+ 2
 6 28− 21 44
 e) x= −− 27 f) x = −
 37−− 23 32+− 32
 3327+− 1
 g) x = h) x− 7 x += 10 0
 18
 Lời giải 
 Điều kiện x≥≠ 0,x 4
 a)Có x= 36 thoả mãn điều kiện.
 61+ 7
 Khi đó x6= thay vào P ta được P = = . 
 62− 4
 7
 Vậy P = khi x= 36 . 
 4
 b)Có x=−=− 6 2 5 ( 5 1)2 thoả mãn điều kiện 
 Khi đó x= 51 −= 51(do51) − > 
 511−+ 5 535+
 Thay vào P ta được P = = = −
 512−− 53 − 4
 5+ 35
 Vậy P = − khi x= 6 − 25. 
 4
 2 2(2−− 3) 4 2 3
c)Có x = = = =( 3 − 1)2 thoả mãn điều kiện. 
 2+ 3 (2 +− 3)(2 3) 43−
Khi đó x= 31 −= 31(do31) − > .
 311−+ 3 1+ 3
Thay vào P ta được P = = = −
 312−− 33 − 2
 13+ 2
 Vậy P = − khi x =
 2 23+
 2
 2−− 3 4 23 3 − 1
 x = = =
 d)Có thoả mãn điều kiện 
 24 2
 31−− 31
Khi đó x = = (do 3> 1) 
 22
 3 
 Đưa về phương trình tích 
 xx++1 13
 Ví dụ 1. Cho biểu thức P = . Tìm x để P = . 
 x 3
 Lời giải 
 Điều kiện: x > 0 . 
 13 xx++1 13 31()xx++ 13 x
Có P =⇔=⇔=
 33x33 xx
 ⇔+3x 3 x += 3 13 x ⇔− 3 x 10 x +=⇔− 3 0 3 x 9 xx −+= 3 0
 ⇔3xx() −− 3() x −=⇔ 3 0() x − 33() x −= 1 0
  x = 3  x = 9
  
 ⇔⇔1 1 (thỏa mãn điều kiện). 
  x = x =
  3  9
 1 13
 Vậy xx=9, = thì P = . 
 9 3
 3 x
 Ví dụ 2. Cho biểu thức M = . Tìm x để M = . 
 x2− 8
 Lời giải 
 Điều kiện: xx≥≠0, 4 . 
 xx3 24 xx()− 2
 Có M =⇔=⇔=
 88x − 2 8282()xx−−( )
 2
 ⇔24 =xxxx − 2 ⇔ − 2 += 1 25 ⇔() x − 1 = 25 
 ⇔xx −=±⇔15 =− 4(loại), xx=⇔=6 36 (thỏa mãn điều kiện). 
 x
 Vậy x = 36 thì M = .
 8
 5 
 x − 3 x − 3
 Có AB=. x − 3 ⇔ = ⇔−=x3 x − 3.
 xx−−11
 Cách 1: Ta xét 2 trường hợp: 
 Trường hợp 1: Xét x−≥⇔30 xx ≥⇔ 3 ≥ 9thì xx−=33 −nên ta được
 x−=−⇔−3 x 3 x x =⇔0 xx() −1 =⇔ 0 x = 0, x = 1(loại). 
 Trường hợp 2: Xét x−<⇔30 xx <⇔ 3 < 9thì xx−=−+33
 nên ta được x−=−+⇔3 x 3 xx + − 60 = ⇔() x − 2() x + 3 = 0
 ⇔xx =⇔=24(thỏa mãn). 
Vậy x = 4 thì AB=.3 x − . 
 Cách 2: Điều kiện: xx−≥⇔3 0 ≥ 3. Khi đó xx−=−33 
  xx−=10
 x−=−3 x 3 xx − =0  () x=0, x=1
 ⇔ ⇔⇔ ⇔
 x−=−+3 x 3 xx + − 60 =  − +=  x = 4
 ()xx2() 30
 Kết hợp các điều kiện được x = 4. 
 Đưa về bình phương dạng m22 +n =0 (hoặc m2 + n=0) 
 Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng 
 mn22+=0 (hoặc mn2 +=0) 
 Bước 2: Lập luận mn22≥≥0, 0 (hoặc n ≥ 0 ) nên 
 mn22+≥0 (hoặc mn2 +≥0 ). 
Bước 3: Khẳng định mn22+=0 (hoặc mn2 +=0) chỉ xảy ra khi đồng thời 
 m = 0
 
  n = 0
 Bước 4: Giải ra x , đối chiếu điều kiện và kết luận. 
 2
 ()x +1
 Ví dụ 1. Cho biểu thức P = . Tìm x để Px.63= x −− x − 4. 
 x
 Lời giải 
 Điều kiện: x ≥ 4. 
 2
 ()x +1
 Có Pxxx.63= −− − 4 ⇔ .63xx= −− x − 4
 x
 ⇔+xx2 += 16 x −− 3 x −⇔− 4 xx 4 ++ 4 x −= 4 0
 2
 ⇔()xx −2 + −= 4 0. 
 2 2
 Vì ()xx−2 ≥ 0, −≥ 4 0 nên ()xx−2 + −≥ 4 0. 
 2  x −=20
Do đó ()xx−2 + −= 40 chỉ xảy ra khi  ⇔=x 4 (thỏa mãn). 
  x −=40
 Vậy x = 4 thì Px.= 6 x −− 3 x − 4. 
 7 
Bước 1: Đưa một vế về bình phương và sử dụng 
 Am22±≥−0; Am ±≤± 0 m . 
Bước 2: Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như: 
 ab+
• Bất đẳng thức Cosi: a+≥ b2 ab hay ab≤ ∀≥ a 0, b ≥ 0. 
 2
 Dấu “=” xảy ra khi ab= .
 2
• Bất đẳng thức Bunhia: ()ax..+ by ≤+()() a222 b x + y 2 ∀ a, b, x, y.
 xy
 Dấu “=” xảy ra khi = .
 ab
• a+ b ≥ ab +∀≥ a 0, b ≥ 0. 
 Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. 
Bước 3: Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu “=” ở bước 1 và bước 2 đồng thời xảy ra. 
 4
Ví dụ 1. Cho biểu thức A = và B= xx − x. Tìm x để x2 +6. = AB + x −+ 13 − x. 
 x −1
 Lời giải 
Điều kiện: 1<≤x 3. 
Có x2 +6. = AB + x −+ 13 − x
 4
⇔x2 +6 = . xx() − 1 + x −+ 13 − x
 x −1
⇔xx2 −4 + 6 = x −+ 1 3 − x (*)
 2
*Có VT (*) =xx2 −4 ++= 4 2() x − 2 +≥ 2 2.
* Chứng minh VP(*) ≤ 2 :
Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi)
 2
Xét VP*() =−+−−+−=+−−x 12()() xxxxx 13 3 22()() 13
 ()()xx−+13 −
 ≤+2 2. =⇒4 VP() * ≤ 2. 
 2
Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki) 
 2
 2 22
Xét VP() *=( 1.x −+ 1 1. 3 −≤+ x) () 1 1()() xx −+−=⇒ 1 3 4 VP * ≤ 2. 
Như vậy VT(*)≥≤ 2, VP() * 2 nên (*) chỉ xảy ra khi 
  x −=2 0 
  ⇔=x 2 (thỏa mãn). 
  xx−=13 −
Vậy x = 2 thì x2 +6. = AB + x −+ 13 − x. 
 x
Ví dụ 2. Cho biểu thức A = . Tìm x để Ax.(− 2) + 5 xx =++ 4 x + 16 + 9 − x . 
 x − 2
 Lời giải 
Điều kiện: 0≤≤xx 9, ≠4. 
Có Ax.(− 2) + 5 xx =++ 4 x + 16 + 9 − x
 9