Tổng hợp 20 Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
 CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
 A. MỤC TIÊU: 
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử 
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử 
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP 
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: 
Định lí bổ sung: 
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước 
dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1) và f(-1) đều là số nguyên. 
 a - 1 a + 1
Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do 
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4 
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2 
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2) 
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4 
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm 
của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện 
một nhân tử là x – 2 
Cách 1: 
x3 – x2 – 4 = x3 2 x 2 x 2 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x ( x 2) 2( x 2) = x 2 x2 x 2 
 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) 
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung 
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
 3 3 2 2 3 2
= x(x - 1)(x + 1) + (x + x + 1 ) = x(x – 1)(x + x + 1 ) (x + 1) + (x + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) 
 7 5 7 5 2 2
Ví dụ 2: x + x + 1 = (x – x ) + (x – x ) + (x + x + 1) 
 3 3 2 3 2
= x(x – 1)(x + 1) + x (x – 1) + (x + x + 1) 
 2 4 2 2 2
= (x + x + 1)(x – 1)(x + x) + x (x – 1)(x + x + 1) + (x + x + 1) 
 2 5 4 2 3 2 2 5 4 3
= (x + x + 1)[(x – x + x – x) + (x – x ) + 1] = (x + x + 1)(x – x + x – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ; 
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều có nhân tử chung là x2 + x + 1 
III. ĐẶT BIẾN PHỤ: 
Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng 
 (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) 
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 ) 
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 
Giả sử x 0 ta viết 
 6 1 1 1 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x - ) + 7 ] 
 x x2 x 2 x
 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
 a c 6
 ac b d 12
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
 ad bc 14
 bd 3
Xét bd = 3 với b, d Z, b 1, 3 với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành 
 a c 6
 ac 8 2 c 8 c 4
 a 3 c 14 ac 8 a 2
 bd 3
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có: 
 4 3 2 3 2
 2x - 3x - 7x + 6x + 8 = (x - 2)(2x + ax + bx + c) 
 a 4 3
 a 1
 4 3 2 b 2 a 7 
= 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c b 5 
 c 2 b 6 
 c 4
 2c 8
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng 
 3 2 2
nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x + x - 5x - 4 = (x + 1)(2x - x - 4) 
 4 3 2 2
Vậy: 2x - 3x - 7x + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x - x - 4) 
Ví dụ 3: 
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) 
 2 2
= acx + (3c - a)x + bdy + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 
 ac 12
 a 4
 bc ad 10 
 c 3
 3c a 5 
 b 6
 bd 12 
 d 2
 3d b 12
 2 2
 12x + 5x - 12y + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 
 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
II. Hoán vị: 
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp 
X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy 
Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu Pn 
2. Tính số hoán vị của n phần tử 
 P = n = n(n - 1)(n - 2) 2 .1 = n! 
( n! : n giai thừa) n A n
III. Tổ hợp: 
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử 
trong n phần tử của tập hợp X ( 0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy 
Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu k 
 Cn
2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử 
 k n n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
 = : k! = 
 Cn A n k!
C. Ví dụ: 
1. Ví dụ 1: 
Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 
a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ 
số trên 
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên 
c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên 
Giải: 
a) số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên là 
chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: 3 = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số 
 A5
b) số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hoán vị cua 5 
phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử): 
 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số 
Bài 3: Cho xAy 1800 . Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12 
điểm nói trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. 
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy 
Giải 
Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại: 
 B5 y
 B4
 B3
+ Loại 1: các tam giác có một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc B2
 B1
Ax (có 6 cách chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (có 5 cách A
 A1 A
chọn), gồm có: 6 . 5 = 30 tam giác 2 A
 3 A
 4 A
 5 A6
+ Loại 2: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B1, x
B2, B3, B4, B5 (có 5 cách chọn), hai đỉnh kia là 2 trong 6 
 2 6.5 30
điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có 15 cách chọn) 
 C6 2! 2
Gồm 5 . 15 = 75 tam giác 
+ Loại 3: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh kia là 2 
 2 5.4 20
trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm có: 6. 6. 6. 60 tam giác 
 C5 2! 2
Tất cả có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác 
 3 12.11.10 1320 1320
Cách 2: số các tam giác chọn 3 trong 12 điểm ấy là 220 
 C12 3! 3.2 6
 3 7.6.5 210 210
Số bộ ba điểm thẳng hang trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 35 
 C7 3! 3.2 6
 3 6.5.4 120 120
Số bộ ba điểm thẳng hang trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 20 
 C6 3! 3.2 6
Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác 
D. BÀI TẬP: 
Bài 1: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: 
a) Có 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy? 
b) Có 4 chữ số, có các chữ số khác nhau? 
c) có 3 chữ số, các chữ số khác nhau? 
 TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG