Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 5: Cấp số cộng, cấp số nhân

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 05: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. CẤP SỐ CỘNG:
 1.1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng 
 thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, 
 nghĩa là
 un là cấp số cộng n 1,un 1 un d d un 1 un u2 u1 u3 u2
 Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
 1.2. Định lí 1: Nếu un là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng 
 cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, 
 u u
 tức là u k 1 k 1 .
 k 2
 Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b.
 1.3. Định lí 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un
 của nó được xác định bởi công thức sau: un u1 n 1 d .
 n
 1.4. Định lí 3: Giả sử un là một cấp số cộng có công sai d. Gọi Sn uk u1 u2 ... un
 k 1
 ( Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng).
 n u u n 2u1 n 1 d 
 Ta có S 1 n .
 n 2 2
2. CẤP SỐ NHÂN
 2.1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 
 hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q
 Số q được gọi là công bội của cấp số nhân
 *
 Nếu un là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi un 1 un .q với n ¥
 un 1 *
 q ,un 0,n ¥
 un
 2.2. Định lí 1. (Số hạng tổng quát) Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số 
 n 1
 hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un u1.q với n 2
 2.3. Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) 
 đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
 2
 uk uk 1.uk 1 với k 2
 2.4. Định lí 3. Cho cấp số nhân un với công bội q 1
 n
 u1 1 q 
 Đặt S u u ... u . Khi đó S 
 n 1 2 n n 1 q
 1
Câu 5:_TK2023 Cho cấp số nhân u với u 2 và công bội q . Giá trị của u bằng
 n 1 2 3
 1 1 7
 A. 3. B. . C. . D. .
 2 4 2
 Lời giải A. S16 24 . B. S16 24. C. S16 26 . D. S16 25.
 Lời giải
 Chọn A
 Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên ta có:
 n 2u1 n 1 d 16 2. 21 16 1 .3 
 S 24.
 16 2 2
Câu 8: Cho cấp số cộng un : 2,a,6,b. Khi đó tích a.b bằng
 A. 22 . B. 40 . C. 12. D. 32 .
 Lời giải
 Chọn D
 2 6 2a a 4
 Theo tính chất của cấp số cộng: a.b 32.
 a b 12 b 8
Câu 9: Cho cấp số nhân un với u1 2 và công bội q 3. Khi đó u2 bằng
 A. u2 1. B. u2 6 . C. u2 6 . D. u2 18 .
 Lời giải
 Chọn B
 Số hạng u2 là u2 u1.q 6 .
 2
Câu 10: Cho cấp số nhân u với số hạng đầu u 3 và công bội q . Số hạng thứ năm của cấp số 
 n 1 3
 nhân bằng
 27 16 27 16
 A. . B. . C. . D. .
 16 27 16 27
 Lờigiải
 Chọn D
 4
 n 1 2 16
 Ta có un u1.q u5 3. .
 3 27
Câu 11: Cho cấp số nhân un với u4 1; q 3. Tìm u1 ?
 1 1
 A. u . B. u 9 . C. u 27 . D. u .
 1 9 1 1 1 27
 Lời giải
 Chọn D
 u 1 1
 Ta có:u u .q3 u 4 .
 4 1 1 q3 33 27
 1
Câu 12: Cho cấp số nhân u với u ; u 32 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
 n 1 2 7
 1
 A. q 2 B. q C. q 4 D. q 1
 2
 Lời giải
 Chọn A Câu 18: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho cấp số cộng un với u1 9 và công sai d 2 . Giá trị của u2 bằng
 9
 A. 11. B. . C. 18. D. 7 .
 2
 Lời giải
 Chọn A
 Ta có: u2 u1 d 9 2 11.
Câu 19: Cho cấp số nhân un với u1 2 và u2 6 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
 1
 A. 3 . B. 4 . C. 4 . D. .
 3
 Lời giải
 Chọn A
 u2 6
 Ta có u2 u1.q q 3 .
 u1 2
Câu 20: Cho cấp số cộng un với u1 3; u2 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
 A. 6. B. 3. C. 12. D. -6.
 Lời giải
 Chọn A
 Cấp số cộng un có số hạng tổng quát là: un u1 n 1 d ;
 (Với u1 là số hạng đầu và d là công sai).
 Suy ra có: u2 u1 d 9 3 d d 6.
 Vậy công sai của cấp số cộng đã cho bằng 6.
Câu 21: Cho cấp số cộng un với u1 2 và u7 10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
 A. 2 . B. 3. C. 1. D. 2 .
 Lời giải
 Chọn D
 u u 10 2
 Ta có: u u 6d d 7 1 hay d 2 .
 7 1 6 6
 1
Câu 22: Cho cấp số nhân u với u và công bội q 2 . Giá trị của u bằng
 n 1 2 10
 1 37
 A. 28 . B. 29 . C. . D. .
 210 2
 Lời giải
 Chọn A
 1
 u1 9 1 9 8
 Ta có: 2 u10 u1.q .2 2 .
 2
 q 2