Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 36: Tổng hợp tọa độ trong không gian (Mặt phẳng) VD-VDC

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P , đường thẳng 
 11 4 13
 x y z 
 1 x z 1
 ': 3 3 3 và đường thẳng : y . Biết ' là hình chiếu của 
 7 2 5 2 2
 lên mặt phẳng P và M 1;1;0 là một điểm nằm trên P . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp 
 tuyến của P 
     
 A. u1 1;1;1 . B. u2 1;2;1 . C. u3 1;1;3 . D. u4 4;1;1 .
 Lời giải
 11 4
 x y 
 3 3
 7 2
 4 13
 y z x 1
 3 3 
 Xét hệ phương trình y 0
 2 5 
 1 x z 1
 y
 2
 z 1
 y 
 2
 Vậy  ' A 1;0;1 A 1;0;1 P 
 Ta có: ' là hình chiếu của lên P , '  P 
    
 u u ;u 1; 4;3 là vectơ chỉ phương của P
 1 ' 
   
 Ta có u2 AM 0;1; 1 là vectơ chỉ phương của P 
   
 n u ;u 1;1;1 là vectơ pháp tuyến của P .
 1 2 
 x 2 y z 3
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : và đường thẳng d :
 1 2m 3 3 2
 x 3 y z 1
 . Biết rằng tồn tại một mặt phẳng có phương trình 6x by cz d 0 
 2 3 2
 2 2 2
 chứa đồng thời cả hai đường thẳng d1 và d2 . Giá trị của biểu thức T b c d bằng:
 A. 232 . B. 368 . C. 454 . D. 184.
 Lời giải
 x 2 2mt1 x 3 2t2
 Phương trình tham số của hai đường thẳng là: d1 : y 3t1 và d2 : y 3t2 .
 z 3 3t1 z 1 2t2
 Dễ dàng nhận thấy, hai đường thẳng d1 và d2 không song song và không trùng nhau. Để tồn 
 tại một mặt phẳng chứa đồng thời cả hai đường thẳng thì hai đường thẳng này phải cắt nhau tại 
 một điểm, khi đó hệ phương trình giao điểm phải có nghiệm duy nhất.
 Page 345 
 Ta có u.n 3.1 2.1 1.1 0 và dễ thấy A không thuộc P , do đó P € .
 Lại có mặt phẳng Q đối xứng với P qua nên Q € P do đó Q có một VTPT là 
 n 1;1; 1 .
 Chọn M 1;0;0 P khi đó mặt phẳng qua M và nhận u 3; 2;1 làm VTPT có 
 phương trình là 3x 2y z 3 0 .
 Gọi H  , do H nên H 1 3t; 2 2t;3 t , mặt khác H nên
 1
 3 1 3t 2 2 2t 3 t 3 0 t .
 2
 1 5 
 Suy ra H ; 1; , gọi M là điểm đối xứng của M qua , khi đó ta có H là trung điểm 
 2 2 
 của MM suy ra M 2; 2;5 , do M P nên M Q .
 Mặt phẳng Q đi qua M và nhận n 1;1; 1 làm VTPT có phương trình là
 1 x 2 1 y 2 1 z 5 0 x y z 9 0 .
 x 2 y 4 z 1
Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng : và mặt phẳng 
 1 2 3
 P :3x z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng Q đối xứng với P qua .
 A. 3x z 11 0 . B. 3x z 11 0 .
 C. 3x z 7 0 . D. 3x z 0 .
 Lời giải
 đi qua A 2;4; 1 và nhận u 1;2;3 làm VTCP. Mặt phẳng P nhận n 3;0;1 làm 
 VTPT.
 Ta có u.n 0 và dễ thấy A không thuộc P , do đó P € .
 Lại có mặt phẳng Q đối xứng với P qua nên Q € P do đó Q có một VTPT là 
 n 3;0;1 .
 Chọn M 1;0;2 P , gọi H là hình chiếu của M trên và M là điểm đối xứng của M 
 qua .
  
 Ta có H nên H 2 t;4 2t; 1 3t suy ra MH 3 t;4 2t; 3 3t .
  1
 MH.u 0 3 t 2 4 2t 3 1 3t 0 t .
 7
 15 26 10 37 52 34 
 Suy ra H ; ; , ta có H là trung điểm của MM suy ra M ; ; .
 7 7 7 7 7 7 
 Mặt phẳng Q đi qua M và nhận n 3;0;1 làm VTPT có phương trình là
 37 34 
 3 x z 0 3x z 11 0 .
 7 7 
 x 1 2t
Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng : y 2 4t và mặt phẳng 
 z 3 t
 P : x y z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng Q đối xứng với P qua .
 Page 347 x2 y2 z2 2ax – 2by 2cz d 0 với a m 2 ,b 0,c m 3,d m2 10 .
 Điều kiện để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu: a2 b2 c2 d 0 
 2 2
 m 2 m 3 m2 10 0 m2 2m 3 0 m ¡ .
 2
 Khi đó bán kính mặt cầu là R m2 2m 3 m 1 2 2 .
 Do đó min R 2 khi m 1.
 Nên phương trình mặt cầu S là x2 y2 z2 6x 4z 11 0 .
 Mặt cầu S có tâm I 3;0; 2 , bán kính R 2 .
 Đường thẳng 1 véctơ chỉ phương u 2; 1;1 và qua A 0;1;0 .
 Đường thẳng 2 véctơ chỉ phương v 1; 1;1 và qua B 1;0;0 .
 Mặt phẳng P cần tìm song song với hai đường thẳng 1 và 2 nên P có vectơ pháp tuyến 
 là n u,v 0; 1; 1 
 Phương trình mặt phẳng P có dạng: y z D 0 .
 A P D 1; B P D 0 .
 Mặt khác mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S nên ta có:
 0 2 D D 2 2 4
 d I, P R 2 D 2 2 .
 12 12 D 2 2 0 (loai)
 P : y z 4 0 .
 x 2 y 1 z 2
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và 
 1 1 1 1
 x t
 d2 : y 3 . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả d1 và d2 , đồng thời cắt mặt cầu 
 z 2 t
 S : x2 y2 z2 2x 4y 2 0 theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 6 .
 A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.
 Lời giải
   
 + Đường thẳng d1 và d2 lần lượt có một véctơ chỉ phương là u1 1; 1; 1 ; u2 1;0;1 .
 + Gọi mặt phẳng P song song với cả d1 và d2 , do đó P nhận véctơ 
   
 n u ,u 1; 2; 1 là một véctơ pháp tuyến.
 1 2 
 Suy ra P : x 2y z m 0.
 + Mặt cầu S có tâm I 1;2;0 , bán kính R 3 .
 6
 + Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, ta có 2 r 6 r .
 2
 2 6
 Mặt khác R2 r 2 d I,(P) d I,(P) .
 2
 Page 349