Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 33: Phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng (VD-VDC)

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 33: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 VD – VDC 
 x 2 y 1 z 1
Câu 46_TK2023 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0;1;2 và đường thẳng d : . 
 2 2 3
 Gọi P là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khoảng cách từ điểm M 5; 1;3 đến P bằng
 A. 5. B. 1. C. 1. D. 11 .
 3 3
 Lời giải
 Chọn C  
 Lấy B 2;1;1 d ta có AB 2;0; 1 .
   
 Ta có AB, u d 2; 4; 4 2 1; 2; 2 
  
 Mặt phẳng P đi qua A và chứa d suy ra nP 1;2;2 .
 Phương trình mặt phẳng P : x 2y 2z 6 0
 x 2y 2z 6
 Vậy d M , P M M M 1.
 12 22 22
 x y 1 2 z
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : . Gọi P là mặt 
 1 2 1
 phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng Q : 2x y 2z 2 0 một góc có số đo 
 nhỏ nhất. Điểm A 1;2;3 cách mặt phẳng P một khoảng bằng:
 5 3 7 11 4 3
 A. 3 . B. . C. . D. .
 3 11 3
 Lời giải
 Chọn A
 M
 B H
 C
 x y 1 2 z 
 d : có VTCP u 1; 2; 1 .
 1 2 1
 Q : 2x y 2z 2 0 có VTPT n 2; 1; 2 .
 6
 Gọi là góc tạo bởi d và Q , ta có sin cos u,n .
 3
 Từ hình vẽ, ta có d, P M· BH và P , Q M· CH .
 Page 1 Mặt phẳng Q bất kì chứa d luôn cắt S theo một đường tròn bán kính r .
 Khi đó r 2 R2 d 2 I, Q R2 d 2 I,d 16 10 6 .
 Do vậy mặt phẳng P chứa d cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất 
  1 5 8 
 khi và chỉ khi d I, P d I,d hay mặt phẳng P đi qua H nhận IH ; ; 
 3 3 3 
 làm vectơ pháp tuyến, do đó P có phương trình x 5y 8z 13 0 .
 Khi đó điểm O 0;0;0 có khoảng cách đến P lớn nhất.
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;1) , B(2;0;1) và mặt phẳng 
 (P) : x y 2z 2 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song 
 với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất.
 x 1 y 1 z 1 x y z 2
 A. d : . B. d : .
 3 1 2 2 2 2
 x 2 y 2 z x 1 y 1 z 1
 C. d : . D. d : .
 1 1 1 3 1 1
 Lời giải
 B
 d
 A
 P'
 Gọi (P ') chứa A và song song (P) suy ra (P ') : x y 2z 4 0.
 Ta thấy B (P ') do đó d(B,d) đạt giá trị lớn nhất là AB.
 Khi đó d vuông góc với AB và d vuông góc với giá của n là VTPT của (P) .
  
 Suy ra một VTCP của d là u n, AB (2;2; 2) .
 Kết hợp với điểm A thuộc d nên ta chọn đáp ánC.
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;1;1 và mặt phẳng (P) : x 2 y 0 . Gọi là đường 
 thẳng đi qua A , song song với (P) và cách điểm B 1;0;2 một khoảng ngắn nhất. Hỏi 
 nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương ?
 A. u 6;3; 5 . B. u 6; 3;5 . C. u 6;3;5 . D. u 6; 3; 5 .
 Lời giải
 Gọi (Q) chứa và song song với (P). Suy ra (Q) có phương trình: 
 x 1 2( y 1) 0 x 2 y 3 0 .
 d B; BH H B (Q)
 Khi đó min với là hình chiếu của lên mặt phẳng .
 Đường thẳng BH đi qua B , vuông góc với mặt phẳng (Q) có phương trình 
 x 1 t
 y 2t ,t R .
 z 2
 Page 3 x 1 t
 Phương trình tham số của đường thẳng AB là y 7 2t .
 z 8 t
 Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên P và đường thẳng AB .
 Ta tìm được điểm K 3; 3; 10 . Ta luôn có bất đẳng thức d M , P MH MK .
  
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H  K . Khi đó MH 4; 2; 8 2 2;1;4 .
 Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là n 2;1;4 . Vậy ta có a b 3 .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 1;0 và đường thẳng 
 x 2 y 1 z 1
 d : . Mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất 
 1 2 1
 có phương trình là
 A. x y z 2 0 . B. x y z 0 .
 C. x y z 1 0 . D. x 2y z 5 0 .
 Lời giải
 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên và d . Khi đó ta có AH AK .
  
 Vì H d nên H 2 t ; 1 2t ;1 t AH 1 t ;2t ;1 t .
 1  2 2 2 
 Do AH  d nên ta có 1 t 2.2t 1 t 0 t . Khi đó AH ; ; .
 3 3 3 3 
 Khoảng cách từ A đến lớn nhất khi và chỉ khi AH AK . Do đó có vectơ pháp 
 tuyến là n 1;1; 1 . Vậy : 1 x 2 1 y 1 1 z 1 0 x y z 0 .
 Vẫn là đánh giá bất đẳng thức AH AK nói trên, nhưng bài toán sau đây lại phát biểu hơi khác một 
 chút.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;0;1 , B 1; 1;3 và mặt phẳng 
 P : x 2y 2z 5 0 . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song 
 với mặt phẳng P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.
 x 3 y z 1 x 3 y z 1
 A. d : .B. d : .
 26 11 2 26 11 2
 x 3 y z 1 x 3 y z 1
 C. d : .D. d : .
 26 11 2 26 11 2
 Lời giải
 Page 5 9 | a c | 9 | a c | 9 | a c | 2
 Do đó d A, P 3 2.
 2
 2 2 9 2 3| a c |
 a c 4 a c a c 
 2
 a c
 Max d A, P 3 2 . Chọn a c 1 b 4.
 b 4a
 1
 Phương trình P : x 4y z 3 0 d O, P .
 2
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 , B 5; 4; 1 và mặt phẳng 
 P Ox d 2d , P AB I a;b;c AB a b c
 qua sao cho B, P A, P cắt tại nằm giữa . Tính 
 A. 8 B. 6 C. 12 D. 4
 Lời giải
 Do mặt phẳng P qua Ox nên phương trình mặt phẳng P có dạng by cz 0
 b2 c2 0 
 4b c 2b 3c 4b c 4b 6c
 d 2d 2. 
 B, P A, P 
 b2 c2 b2 c2 4b c 4b 6c
 8b 7c 0
 c 0
 Trường hợp 1: 8b 7c 0 chọn b 7;c 8 khi đó P : 7y 8z 0
 Xét f y, z 7y 8z
 Thay tọa độ A, B vào ta được 7.2 8.3 7. 4 8. 1 0 suy ra A, B nằm cùng phía 
 so với P 
 Trường hợp 2: c 0 suy ra phương trình P : y 0
 Thay tọa độ A, B vào ta được 2. 4 0 suy ra A, B nằm khác phía so với P . Do đó 
 đường thẳng AB cắt P tại I nằm giữa AB
 x 1 4t
 Phương trình tham số của đường thẳng AB : y 2 6t t ¡ 
 z 3 4t
 Tọa độ điểm I là nghiệm hệ phương trình
 1
 t 
 3
 x 1 4t 
 7
 y 2 6t x 7 5 
 3 I ;0; 
 z 3 4t 3 3
 y 0 
 y 0 
 5
 z 
 3
 7 5
 Vậy a b c 0 4
 3 3
 Page 7