Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 32: Phương trình bậc hai (VD-VDC)

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 32: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – VD – VDC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 Xét phương trình bậc hai az2 bz c 0, với a 0 có: b2 4ac .
 b
 ￿ Nếu 0 thì có nghiệm kép: z z .
 1 2 2a
 b 
 ￿ Nếu 0 thì có hai nghiệm thực phân biệt z .
 1,2 2a
 b i 
 ￿ Nếu 0 thì có hai nghiệm phức phân biệt z . Hai nghiệm phức này là 2 
 1,2 2a
 số phức liên hợp của nhau.
  Lưu ý
 b c
 ￿ Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức £ : z z và z z .
 1 2 a 1 2 a
 ￿ Căn bậc hai của số phức z x yi là một số phức w và tìm như sau:
 + Đặt w z x yi a bi với x, y,a,b ¡ .
 2 2 2 2
 w x yi a bi 2 2 a b x
 + a b 2abi x yi .
 2ab y
 + Giải hệ này với a,b ¡ sẽ tìm được a và b w z a bi .
 2 2
Câu 45_TK2023 Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 m 1 z m 0 ( m là số thực). Có bao 
 nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 z2 2?
 A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
 Lời giải
 Chọn C
 Ta có: 2m 1
 1
 TH1: 0 m .
 2
 c
 Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: z z m2 .
 1 2 a
 2 m 1 (l)
 Suy ra: 2 m 2 .
 m 1
 1
 TH2: 0 m .
 2
 2
 Vì a.c m 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt z1.z2 0 hoặc z1.z2 0.
 3
 m (l)
 2
 Suy ra: z z 2 z z 2 2m 1 2 .
 1 2 1 2 1
 m 
 2
 Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
 Page 185 Với z0 1, ta có m 2m 2 m 6 0 m 4 .
 Với z0 1, ta có m 2m 2 m 6 0 m 2.
 2 2 2 2
 Nếu: 0 2m2 4m 1 0 m , thì phương trình đã cho có hai 
 2 2
 nghiệm phức
 z0 là nghiệm của phương trình đã cho z0 cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
 m 6 2 m 6
 Áp dụng hệ thức viét, ta có z .z mà z .z z 1 1 m 3
 0 0 m 0 0 0 m
 Vậy m 4;m 2 S 2 .
Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z2 2mz 9m 8 0 có hai nghiệm 
 phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 .
 A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .
 Lời giải
 0 m2 9m 8 0
 m 0
 z1 z2 0 m 0
 Ycbt 
 0
 m ¢
 1 m 8  m 2;3;4;5;6;7.
 z z
 1 2
 Vậy có tất cả 7 giá trị m cần tìm.
Câu 4: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 1 a z 1 a 6z ( a là tham số thực). Có 
 2 2
 bao nhiêu giá trị của a để phương trình đó có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 42 ?
 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
 Lời giải
 Ta có: z 1 a z 1 a 6z z 2 2 a 3 z a2 1 0 1 có 6a 10 .
 5
 + Trường hợp 1: 0 a . Khi đó phương trình 1 có hai nghiệm thực z1 , z2 .
 3
 2 2 2 a 6 38
 Suy ra z z 42 2 a 3 2 a2 1 42 2a2 24a 4 0 .
 1 2 
 a 6 38
 5
 Kết hợp với điều kiện a , nhận a 6 38 .
 3
 5
 + Trường hợp 2: 0 a . Khi đó phương trình 1 có hai nghiệm phức z1 , z2 thỏa 
 3
 mãn z1 z2 .
 2 2 2 a 22
 Suy ra z1 z2 42 z1 z1 z2 z2 42 z1z2 21 a 22 0 .
 a 22
 5
 Kết hợp với điều kiện a , nhận a 22 .
 3
 Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn.
 2 2
Câu 5: Trên tập số phức, xét phương trình z 4 m 1 z 4m 2 0 ( m là tham số thực). Có bao 
 Page 187 2
Câu 7: Cho các số thực b,c sao cho phương trình z bz c 0 có hai nghiệm phức z1 ; z2 với phần 
 thực là số nguyên và thỏa mãn z1 3 2i 1 và z1 2i z2 2 là số thuần ảo. Khi đó, b c 
 bằng
 A. 1. B. 12. C. 4 . D. 12 .
 Lời giải
 Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực x; y thì
 2
 z1 3 2i x 3 2i x 3 4 2 1 mâu thuẫn với giả thiết.
 Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thựC.
 Giả sử z1 x yi z2 z1 x yi .
 2 2
 Khi đó z1 3 2i 1 x 3 y 2 1 1 .
 Lại có z1 2i z2 2 x y 2 i . x 2 yi 
 x. x 2 y. y 2 x 2 . y 2 xy .i là một số thuần ảo.
 Suy ra x. x 2 y. y 2 0 x2 y2 2x 2y 0 2 .
 2 2
 x 3 y 2 1 x 2
 Giải hệ gồm 1 và 2 : .
 2 2
 x y 2x 2y 0 y 2
 z1 2 2i ; z2 2 2i .
 z1 z2 b 2 2i 2 2i 4
 Vì vậy theo Viet ta có: b c 4 8 12 .
 z1.z2 c 2 2i . 2 2i 8
 4 2
Câu 8: Gọi z1, z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 m z 4m 0 . Tìm tất cả các giá 
 trị m để z1 z2 z3 z4 6.
 A. m 1. B. m 2 . C. m 3 D. m 1.
 Lời giải
 z2 4 1 
 Ta có: z4 4 m z2 4m 0 z2 4 z2 m 0 
 2
 z m 2 
 Ta có: zn z n .
 z1; z2 là nghiệm của phương trình 1 . Ta có: z1 z2 4 2 .
 z3; z4 là nghiệm của phương trình 2 . Ta có: z3 z4 m .
 Theo đề ra ta có: z1 z2 z3 z4 6 2 m 4 6 m 1 m 1.
 Kết luận m 1.
Câu 9: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z2 2mz m 12 0 ( m là tham số thực). Có bao 
 nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mãn 
 z1 z2 2 z1 z2 ?
 A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4.
 Lời giải
 Phương trình đã cho có m2 m 12 .
 Page 189 2 2
 Ta có I1I2 4 3 5 R1 R2 C1 và C2 tiếp xúc ngoài.
 Do đó có duy nhất 1 điểm M thỏa mãn, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
 24
 2 2 x 
 x y 8x 6y 24 0 5 24 18 24 18
 M ; z1 i là nghiệm 
 x2 y2 16x 12y 84 0 18 5 5 5 5
 y 
 5
 24 18
 của phương trình z2 bz c 0 z i cũng là nghiệm của phương trình 
 2 5 5
 z2 bz c 0.
 48 48
 z z b b ; z .z c 36
 Áp dụng định lí Vi ét ta có 1 2 5 5 1 2
 5b c 48 36 12.
 Vậy 
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị m nguyên và m  2022;2022 để phương trình z2 2z 1 3m 0 có 
 hai nghiệm phức thỏa mãn z1.z1 z2.z2 .
 A. 4045 . B. 2021. C. 2022 . D. 2023
 Lời giải
 4 4(1 3m) 12m
 TH1. Nếu 0 m 0
 Khi đó phương trình có hai nghiệm thực z1 1 3m và z2 1 3m
 z1 1 3m, z2 1 3m
 2 2
 Ta có z1.z1 z2.z2 1 3m 1 3m m 0
 TH2. Nếu 0 m 0
 Khi đó phương trình có hai nghiệm phức z1 1 i 3m và z2 1 i 3m
 z1 1 i 3m, z2 1 i 3m
 Mà z1.z1 z2.z2 1 i 3m 1 i 3m 1 i 3m 1 i 3m 
 1 3m 1 3m
 Kết hợp hai TH suy ra m 0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phức thỏa mãn z1.z1 z2.z2 .
 Page 191