Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 31: Ứng dụng tích phân (VD-VDC)

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 31: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN – VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 44_TK2023 Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn 
 3
 f (x) xf (x) 4x 4x 2,x ¡ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) và 
 y f (x) bằng
 A. 5 . B. 4 . C. 1 . D. 1 .
 2 3 2 4
 Lời giải
 3 3
 Ta có: f (x) x.f (x) 4x 4x 2 (x)  f (x) x.f (x) 4x 4x 2
 [x.f (x)] 4x3 4x 2 x.f (x) x4 2x2 2x C
 3 2
 Vì do f x liên tục trên ¡ nên C 0. Do đó f (x) x 2x 2 f (x) 3x 2
 Xét phương trình hoành độ giao điểm của y f (x) và y f ( x) , ta có:
 x 0
 3 2 
 x 2x 2 3x 2 x 1 . Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) và 
 x 2
 2 1
 y f ( x) là: S f (x) f (x) dx 
 0 2
Câu 1: Cho hàm số f x thỏa mãn xf x .ln x f x 2x2 f 2 x , x 1; , 
 1
 f x 0,x 1; và f e . Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
 e2
 y xf x , y 0, x e, x e2 .
 3 1 5
 A. S . B. S . C. S . D. S 2 .
 2 2 3
 Lời giải
 f ' x 1
 Ta có: xf ' x ln x f x 2x2 f 2 x x ln x 2x2 , x 1; .
 f 2 x f x 
 1
 xg x .ln x g x 2x2 , x 1; với g x 
 f x 
 g x g x 
 g x ln x 2x ,x 1; g x ln xdx dx 2xdx
 x x 
 g x g x 
 g x ln x dx dx x2 C g x ln x x2 C , x 1; .
 x x
 1
 Do f e g e e2 C 0 .
 e2
 Suy ra g x ln x x2 ,x 1; 
 x2
 g x 0, x 1; 
 ln x
 Page 1 Lời giải
 1 1
 Hàm số f x có dạng f x x2 ax b , với a f (u)du và b uf (u)du.
 0 0
 1 a
 a b a 5
 3 2 
 17 .
 1 a b b 
 b 6
 4 3 2
 17
 Suy ra f x x2 5x ; f (x) 2x 5.
 6
 41 
 M 1; C ; f (1) 3.
 6 
 41 23
 Phương trình tiếp tuyến của C tại M : y 3 x 1 3x .
 6 6
 Diện tích hình phẳng cần tìm là:
 1 1
 2 17 23 2 1
 S x 5x 3x dx x 2x 1 dx .
 0 6 6 0 3
Câu 4: Cho f x ax3 bx2 cx d a 0 là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn 2;3 có đồ thị 
 f x như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số 
 g x xf 2 x ; h x x2 f x f x và các đường thẳng x 2; x 3 bằng 72 . Tính f 1 .
 62
 A. f 1 2 . B. f 1 1. C. f 1 1. D. f 1 .
 5
 Lời giải
 Từ hình vẽ ta có được f x 3x x 2 3x2 6x f x x3 3x2 C .
 Diện tích hình phẳng là:
 3 3
 S g x h x dx xf 2 x x2 f x f x dx
 2 2
 3
 2 2 2 2
 Do xf x x f x f x 0, x 2;3 nên S xf x x f x f x dx
 2
 3 3
 1 2 2 1 2 2 9 2 2 9 2 2
 Ta có: S x f x dx x f x f 3 2 f 2 C 2 C 4 
 2 2 2 2 2 2
 Page 3 Câu 6: Cho hàm số f x x4 ax3 bx2 cx d với a,b,c,d là các số thự C. Biết hàm số 
 g x f x f x f x có 2 giá trị cực trị là 0 và 4 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 f x 
 đường y và y 1 bằng
 g x 24
 7
 A. ln8 . B. ln2 . C. 3ln 2 . D. ln .
 6
 Lời giải
 f x 4x3 3ax2 2bx c, f x 12x2 6ax 2b, f x 24x 6a, f 4 x 24
 4 
 g x f x f x f x 
 g x f x f x 24 g x f x 24
 g x f x f x f x 
 f g x 
 f x g x g x 24 1 
 g x 24 g x 24
 f x 
 Phương trình hoành độ giao điểm y và y 1:
 g x 24
 f x x m
 1 g x 0 
 g x 24 x n
 Với g x f x f x f x là hàm bậc ba với hoành độ cực trị là x m, x n .
 Giả sử hàm g x có giá trị cực trị tương ứng g m 0, g n 4 .
 f x 
 Khi đó diện tích hình phẳng bởi đường y và y 1 là:
 g x 24
 n n n
 f x g x g x 24 g x n 7
 S 1 dx 1 dx dx ln g x 24 ln .
 m
 m g x 24 m g x 24 m g x 24 6
Câu 7: Cho hàm số f x x3 ax2 bx c với a,b, c là các số thực. Biết hàm số 
 g x f x f x f x có hai giá trị cực trị là 5 và 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn 
 f x 
 bởi các đường y và y 1 bằng
 g x 6
 A. ln 3. B. ln 7 . C. 3ln 2 . D. ln10.
 Lời giải
 Xét hàm số g x f x f x f x 
 Ta có g x f x f x f x f x f x 6 .
 g m 5
 Theo giả thiết ta có phương trình g x 0 có hai nghiệm m,n và .
 g n 2
 f x g x 6 f x 0 f x f x 6 0 x m
 Xét phương trình 1 
 g x 6 g x 6 0 g x 6 0 x n
 Diện tích hình phẳng cần tính là:
 Page 5 hạn bởi đồ thị C : y f x , trục tung và trục hoành có dạng S ln a ln b với a,b là các số 
 nguyên dương. Tính T a 2 b 2 .
 A. T 13 . B. T 25 . C. T 34 . D. T 41.
 Lời giải
 3 2 2x 1 x 2 x 1 2x 2 2x 1
 Ta có 2x 5x 5x 
 f x f x 2 2
 x 2 x 1 x 2 x 1 
 2x 1 2x 2 2x 1
 f x dx f x dx dx dx
 2 2
 x x 1 x 2 x 1 
 2x 2 2x 1
 d x 2 x 1 2x 1 2
 f x dx f x dx dx
 2 2
 x x 1 x 2 x 1 
 2x 1 
 x2 x 1 
 2 d 
 d x x 1 2x 1 2x 1
 f x dx f x ln x2 x 1 C .
 2 2 2
 x x 1 x2 x 1 x x 1
 2x 1 
 Mặt khác, ta có
 1
 1
 2x 1 2 1
 2 dx ln x x 1 0 f x dx
 x x 1 0 0
 0 C 0
 2x 1 1 nên suy ra .
 2 1 1 2 f 1 f 0 2x 1
 x x 1 0 f x 2
 x x 1
 2x 1
 dx ln x 2 x 1 C
 2 
 x x 1
 1
 2 1
 2x 1 2 4 a 4
 Do đó S 2 dx ln x x 1 2 ln ln 4 ln 3. Suy ra .
 x x 1 3 b 3
 0 0 
 Vậy T a 2 b 2 25 .
 4
Câu 10: Cho hai hàm số f (x) ax4 bx3 cx2 dx (a,b,c,d ¡ ) và g(x) mx3 nx2 px 
 3
 m,n, p ¡ . Đồ thị hai hàm số f (x) và g (x) được cho ở hình bên dưới. Tính diện tích hình 
 1 2
 phẳng giới hạn bởi hai đường y f (x) và y g(x) x 2 biết rằng AB 4 .
 3
 Page 7