Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 30: Thể tích khối đa diện (Phần 2)

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 30: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VD – VDC
Câu 64: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC là 30 , 
 tam giác A BC đều và diện tích bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng
 3 3 3
 A. 2 3 . B. 6 . C. . D. .
 4 4
 Lời giải
 C' A'
 B'
 C A
 H
 B
 Trong ABC vẽ AH  BC tại H .
 Dễ thấy BC  A AH BC  A H nên A BC , ABC A H, AH ·A HA 30.
 Tam giác A BC đều có A H là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.
 A A A A
 Ta có AH A A. 3 và A H 2A A .
 tan 30 sin 30
 3 3
 Diện tích S BC 2 BC 2 3 BC 2 4 BC 2 .
 A BC 4 4
 BC 3 3 3
 Mà A H 3 A A ; AH .
 2 2 2
 1 3 1 3 3 3
 Thể tích khối lăng trụ VABC.A B C A A.SABC A A. .AH.BC . . .2 .
 2 2 2 2 4
Câu 65: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng ( A BC) tạo với đáy một 
 góc 30 và tam giác A BC có diện tích bằng 32. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
 64 3 128
 A. 64 3 . B. . C. 128 . D. .
 3 3
 Lời giải
 Page 1 BD  AO
 Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có BD  A'O .
 BD  AA'
 Góc giữa hai mặt phẳng A' BD và ABCD là góc của hai đường thẳng A'O và AO và là 
 góc ·A'OA 60.
 Ta có AC BD 4a AO 2a A' A AO tan 60 2a 3 .
 Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' là:
 1 1
 V A' A.S A' A. AC.BD 2a 3. .4a.4a 16 3a3 .
 ABCD 2 2
Câu 67: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a. Biết diện tích tam 
 giác A BC bằng 2a2 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C .
 A. 9 3a3 . B. 6 3a3 . C. 3 3a3 D. 3a3
 Lời giải
 Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng SABC .AA .
 2a 2 3
 Vì tam giác ABC đều nên có diện tích bằng a2 3 .
 4
 1
 Gọi H là trung điểm cạnh BC . Tam giác A BC cân tại A nên S .BC.A H 2a2 3 .
 A BC 2
 Page 3 Lời giải
 Gọi D là trung điểm A C thì ta có: B D  ACC . Khi đó: SADC SAB C .cos60 .
 Đặt AA x x 0 . Do các tam giác A B C và AA B vuông nên:
 A C a 2; AB a2 x2
 1 1 2 2
 Do B C  ABB A nên: S AB .B C a a x
 AB C 2 2
 1 1 a 2
 Do AA  DC nên: S AA .DC . .x
 ADC 2 2 2
 a 2 a a2 x2
 Nên: x x 2 a2 x2 x a .
 4 4
 2 2 1 a3
 Vậy V V . .a2.a .
 B .ACC A 3 ABC.A B C 3 2 3
Câu 70: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng A BC và (ABC) là 30 , 
 tam giác A BC đều và có diện tích bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng
 3 3 3
 A. 2 3 B. 6. C. . D. .
 4 4
 Lời giải
 Page 5 Câu 72: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm 
 a
 O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng
 6
 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2
 A. . B. . C. . D. 
 4 8 28 16
 Lời giải
 A' C'
 B'
 H
 A C
 O M
 B
 Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A'M .
 BC  AM 
 Ta có  BC  AA M BC  AH
 BC  AA 
 Mà AH  A M 2 
 Từ và d A, A BC AH .
 d O, A BC MO 1
 Ta có .
 d A, A BC MA 3
 a a
 d A, A BC 3d O, A BC AH .
 2 2
 1 1 1 1 4 4 a 3
 Xét tam giác vuông A' AM : AA .
 AH 2 AA 2 AM 2 AA 2 a2 3a2 2 2
 a 3 a2 3 3 2a3
 Suy ra thể tích lăng trụ ABC.A' B C là: V AA .S . .
 ABC 2 2 4 16
Câu 73: Cho lăng trụ ABC.A B C , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cho biết hình chiếu của đỉnh 
 A trên mặt đáy ABC là điểm H trên cạnh AB mà HA 2HB và góc giữa mặt bên 
 A C CA và mặt đáy ABC bằng 45 0.Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
 1 3 3 3 1
 A. a 3 . B. a 3 . C. a . D. a3.
 4 4 4 12
 Lời giải
 Page 7 Vì A B C là tam giác đều cạnh a và H là trung điểm của B C nên độ dài đường cao 
 a 3
 A H .
 2
 AH
 Xét trong tam giác AHA vuông tại H có tan ·AA H nên 
 A H
 a 3 3
 AH A H.tan ·AA H .tan 60 a .
 2 2
 Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C là
 3 3 3 3
 V AH.S a. a2 a3 .
 ABC.A B C A B C 2 4 8
Câu 75: Cho lăng trụ ABC.A'B'C ' có đáy tam giác ABC vuông tại A, AB a, BC 2a , biết hình chiếu 
 của A' lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của cạnh BC . Góc giữa AA'và mặt phẳng 
 ABC bằng 600 . Khi đó thể tích của hình trụ ABC.A'B'C 'bằng:
 1 1 3 1
 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. a3 .
 2 6 2 3
 Lời giải
 A' C'
 B'
 A C
 I
 B
 Gọi I là trung điểm của BC , theo giả thiết ta có AI  ABC .
 Hình chiếu của AA lên mặt phẳng đáy ABC là AI .
 Suy ra AA ; ABC AA ; AI ·A AI 60 .
 1 a2 3
 Ta có AC BC 2 AB2 a 3 ; Do đó S .AB.AC .
 ABC 2 2
 1
 Mặt khác, AI BC a nên A I AI.tan ·A AI a 3 .
 2
 3a3
 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là V S .A I .
 ABC.A'B'C' ABC 2
Câu 76: Cho khối hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 120. Hình chiếu 
 vuông góc của D lên ABCD trùng với giao điểm của AC và BD , góc giữa hai mặt phẳng 
 ADD A và A B C D bằng 45. Thể tích khối hộp đã cho bằng
 3 1 3 3
 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. a3 .
 8 8 16 4
 Lời giải
 Page 9