Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 30: Thể tích khối đa diện (Phần 1)

 TÀI LIỆU ễN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYấN ĐỀ 30: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VD – VDC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 THỂ TÍCH KHỐI CHểP – KHỐI LĂNG TRỤ
 1 1
 1. Thể tớch khối chúp V = ìS . chiều cao = ìS . d(đỉnh; mặt phẳng đáy)
 chóp 3 đáy 3 đáy
 2. Thể tớch khối lăng trụ Vlăng trụ = Sđáy . chiều cao
 3
 g Thể tớch khối lập phương V = a g Thể tớch khối hộp chữ nhật V = abc
 c
 a
 a b
 3. Tỉ số thể tớch
 g Cho khối chúp S.ABC, trờn cỏc đoạn thẳng SA, SB, SC lần S
 lượt lấy cỏc điểm AÂ, BÂ, C Â khỏc S. Khi đú ta luụn cú tỉ số thể
 AÂ
 VS.AÂB ÂC Â SAÂ SBÂ SC Â
 tớch: = ì ì ì C Â
 VS.ABC SA SB SC
 g Ngoài những cỏch tớnh thể tớch trờn, ta cũn phương phỏp chia nhỏ B Â
 khối đa diện thành những đa diện nhỏ mà dễ dàng tớnh toỏn. Sau đú C
 A
 cộng lại.
 g Ta thường dựng tỉ số thể tớch khi điểm chia đoạn theo tỉ lệ. B
 4. Tớnh chất của hỡnh chúp đều
 g Đỏy là đa giỏc đều.
 g Chõn đường cao trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đỏy
 g Cỏc mặt bờn là những tam giỏc cõn và bằng nhau.
 g Gúc giữa cỏc cạnh bờn và mặt đỏy đều bằng nhau.
 g Gúc giữa cỏc mặt bờn và mặt đỏy đều bằng nhau.
 5. Tứ diện đều và bỏt diện đều:
 g Tứ diện đều là hỡnh chúp cú tất cả cỏc mặt là những tam giỏc đều bằng nhau.
 g Bỏt diện đều là hỡnh gồm hai hỡnh chúp tứ giỏc đều ghộp trựng khớt hai đỏy với nhau. Mỗi đỉnh của 
 nú là đỉnh chung của bốn tam giỏc đều. Tỏm mặt là cỏc tam giỏc đều và bằng nhau.
 Page 1 1 1 1
 = a.h = b.h = c.h A
 2 a 2 b 2 c
 1 1 1
 = absinC = bc sin A = ac sin B
g SDABC = 2 2 2
 abc c r b
 = = p.r h
 4R a
 = p(p - a)(p - b)(p - c), (Hộron) R
 B C
 H a
 1
g S = ì.
 tam giác vuông 2
 (cạnh huyền)2
g S = ì
 tam giác vuông cân 4
 (cạnh)2. 3 cạnh. 3
g S = ị Chiều cao tam giác đều = ì
 tam giác đều 4 2
 2
￿ Shỡnh chữ nhật = dài ´ rộng và Shỡnh vuụng = .
 (đáy lớn + đáy bé)ì(chiều cao)
￿ S = ì
 hình thang 2
 Tích hai đường chéo Tích 2 đường chéo
￿ S = ị S = ì
 Tứ giác có 2 đường chéo vuông góc 2 hình thoi 2
 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng
Cho DABC vuụng tại A, cú AH là đường cao, AM là trung tuyến. Khi đú:
* BC 2 = AB 2 + AC 2 (Pitago), AH.BC = AB.AC.
* AB 2 = BH ìBC AC 2 = CH ìCB.
 và A
 1 1 1
* = + và AH 2 = HB ìHC.
 AH 2 AB 2 AC 2
* BC = 2AM .
 1 1
* S = ìAB ìAC = ìAH ìBC.
 DABC 2 2
2. Hệ thức lượng trong tam giỏc thường B H M C
Cho DABC và đặt 
 a + b + c
AB = c, BC = a, CA = b, p = . Gọi R, r lần lượt là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp và 
 2
nội tiếp tam giỏc ABC. Khi đú:
 a b c
* Định lý hàm sin: = = = 2R.
 sin A sin B sinC A
 ỡ 2 2 2
 ù 2 2 2 à à b + c - a
 ù g a = b + c - 2bc cosA ị cosA =
 ù 2bc c b
 ù 2 2 2
 ù 2 2 2 à à a + c - b
* Định lý hàm cos: ớù g b = a + c - 2ac cosB ị cosB = ì
 ù 2ac a
 ù 2 2 2 B C
 ù 2 2 2 à à a + b - c M
 ù g c = a + b - 2abcosC ị cosC =
 ợù 2ab
 Page 3 a3 3 a3 3 3a3 a3 3
 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = .
 4 12 4 2
 Lời giải
 Gọi H là trung điểm của đoạn AB .
 Vỡ SAB là tam giỏc cõn đỉnh S nờn SH  AB , mà SAB  ABCD , SAB  ABCD AB 
 suy ra SH  ABCD .
 Vỡ đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a và cú gúc Bã AD 1200 nờn tam giỏc BAC là tam giỏc đều 
 a 3
 cạnh a , suy ra CH .
 2
 Vỡ BAC là tam giỏc đều nờn CH ^ AB mà CD PAB suy ra CH  CD .
 Vỡ CD  CH;CD  SH suy ra CD  SC .
 Vỡ CD  CH;CD  SC; SCD  ABCD CD suy ra gúc giữa hai mặt phẳng SCD và
 ABCD bằng gúc giữa hai đường thẳng SC và HC suy ra gúc Sã CH 600 .
 a 3 3
 Xột tam giỏc SHC vuụng tại H ta cú SH HC.tan 600 SH . 3 a .
 2 2
 a2 3 a2 3
 Diện tớch hỡnh thoi ABCD là: S 2S 2. 
 ABCD ABC 4 2
 1 3 a2 3 a3 3
 Vậy thể tớch khối chúp S.ABCD là: V . .a. .
 3 2 2 4
Cõu 2: Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng, mặt bờn SAB là tam giỏc đều và nằm 
 trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt đỏy. Biết khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng SCD 
 bằng a 3 . Tớnh thể tớch V của khối chúp
 7a3 21 7a3 21 7a3 7 3a3 7
 A. . B. . C. . D. .
 6 2 6 2
 Lời giải
 Page 5 Khi đú, cỏc tam giỏc vuụng BOA , BOC , BOS bằng nhau nờn OA OC OS .
 Suy ra tam giỏc SAC vuụng tại S .
 Vỡ (SAC ) vuụng gúc với ( ABC ) và gúc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 6 0  nờn gúc 
 Sã C A 60  .
 AC SA
 Như vậy OS OA OC a .
 2 2sin Sã CA
 Suy ra BO SB2 OS2 a 2 .
 Diện tớch VSAC tớnh bằng cụng thức
 1 1 3
 S  SA AC sin Sã AC  3a 2a sin 30 a2.
 2 2 2
 1 6
 Như vậy V BOS a3 .
 3 VSAC 6
Cõu 4: Trong khụng gian cho tam giỏc đều SAB và hỡnh
chữ nhật ABCD , với AD 2a nằm trờn hai mặt phẳng vuụng gúc. Gọi là gúc giữa hai mặt phẳng 
 2 2
 SAB và SCD . Biết rằng tan . Thể tớch của khối chúp S.ABC là
 3
 a3 3 a3 3 a3 2
 A. V . B. V a3 3 . C. V . D. V .
 2 8 12
 Lời giải
 Dễ dàng xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là đường thẳng d đi qua S 
 và song song với AB, CD.
 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, CD.
 Trong mặt phẳng SAB cú SH  AB SH  d.
 CD  HK
 Vỡ CD  SHK CD  SK d  SK.
 CD  SH
 SAB  SCD d
 ã ã ã
 Ta cú SH  d, SH  SAB . Do đú SAB , SCD SH, SK HSK.
 SK  d, SK  SCD 
 HK 2 2 2a 2 2 3a 2
 Xột tam giỏc vuụng SHK, cú tan Hã SK SH .
 SH 3 SH 3 2
 Page 7 Gọi H là trung điểm của AD . Vỡ tam giỏc SAD cõn tại S nờn SH  AD . Hai mặt phẳng 
 SAD và ABCD vuụng gúc nhau và cắt nhau theo giao tuyến AD cú SH  SAD mà 
 SH  AD nờn SH  ABCD .
 BC  HI
 Gọi I là trung điểm của BC ta cú BC  SHI BC  SI suy ra gúc giữa hai 
 BC  SH
 mặt phẳng SBC và mặt đỏy ABCD là gúc Sã IH 600 .
 Xột tam giỏc SHI vuụng tại H cú SH HI.tan 600 2a 3 .
 3
 1 1 2 8a 3
 Vậy V S .SH 2a .2a 3 .
 S.ABCD 3 ABCD 3 3
Cõu 7: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều, hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh S trờn mặt 
 a 3
 đỏy là trung điểm H của cạnh AB . Biết SH và mặt phẳng SAC vuụng gúc với mặt 
 2
 phẳng SBC . Thể tớch khối chúp S.ABC bằng 
 a4 a4 a4 3a4
 A. . B. . C. . D. .
 4 16 2 8
 Lời giải
 ⬥ Kẻ MB  SC M SC .
 Page 9