Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 29: Max, Min, Số phức VD-VDC

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 29: MAX MIN – SỐ PHỨC VD – VDC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 1. Môđun của số phức:
  
 ￿ Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi 
 là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b2
 ￿ Tính chất
  
 z a2 b2 zz OM z 0, z £ , z 0 z 0
 z z
 z.z ' z . z ' , z ' 0 z z ' z z ' z z '
 z ' z '
 ￿ kz k . z ,k ¡
 2
 ￿ Chú ý: z2 a2 b2 2abi (a2 b2 )2 4a2b2 a2 b2 z 2 z z.z .
 Lưu ý:
 ￿ z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 
 ￿ z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 .
 ￿ z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 
 ￿ z1 z2 z1 z2 dấu bằng xảy ra z1 kz2 k 0 
 ￿ z z 2 z z 2 2 z 2 z 2
 1 2 1 2 1 2 
 2
 ￿ z 2 z z z z £
 2.Một số quỹ tích nên nhớ
 Biểu thức liên hệ x, y Quỹ tích điểm M
 ax by c 0 Đường thẳng :ax by c 0
 z a bi z c di Đường trung trực đoạn AB với
 A a,b , B c,d 
 2 2
 x a y b R2 hoặc Đường tròn tâm I a;b , bán kính R 
 z a bi R 
 2 2
 x a y b R2 hoặc Hình tròn tâm I a;b , bán kính R
 z a bi R
 2 2
 r 2 x a y b R2 hoặc Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn 
 tâm I a;b , bán kính lần lượt là r, R 
 r z a bi R 
 y ax2 bx c Parabol
 c 0 
 2 
 x ay by c
 x a 2 y c 2 1 Elip
 2 2 1 1 hoặc
 b d 2 Elip nếu 2a AB , A a1,b1 , B a2 ,b2 
 Page 1 z1 R
 Hay viết gọn z0 z z1 R z 
 z0 z0
 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
 TQ1:. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a, a c Khi đó ta có
 x2 y2
 ￿ Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là Elip: 1
 a2 a2 c2
 z a
 Max
 ￿ 
 z a2 c2
 Min
 TQ2:. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z2 2a
 Thỏa mãn 2a z1 z2 .
 Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc
 Ta có
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z1 z z2 2a, z1 z2 2a và z1, z2 c, ci ). Tìm Max, 
Min của P z z0 .
 z1 z2 2c
Đặt 
 2 2 2
 b a c
 z z P a
Nếu z 1 2 0 Max 
 0 2 
 PMin b
 z z z z
 z 1 2 a 1 2
 0 PMax z0 a
Nếu 2 2
 z z k z z
 0 1 0 2 z1 z2
 PMin z0 a
 2
 z1 z2 z1 z2
 z0 a PMax z0 a 
Nếu 2 2
 z0 z1 k z0 z2 
Nếu z z z z z z
 0 1 0 2 P z 1 2 b 
 Min 0 2
 Page 3 4
 Đường thẳng OE có phương trình là y x .
 3
 Tọa độ giao điểm của đường thẳng OE và đường tròn C1 là nghiệm của hệ phương trình:
 6
 x 
 5
 4 8
 4 y x 4 y 
 y x 3 y x 5
 3 2 3 .
 2 2 2 4 2 6
 x y 4 x x 4 25x 36 x 
 3 5
 8
 y 
 5
 6 8 
 Vậy M ; .
 5 5 
 Tọa độ giao điểm của đường thẳng OE và đường tròn C2 là nghiệm của hệ phương trình:
 3
 x 
 5
 4 4
 4 y x 4 y 
 y x 3 y x 5
 3 2 3 
 2 2 2 4 2 3
 x y 1 x x 1 25x 9 x 
 3 5
 4
 y 
 5
 3 4 
 Vậy N ; .
 5 5 
 3 4 6 8 8 6
 Do đó: w i và i.z i z i .
 5 5 5 5 5 5
 Vậy z w 1 2i 5 .
Câu 2: Xét các số phức z,w thỏa mãn z w z 2w . Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức 
 z
 T thuộc tập nào trong các tập dưới đây?
 1 z + w 2
 A.  0,1 . B. 1;2 . C. 2;3 . D. 3;5.
 Lời giải
 z z
 Trường hợp 1: xét w 0 z w z 2w 0 . Khi đó: T 0. 1 
 1 z + w 2 1 z + w 2
 .
 z
 Trường hợp 2: xét w 0 , đặt t a bi, a;b R .
 w
 Page 5 Suy ra z 2w 5 6i z 2w 61 .
Câu 4: Giả sử z1;z2 là hai trong số các số phức z thoả mãn z 6 8 i.z là một số thực. Biết rằng 
 z1 z2 6 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1 3z2 bằng
 A. 5 21 . B. 20 4 21 . C. 5 73. D. 20 2 73.
 Lời giải
 Gọi A, B là các điểm biểu diễn cho z2;z1
 Đặt z a bi z 6 8 i.z a 6 bi . 8 b ai 
 2 2
 Do z 6 8 i.z là một số thực nên a. a 6 b 8 b 0 a b 6a 8b 0
 Suy ra A, B thuộc đường tròn tâm I 3;4 , bán kính R 5
   
 Gọi M điểm thoả mãn 3M A M B 0 .
 Gọi H là trung điểm của AB
 2
 2 2 2 2 2 2 2 3 73
 Ta có IH IA AH 5 3 4 ; IM IH MH 4 .
 2 2
 73
 Khi đó M thuộc đường tròm tâm I, bán kính R .
 2
     
 Xét biểu thức z1 3z2 3OA OB 4OM 3MA MB 4OM .
 73
 Ta có z 3z OM OI R 5 .
 1 2 min min 2
 73 
 Vậy z 3z 4 5 20 2 73 .
 1 2 min 
 2 
Câu 5: Giả sử z1, z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z 6 8 i z là số thực. Biết rằng z1 z2 6
 . Giá trị nhỏ nhất của z1 3z2 bằng
 A. 5 73. B. 5 21 C. 20 2 73 D. 20 4 21
 Lời giải
 Page 7 Gọi D là điểm biểu diễn cho số phức u 1 3i w . Khi đó u 1 3i w 2.1 2 
   
 (OB ,OD ) 60o . Do đó D là ảnh của B qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp với hai 
 phép: phép quay tâm O góc quay 60o và phép vị tự tâm O tỉ số 2.
 Theo bất đẳng thức modun, ta có: z (1 3i)w 3 2i z (1 3i)w 3 2i
 Xét hai trường hợp:
 TH1: Góc lượng giác giữa (OA,OB) 120o . Với A là điểm bất kỳ trên O;1 , ta có:
   
 Khi đó: OA,OD là hai vectơ ngược hướng.
   
 z (1 3i)w = OD OA 1.
 * z (1 3i)w 3 2i 1 7 .
 TH2: Góc lượng giác giữa (OA,OB) 120o . Với A là điểm bất kỳ trên O;1 , ta có:
 Khi đó: Tia OD là phân giác của ·AOB .
   
 z (1 3i)w = OD OA OA2 OD2 2OA.OD.cos120o 7 .
 * z (1 3i)w 3 2i 7 7
 z (1 3i)w 3 2i 2 7
   
 Dấu bằng xảy ra khi OD OA cùng hướng với véc tơ v( 3; 2)
 So sánh hai trường hợp, giá trị lớn nhất của z (1 3i)w 3 2i bằng 2 7 .
Câu 7: Xét các số phức z a bi, a, b ¡ thỏa mãn z 2 3i 4 và z 1 4i z 9 đạt giá trị lớn 
 nhất. Khi đó 5a 2b bằng
 Page 9