Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 28: Tìm tham số để hàm số có cực trị, số cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

 TÀI LIỆU ễN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYấN ĐỀ 28: TèM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ Cể CỰC TRỊ – SỐ CỰC TRỊ THỎA MÃN 
 ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 1) Tỡm m để hàm số đạt cực trị tại x x0
 Bước 1. Tớnh y ' x0 , y '' x0 
 Bước 2. Giải phương trỡnh y ' x0 0 m?
 y '' 0 x0 CT
 Bước 3. Thế m vào y '' x0 nếu giỏ trị 
 y '' 0 x0 CD
 2) Tỡm m để hàm số cú n cực trị
 g Hàm số cú n cực trị Û yÂ= 0 cú n nghiệm phõn biệt.
 g Xột hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d :
 ỡ
 ù a ạ 0
 + Hàm số cú hai điểm cực trị khi ớù .
 ù b2 - 3ac > 0
 ợù
 + Hàm số khụng cú cực trị khi yÂ= 0 vụ nghiệm hoặc cú nghiệm kộp.
 g Xột hàm số bậc bốn trựng phương y = ax 4 + bx 2 + c.
Cõu 41_TK2023 Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số y x4 6x2 mx cú ba điểm 
 cực trị?
 A. .1 7 B. 15. C. .3 D. . 7
 Lời giải
 Chọn B
 Ta cú: y ' 4x3 12x m . Xột phương trỡnh y ' 0 4x3 12x m 0 1 .
 Để hàm số cú ba điểm cực trị thỡ phương trỡnh 1 phải cú 3 nghiệm phõn biệt.
 Ta cú: 1 m 4x3 12x .
 Xột hàm số g x 4x3 12x cú g ' x 12x2 12 . Cho g ' x 0 12x2 12 0 x 1 .
 Bảng biến thiờn của g x 
 Dựa vào bảng biến thiờn ta thấy, phương trỡnh 1 cú 3 nghiệm phõn biệt khi 8 m 8 .
 Do m  m 7, 6, 5,...,5,6,7 .
 Vậy cú 15 giỏ trị nguyờn của tham số m thỏa yờu cầu đề bài.
 Page 1 x 0
 Ta cú f x 0 
 x 2
 Đặt g x f f x m g ' x f ' x . f ' f x m .
 x 0 x 0
 f ' x 0 x 2 x 2
 g ' x 0 
 f f x m 0 f x m 0 m f x 1 
 f x m 2 m 2 f x 2 
 Để hàm số y g x cú 8 điểm cực trị thỡ f f x m 0 phải cú 6 nghiệm phõn biệt.
 Suy ra cỏc phương trỡnh 1 và 2 mỗi phương trỡnh cú 3 nghiệm phõn biệt khỏc 0 và 2 
 0 m 4 0 m 4
 0 m 2 .
 0 m 2 4 2 m 2
 Do m Z nờn m 1
 Vậy cú 1giỏ trị nguyờn m thỏa món đề bài.
Cõu 3: Cho hàm số f x cú đạo hàm liờn tục trờn Ă . Đồ thị của hàm số y f 5 2x như hỡnh vẽ 
 bờn dưới
 Cú bao nhiờu giỏ trị thực của tham số m 0;10 để hàm số y 2 f 4x2 1 m cú 7 điểm cực 
 trị?
 A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 .
 Lời giải
 Ta cú y f 5 2x y' 2 f ' 5 2x . Từ đồ thị, suy ra
 x 0 t 5
 5 t
 y ' 0 x 2 . Đặt t 5 2x x , f ' t 0 t 1
 2 
 x 4 t 3
 Page 3 Suy ra 18 m m 18.
Vậy cú 17 giỏ trị m nguyờn dương.
Cõu 5: Cho hàm số y f x cú đạo hàm f x x 11 x2 4 , x Ă . Cú bao nhiờu giỏ trị nguyờn 
 dương của tham số m để hàm số g x f x3 3x 2m 1 cú ớt nhất 3 điểm cực trị?
 A. 5. B. 8. C. 6. D. 7.
 Lời giải
 g x f x3 3x 2m 1 g x x3 3x 2m 1 . f x3 3x 2m 1 
 x3 3x . 3x2 3 
 . f x3 3x 2m 1 .
 3 
 x 3x
 Ta thấy g x xỏc định tại x 0 và g ' x đổi dấu khi qua x 0 nờn nếu 
 f x3 3x 2m 1 0 khụng tồn tại nghiệm bội lẻ bằng 0 thỡ x 0 là một điểm cực trị của 
 hàm số g x .
 x3 3x 2m 1 11 x3 3x 12 2m
 Mặt khỏc f x3 3x 2m 1 0 x3 3x 2m 1 2 x3 3x 1 2m .
 3 3
 x 3x 2m 1 2 x 3x 3 2m
 Xột hàm số h x x3 3x , vỡ h x 3x2 3 0,x Ă nờn h x đồng biến trờn Ă . Ta cú 
 bảng biến thiờn của hàm số k x h x x3 3x như sau:
 Hàm số g x f x3 3x 2m 1 cú ớt nhất 3 điểm cực trị khi phương trỡnh 
 f x3 3x 2m 1 0 cú ớt nhất hai nghiệm bộ lẻ khỏc 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 
 12 2m 0 hay m 6 .
 Kết hợp điều kiện m nguyờn dương ta được m 1;2;3;4;5 . Vậy cú 5 giỏ trị của m thoả 
 món.
Cõu 6: Cho hàm số y f x cú đạo hàm là f ' x x2 9x x2 9 , với mọi x Ă . Cú bao nhiờu 
 giỏ trị nguyờn của tham số m để hàm số g x f x3 3x 2m m2 cú khụng quỏ 6 điểm 
 cực trị?
 A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 7 .
 Lời giải
 Ta cú f ' x x2 9x x2 9 x x 3 x 3 x 9 
 Page 5 x 2
 Ta cú f x 0 x 1 , x 2 là nghiệm kộp nờn khi qua giỏ trị x 2 thỡ f x 
 x 3
 khụng bị đổi dấu.
 Đặt g x f x2 10x m 9 khi đú g ' x f u . 2x 10 với u x2 10x m 9 .
 2x 10 0 x 5
 2 2 2
 x2 10x m 9 2 0 x 10x m 9 2 0
 Nờn g x 0 
 2
 x2 10x m 9 1 x 10x m 8 0 1 
 2 2
 x 10x m 9 3 x 10x m 6 0 2 
 Hàm số y f x2 10x m 9 cú 5 điểm cực trị khi và chỉ khi g x đổi dấu 5 lần
 Hay phương trỡnh 1 và phương trỡnh 2 phải cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 5
 '
 1 0
 '
 2 0
 ,.
 h 5 0
 p 5 0
 17 m 0
 19 m 0
 m 17 .
 17 m 0
 19 m 0
Vậy cú 16 giỏ trị nguyờn dương m thỏa món.
Cõu 8: Cho hàm số f x cú đạo hàm f x x2 x 1 x2 2mx 5 . Cú tất cả bao nhiờu giỏ trị 
 nguyờn của m để hàm số cú đỳng một điểm cực trị?
 A. 0 . B. 5. C. 6 . D. 7 .
 Lời giải
 Chọn C
 Hàm số f x cú đỳng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức g x x2 2mx 5 vụ nghiệm 
 hoặc cú hai nghiệm phõn biệt trong đú một nghiệm là x 1, hoặc g x cú nghiệm kộp x 1 
 0 2
 g m 5 0
 g 1 0 2m 6 0 5 m 5
 Tức là . Do đú tập cỏc giỏ trị nguyờn thỏa món 
 2
 g 0 m 5 0 m 3
 b m 1
 1 
 a 0
 g
 0
 g
 yờu cầu bài toỏn là S 2, 1, 0, 1, 2, 3 .
 Page 7 Do m nguyờn õm nờn m 4; 3; 2; 1 .
Cõu 12: Cho hàm số y f (x) cú đạo hàm f ' (x) x2 x 1 x2 2mx 5 với mọi x Ă . Cú bao nhiờu 
 giỏ trị nguyờn của tham số m 10 để hàm số g x f x cú 5 điểm cực trị?
 A. 7 . B. 9 . C. 6 . D. 8 .
 Lời giải
 Ta cú
 f ' (x) x2 x 1 x2 2mx 5 0
 x2 0
 x 1 0
 2
 x 2mx 5 0
 2
 Hàm số y f (x) cú 2 điểm cực trị dương khi phương trỡnh x 2mx 5 0 cú hai nghiệm 
 dương phõn biệt.
 ' m2 5 0
 m ; 5  5; 
 S 2m 0 m ; 5 .
 m 0
 P 5 0
 Giỏ trị nguyờn của tham số m 10 để hàm số g x f x cú 5 điểm cực trị là
 m 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3.
 Số giỏ trị nguyờn của tham số m 10 để hàm số g x f x cú 5 điểm cực trị là 7 .
 1 1 1 1
Cõu 13: Cho hàm số y f (x) x5 2m 1 x4 2m 5 x3 4m 3 x2 6x 2021 với mọi 
 5 4 3 2 
 x Ă . Tổng tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của tham số m  2;10 để hàm số g x f x cú 7
 điểm cực trị bằng
 A. 54 . B. 52 . C. 55 . D. 53 .
 Lời giải
 Do hàm số g x f x là hàm số chẵn nờn cú đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. Suy ra 
 hàm số g x f x cú 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y f (x) cú 2 điểm cực trị 
 dương.
 Ta cú: f (x) x4 2m 1 x3 2m 5 x2 4m 3 x 6 x 2 x 1 x2 2mx 3 .
 x 2
 f x 0 x 1 .
 2
 x 2mx 3 0 * 
 Hàm số y f (x) cú 2 điểm cực trị dương khi và chỉ khi phương trỡnh * cú hai nghiệm phõn 
 biệt trong đú cú một nghiệm dương khỏc 1 luụn cú 2 nghiệm trỏi dấu)
 m 3
 m2 3 0 m 3
 m 3 .
 1 2m 3 0 m 3
 m 1
 Page 9