Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 27: Tích phân

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 27: TÍCH PHÂN
Câu 40_TK2023 Cho hàm số f x liên tục trên R . Gọi F x ,G x là hai nguyên hàm của f x trên 
 2
 R thỏa mãn F 4 G 4 4 và F 0 G 0 1. Khi đó f 2x dx bằng
 0
 3 3
 B. 3. B. . C. 6. D. .
 4 2
 Lời giải
 Chọn B
 Ta có: G x F x C
 F(4) G(4) 4 2F(4) C 4 3
 F(4) F(0) .
 F(0) G(0) 1 2F(0) C 1 2
 2 1 4 1 3
 Vậy: f (2x)dx f (t)dt F(4) F(0) .
 0 2 0 2 4
Câu 1: Cho hàm số f x liên tục trên R . Gọi F x ,G x là hai nguyên hàm của f x trên R thỏa 
 0
 mãn F 8 G 8 8 và F 0 G 0 2 . Khi đó f 4x dx bằng
 2
 5 5
 A. . B. . C. 5 . D. 5 .
 4 4
 Lời giải
 G 8 F 8 C
 Ta có: G x F x C 
 G 0 F 0 C
 F 8 G 8 8 2F(8) C 8
 F(8) F(0) 5.
 F(0) G(0) 2 2F(0) C 2
 0 1 8 1 5
 Vậy: f 4x dx f (t)dt F(8) F(0) .
 2 4 0 4 4
Câu 2: Cho hàm số f x liên tục trên R . Gọi F x ,G x là hai nguyên hàm của f x trên R thỏa 
 8
 e 1
 mãn F 8 G 8 8 và F 0 G 0 2 . Khi đó f 5ln x dx bằng
 1 x
 A. 1. B. 1. C. 5 . D. 5 .
 Lời giải
 G 8 F 8 C
 Ta có: G x F x C 
 G 0 F 0 C
 F 8 G 8 8 2F(8) C 8
 F(8) F(0) 5.
 F(0) G(0) 2 2F(0) C 2
 Page 1 Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa f x 3 f 2x . Gọi F x là nguyên hàm của f x 
 8
 trên R thỏa mãn F 4 3 và F 2 4F 8 0 . Khi đó f x dx bằng
 2
 A. 15. B. 15 . C. 9 . D. 9 .
 Lời giải
 3
 Ta có: f x 3 f 2x f x dx 3 f 2x dx F x F 2x C
 2
 2F 2 3F 4 2C
 Từ đó có: 2F 4 3F 8 5F 4 15 
 2F 4 3F 8 2C
 Kết hợp với giả thiết F 2 4F 8 0 ta được F 2 12 ; F 8 3
 8
 8
 Vậy f x dx F x F 8 F 2 15.
 2 
 2
Câu 7: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa f x f 2x 1 . Gọi F x là nguyên hàm của f x 
 trên R thỏa mãn F 3 4 . Khi đó giá trị của 2F 1 F 7 bằng
 A. 12. B. 10 . C. 8 . D. 6 .
 Lời giải
 1
 Ta có: f x f 2x 1 f x dx f 2x 1 dx F x F 2x 1 C
 2
 2F 1 F 3 2C
 Từ đó có: 2F 1 F 7 3F 3 12
 2F 3 F 7 2C
Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa f x 4 f 2x 3 . Gọi F x là nguyên hàm của 
 5
 f x trên R và thỏa mãn F 2 F 4 24. Khi đó f x dx bằng
 1
 A. 10. B. 12. C. 10 . D. 12.
 Lời giải
 Ta có: f x 4 f 2x 3 f x dx 4 f 2x 3 dx F x 2F 2x 3 C
 F 2 2F 1 C
 Từ đó có: F 2 F 4 2 F 5 F 1 F 5 F 1 12
 F 4 2F 5 C
 5
 5
 Vậy f x dx F x F 5 F 1 12 .
 1 
 1
 9 f x 2
Câu 9: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ thỏa mãn dx 4 và f sin x cos xdx 2. 
 1 x 0
 3
 Tích phân I f (x)dx bằng
 0
 Page 3 3 7 7
 Khi đó I 10 t f 10 t dt 10 t f 10 t dt 10 x f 10 x dx
 7 3 3
 7 7 7 7
 10 x f x dx 10 f x dx xf x dx 10 f x dx I .
 3 3 3 3
 7
 Suy ra 2I 10 f x dx 10.4 40 . Do đó I 20 .
 3
 e2 2
 4 f ln x 
Câu 12: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn tan x. f cos 2 x dx 2 và dx 2 . 
 0 e xln x
 2 f 2x 
 Tính dx .
 1 x
 4
 A. .0 B. . 1 C. . 4 D. 8.
 Lời giải
 2
 4 1 4 f cos x 
 * I tan x. f cos2 x dx .sin2xdx .
 1 2
 0 2 0 cos x
 Đặt cos2 x t sin 2xdx dt .
 Đổi cận 
 x 0
 4
 1
 t 1
 2
 1
 1 2 f t 1 f t 
 Khi đó I dt dt 4 .
 1 
 2 1 t 1 t
 2
 2 2 2 2
 e f ln x 1 e f ln x 2ln x
 I dx . dx
 * 2 2 .
 e xln x 2 e ln x x
 2 2 ln x
 Đặt ln x t dx dt .
 x
 Đổi cận 
 x e e 2
 t 1 4
 1 4 f t 4 f t 
 Khi đó I dt dt 4 .
 2 
 2 1 t 1 t
 2 f 2x 1
 * Tính I dx . Đặt 2x t dx dt .
 1 x 2
 4
 Page 5 2
 1 f x dx 6,x ¡ .
 1
 2
 f x dx 5,x ¡ .
 1
 2017
Câu 15: Cho f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x f 2020 x và f x dx 4. Khi đó 
 3
 2017
 xf x dx bằng
 3
 A. 16160. B. 4040. C. 2020. D. 8080.
 Lời giải
 Chọn B
 Đặt u 2020 x x 2020 u . Ta có dx du .
 Với x 3 thì u 2017 .
 Với x 2017 thì u 3 .
 2017 2017 2017
 Khiđó xf x dx = 2020 u f 2020 u du 2020 x f x dx
 3 3 3
 2017 2017 2017
 Suy ra 2 xf x dx = 2020 f x dx = 8080. Do đó xf x dx = 4040.
 3 3 3
 4
 3
Câu 16: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn 4xf (x 2 ) 6 f (2x) x3 4 . Giá trị f (x)dx
 5 0
 bằng
 A. 52 . B. 52. C. 48. D. 48.
 25 25
 Lời giải
 Chọn A
 2 2
 2 3 3 2 3 3 
 4xf (x ) 6 f (2x) x 4 4xf (x ) 6 f (2x) dx x 4 dx
 5 0 0 5 
 2 2 52 4 4 52
 2 f (x2 )d(x2 ) 3 f (2x)d(2x) 2 f (t)dt 3 f (u)du 
 0 0 5 0 0 5
 4 4 52 4 52 4 52
 2 f (x)dx 3 f (x)dx 5 f (x)dx f (x)dx 
 0 0 5 0 5 0 25
 1 2
Câu 17: Cho f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 2 16, f 2x dx 2 . Tích phân xf x dx bằng
 0 0
 A. .3 0 B. 28 . C. .3 6 D. . 16
 Lời giải
 Page 7