Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 26: Tìm số giá trị nguyên thoả mãn biểu thức mũ, logarit

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 26: TÌM SỐ GIÁ TRỊ NGUYÊN THOẢ BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT
 x2 16 x2 16
Câu 39_TK2023 Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log log ?
 3 343 7 27
 A. 193. B. 92. C. 186. D. 184.
 Lời giải
 Chọn D
 TXĐ: D ; 4  4; .
 Ta có:
 x2 16 x2 16
 log log
 3 343 7 27
 log 7. log x2 16 3 log x2 16 3log 3
 3 7 7 7
 2
 log3 7 1 .log7 x 16 3log3 7 3log7 3
 2 3 log3 7 log7 3 
 log7 x 16 
 log3 7 1
 2
 log7 x 16 3 1 log7 3 
 2 3
 log7 x 16 log7 21
 x2 16 213
 9277 x 9277
 Kết hợp điều kiện ta có x 96; 95;...; 5;5;...;95;96 . Vậy có 184 số nguyên x thỏa mãn.
Câu 47_TK2023 Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
 2 2 2 2 2 2
 log3 x y x log2 x y log3 x log2 x y 24x ?
 A. 89. B. 48. C. 90. D. 49.
 Lời giải
 Chọn B
 Điều kiện: x 0 .
 2 2 2 2 2 2
 Ta có: log3 x y x log2 x y log3 x log2 x y 24x 
 2 2 2 2 2 2
 log3 x y x log3 x log2 x y 24x log2 x y 
 x2 y2 x x2 y2 24x x2 y2 24x 
 log3 log2 2 2 log3 1 log2 1 2 2 
 x x y x x y 
 x2 y2 24x 
 log3 1 log2 1 2 2 0. 
 x x y 
 x2 y2 24 
 Đặt: t (t 0) , bất phương trình trở thành: log3 (1 t) log2 1 0 .
 x t 
 24 1 24
 Xét hàm số f (t) log3 (1 t) log2 1 có f (t) 0,t 0 .
 t (1 t)ln 3 t 2 24t ln 2
 Page 1 2 3 3 2t
 Xét hàm số f t log2 t 2 t với t 0 có f t 2 0 , t 0
 4 4 2 3 
 t ln 2
 4 
 nên f t đồng biến trên khoảng 0; .
 Suy ra 
 x 0
 1 3 3 1 3 2 2 3 2 2
 x 2 x 2 x x 2 1 0,1 x 2,9
 2 4 4 2 x 3x 0 2 2
 4
 x ¢ x 1;2 .
Câu 3: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 
 log 60x2 120x 10m 10 3log x 1 1 có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của 
 biến x . Số phần tử của S là
 A. 11. B. 10. C. 9 . D. 12.
 Lời giải
 x 1
 *
 Điều kiện 2 .
 6x 12x m 1 0
 log 60x2 120x 10m 10 3log x 1 1 1 log 6x2 12x m 1 log x 1 3 1
 log 6x2 12x m 1 log x 1 3 6x2 12x m 1 x 1 3 1 
 6x2 12x m 1 x3 3x2 3x 1 m 2 x3 3x2 9x f x .
 Từ 1 Hệ điều kiện * trở thành: x 1.
 Xét hàm số f x x3 3x2 9x trên khoảng 1; .
 Ta có: f x 3x2 6x 9 .
 2 x 1
 f x 3x 6x 9 0 .
 x 3
 Bảng biến thiên:
 Để bất phương trình log 60x2 120x 10m 10 3log x 1 1 có miền nghiệm chứa đúng
 4 giá trị nguyên của biến x khi 11 m 2 0 9 m 2 .
 Vậy có 11 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.
 Page 3 log 4 2
 Ta thấy phương trình này có nghiệm y 3 9 .
 2
 Nếu x 2 ta có phương trình 2log3 y 1 log2 2y 1 2t
 y 1 3t
 2.9t 4.3t 3 4t *
 2 t .
 2y 1 4
 t 2 t t
 Ta có 4 2y 1 1 t 0 2.9 4 . Suy ra VT * 4t nên phương trình vô nghiệm.
 Vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình
 2 log (2x 1) log (4x 2) log x2 8 log x x2 9x 6 0 ?
 2 3 3 3 
 A. 8 . B. Vô số. C. 7 . D. 9 .
 Lời giải
 Điều kiện: x 0 .
 x
 log2 (2 1) 1
 Do x 0 nên log (2x 1) log (4x 2) 2
 x 2 3
 log3 (4 2) 1
 x x
 2 log2 (2 1) log3 (4 2) 0 .
 Khi đó, 2 log (2x 1) log (4x 2) log x2 8 log x x2 9x 6 0
 2 3 3 3 
 2 2
 log3 x 8 log3 x x 9x 6 0
 2 2
 log3 x 8 x 8 log3 x 9x 2 0
 2 2
 log3 x 8 x 8 log3 9x 9x * 
 Xét hàm số f t log3 t t liên tục trên D 0; .
 1
 Ta có f t 1 0, t D hàm số f (t) đồng biến trên D .
 t ln3
 Suy ra * f x2 8 f 9x x2 8 9x 1 x 8 .
 2 6 6 
Câu 7: Bất phương trình log2 x log3 1 log3 log2 x có số nghiệm nguyên dương là
 x x 
 A. vô nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 2 nghiệm. D. 3 nghiệm.
 Lời giải
 Điều kiện: x 0.
 6 6
 BPT đã cho log2 x log log x log x.log 0
 2 3 x 2 2 3 x
 6
 log x log x 1 log 1 log x 0
 2 2 3 x 2
 6 
 log2 x 1 log2 x log3 0 1 
 x 
 log2 x 1 0 (1)
 6 
 Xét phương trình: log2 x 1 log2 x log3 0 6
 x log x log 0 (2)
 2 3 x
 Giải (1) : (1) x 2 (t / m)
 Page 5 t
 1 y 3t y 1 3
 * Với x 1 có nghiệm t 0, y 0
 2 t t 2 t
 1 2y 6 1 2 1 3 6
 t
 2 y 3t y 2 3 y 2 3t
 * Với x 2 có nghiệm 
 2 t t 2 t t t t
 4 2y 6 4 2 2 3 6 9 6 8.3 12 0
 t 1, y 1
 Vậy x 0;1;2 .
Câu 10: Biết tập nghiệm của bất phương trình log x2 x 4 1 2log x2 x 5 3 là a;b . Khi 
 3 5 
 đó tổng a 2b bằng
 A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1.
 Lời giải
 Xét hàm số f x log x2 x 4 1 2log x2 x 5 .
 3 5 
 1 2
 f x 2x 1 
 2 
 2 x2 x 4 1 x2 x 4 ln 3 x x 5 ln 5 
 1 2
 Dễ đánh giá g x 0, x 
 2 ¡
 2 x2 x 4 1 x2 x 4 ln 3 x x 5 ln 5
 Bảng biến thiên:
 x 1
 2
 y – 0 
 2 5
 y
 4
 Có f 0 f 1 3 và dựa vào bảng biến thiên ta có f x 3 x 0;1 
 Vậy a 0;b 1 ; suy ra a 2b 2
 y y 1
Câu 11: Có bao nhiêu cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2 x 2021 và 2 log2 x 2 2x y ?
 A. 2020 . B. 9 . C. 2019 . D. 10.
 Lời giải
 Chọn D
 y 1 y 1 t t y 1
 Đặt log2 x 2 t . Suy ra x 2 2 , x 2 2 .
 Phương trình đã cho trở thành: 2y t 2 2t 2y 1 y 2.2y y 2.2t t .
 Xét hàm số g x 2.2x x có g x 2.2x ln 2 1 0,x nên hàm số y g x luôn đồng 
 biến.
 y t y 1
 Khi đó 2.2 y 2.2 t y t hay y log2 x 2 .
 Suy ra x 2y 1 2y x 2y 2y 1 2y 1 .
 y 1
 Mà 2 x 2021 nên 2 2 2021 1 y 1 log2 2021 hay 2 y log2 2021 1.
 Page 7