Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 25: Toạ độ điểm, toạ độ vecto

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 25: TOẠ ĐỘ ĐIỂM – TOẠ ĐỘ VECTO 
 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
 ￿ Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau.
 ￿ Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i (1;0;0) .
 ￿ Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j (0;1;0) .
 ￿ Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k (0;0;1).
 ￿ Điểm O(0;0;0) là gốc tọa độ.
 2. Tọa độ vectơ: Vectơ u xi y j zk u (x; y; z) .
 Cho a (a1;a2 ;a3 ), b (b1;b2 ;b3 ) . Ta có:
￿ a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) 
 ￿ a cùng phương b a kb (k R)
￿ ka (ka1; ka2 ; ka3 )
 a1 kb1
 a b a a a3
 1 1 a kb 1 2 , (b , b , b 0).
 2 2 1 2 3
￿ a b a b b1 b2 b3
 2 2 a kb
 3 3
 a3 b3
 2
 2 2 2 2 2 2 2
￿ a.b a1.b1 a2.b2 a3.b3 ￿ a a1 a2 a2 ￿ a a a1 a2 a3
 a.b a b a b a b
 ￿ cos(a, b) 1 1 2 2 3 3
￿ a  b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 2 2 2 2 2 2
 a . b a1 a2 a3 . b1 b2 b3
  
3. Tọa độ điểm: M (x; y; z) OM (x; y; z) . Cho A(xA; yA; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) , ta có:
  
 2 2 2
￿ AB (xB xA; yB yA; zB zA ) ￿ AB (xB xA ) (yB yA ) (zB zA )
￿ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: ￿ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
 x x y y z z x x x y y y z z z 
 M A B ; A B ; A B . G A B C ; A B C ; A B C .
 2 2 2 3 3 3 
 QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
 Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
 Chieáu vaøo Ox Chieáu vaøo Oxy
￿ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾®) M1 (xM ;0;0) ￿ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, y®) M1 (xM ; yM ;0)
 Chieáu vaøo Oy Chieáu vaøo Oyz
￿ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾®) M2 (0; yM ;0) ￿ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾, z®) M2 (0; yM ;zM )
 Chieáu vaøo Oz Chieáu vaøo Oxz
￿ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân z¾®) M3 (0;0;zM ) ￿ Điểm M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eânx¾, z®) M3 (xM ;0;zM )
 Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
 Ñoái xöùng qua Ox Ñoái xöùng qua Oxy
￿ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾; ñoå¾i daáu¾y, ¾z®) M1 (xM ;- yM ;- zM ) ￿ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, y; ñ¾oåi d¾aáu ¾z®) M1 (xM ; yM ;- zM )
 Ñoái xöùng qua Oy Ñoái xöùng qua Oxz
￿ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾; ñoå¾i daáu¾x, ¾z®) M2 (- xM ; yM ;- zM ) ￿ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân x¾, z; ñ¾oåi d¾aáu ¾y®) M2 (xM ;- yM ;zM )
 Ñoái xöùng qua Oz Ñoái xöùng qua Oyz
￿ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân z¾; ñoåi¾daáu¾x, ¾y®) M3 (- xM ;- yM ;zM ) ￿ M(xM ; yM ;zM ) ¾(G¾iöõ n¾guy¾eân y¾, z; ñ¾oåi d¾aáu ¾x®) M3 (- xM ; yM ;zM )
 Page 1 Vì M ' đối xứng với M qua mặt phẳng Oyz nên H là trung điểm MM '. Khi đó
 xM ' 2xH xM 2
 yM ' 2yH yM 5 M ' 2; 5;4 
 zM ' 2zH zM 4
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 3;2; 1 . Khi đó điểm đối xứng với M qua mặt phẳng 
 yOz có tọa độ
 A. M1 3;0;0 . B. M 2 3; 2;1 . C. M 4 0;2; 1 . D. M3 3;2; 1 .
 Lời giải
 Điểm đối xứng với điểm M 3;2; 1 qua mặt phẳng yOz là điểm M3 3;2; 1 .
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 2;0; 1 , B 1; 2;3 , C 0;1;2 . Tìm tọa 
 độ điểm O là điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng ABC .
 1 1 1 1 
 A. O 1; ; . B. O 2;1;1 . C. O 10; 5; 5 . D. O 2; ; .
 2 2 2 2 
 Lời giải
     
 Ta có AB 1; 2;4 , AC 2;1;3 AB, AC 10; 5; 5 5 2;1;1 . Khi đó mặt 
 phẳng ABC có vectơ pháp tuyến n 2;1;1 . Do đó phương trình mặt phẳng ABC là 
 2x y z 3 0 .
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng ABC . Ta có tọa độ H là 
 1 1 
 H 1; ; .
 2 2 
 Do điểm O là điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng ABC nên H là trung điểm 
 của đoạn OO . Vậy tọa độ điểm O là O 2;1;1 .
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 2y z 3 0 và điểm M 1; 2;4 . Tìm tọa 
 độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng P .
 A. 5;2;2 . B. 0;0; 3 . C. 3;0;3 . D. 1;1;3 .
 Lời giải
 + Gọi là đường thẳng đi qua M 1; 2;4 và vuông góc với mặt phẳng P .
 x 1 2t
 Phương trình tham số của là: y 2 2t t ¡ .
 z 4 t
 + Gọi H 1 2t; 2 2t;4 t là hình chiếu vuông góc của M trên P .
 Vì H nằm trên P nên thay tọa độ của H vào phương trình của P , ta được:
 2 1 2t 2 2 2t 4 t 3 0 9t 9 0 t 1.
 Vậy H 3;0;3 .
 Page 3 Lời giải
 x 1 3t
 Đưa đường thẳng d về dạng tham số d : y 2 t .
 z 2 2t
 Gọi hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d là điểm H 1 3t;2 t; 2 2t .
  
 Vectơ AH 3t 2; t; 2 2t và vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud 3; 1;2 
  1 4 15 16 
 Ta có AH.ud 0 3 3t 2 1 t 2 2 2t 0 t H ; ; 
 7 7 7 7 
 4
 Suy ra hoành độ của điểm H là .
 7
 x 2 y x 1
Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho đường thẳng d : và điểm A 2;0;3 . 
 1 1 2
 Toạ độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d tương ứng là
 8 2 7 2 4 5 10 4 5 
 A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. 2; 3;1 .
 3 3 3 3 3 3 2 3 3 
 Lời giải
 x 2 t
 Đưa đường thẳng d về phương trình tham số d : y t
 z 1 2t
 Gọi hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d là H suy ra H 2 t ; t ;1 2t . 
   
 Ta có AH t ; t ; 2t 2 và VTCP của đường thẳng d là ud 1; 1; 2 .
   2 8 2 7 
 Suy ra AH.ud 0 t t 4t 4 0 t H ; ; .
 3 3 3 3 
 10
 x 2x x 
 A H A 3
 4
 Có điểm H là trung điểm của AA suy ra tọa độ điểm A là: yA 2yH yA .
 3
 5
 zA 2zH zA 
 3
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , tìm điểm đối xứng của M ( 2;1;0) qua đường thẳng 
 x y z 7
 d : ?
 2 1 2
 A. M 1;2;3 . B. M 1;2; 3 . C. M 1; 2; 3 . D. M (6; 3; 10) .
 Lời giải
 Gọi H là hình chiếu của M lên d .
  
 Do H d H ( 2t;t; 7 2t) MH ( 2t 2;t 1; 7 2t) .
  
 Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud ( 2;1; 2) .
  
 Đường thẳng MH vuông góc với d MH  ud .
 Page 5