Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 22: Góc và khoảng cách trong không gian thuần tuý

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 22: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN THUẦN TUÝ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
DẠNG 1. GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
 Để tính góc giữa hai đường thẳng d1,d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách
 Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1,d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O 
 thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
 d1
 d'1
 O
 d'2
 d2
 ' '
 Từ O dựng các đường thẳng d1,d2 lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong 
 ' '
 hai đường thẳng) với d1 và d2 . Góc giữa hai đường thẳng d1,d2 chính là góc giữa hai đường 
 thẳng d1,d2 .
 Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác
 b2 c2 a2
 cos A .
 2bc
   
 Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1,u2 của hai đường thẳng d1,d2
   
 u1.u2
 Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1,d2 xác định bởi cos d1,d2   .
 u1 u2
     
 Lưu ý 2: Để tính u1u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a,b,c không đồng phẳng mà có thể tính được 
   
 độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1,u2 qua các vec tơ a,b,c rồi thực hiện 
 các tính toán.
DẠNG 2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
 Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và
 hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P)
 Gọi là góc giữa d và mặt phẳng (P) thì 0 90
 Đầu tiên tìm giao điểm của d và (P) gọi là điểm A.
 Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vuông góc với (P) tại H. Suy ra AH là hình chiếu vuông 
 góc của d trên mặt phẳng (P).
 Vậy góc giữa d và (P) là góc B· AH .
 Nếu khi xác định góc giữa d và (P) khó quá ( không chọn được điểm B để dựng BH vuông góc 
 với (P)), thì ta sử dụng công thức sau đây. Gọi là góc giữa d và (P) suy ra:
 d M , P 
 . sin 
 AM
 Ta phải chọn điểm M trên d, mà có thể tính khoảng cách được đến mặt phẳng (P). Còn A là giao 
 điểm của d và mặt phẳng (P).
 Page 1 Trường hợp 6: CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG BÊN VÀ MẶT PHẲNG 
 ĐÁY
 Bước 1: xác dịnh giao tuyến d của mặt bên và mặt đáy.
 Bước 2: từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, dựng AH  d .
 Bước 3: góc cần tìm là góc S· HA .
 Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy.
 Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC).Hãy xác định góc giữa 
 mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC). S
 Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC).
 Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng AH  BC .
 BC  SA C
 Vì BC  SAH BC  SH . A
 BC  AH
 H
 ·
 Kết luận góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SHA . B
DẠNG 3: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐỈNH ĐẾN MỘT MẶT
 Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên.
 Bước 1: Xác định giao tuyến d
 Bước 2: Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh, DỰNG AH  d ( H d ).
 Bước 3: Dựng AI  SH I SH .Khoảng cách cần tìm là AI
 Với S là đỉnh, A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy.
 Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Hãy xác khoảng cách 
 từ điểm A đến mặt bên (SBC).
 S
 I
 C
 A
 H
 B
 Ta có BC là giao tuyến của mp (SBC) và (ABC).
 Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A, dựng AH  BC tại H. Dựng AI  SH tại I
 BC  SA
 Vì BC  SAH SBC  SAH .
 BC  AH
 Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAH) theo giao tuyến SH có AI  SH
 nên AI  mp SBC d A,mp SBC AI
DẠNG 4: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐỂM BẤT KỲ ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
 Thường sử dụng công thức sau:
 Page 3 - Ta dựng mặt phẳng ( )  a tại O , ( ) cắt b tại I .
 - Dựng hình chiếu vuông góc của b là b' trên ( ) .
 - Trong mặt phẳng ( ) , vẽ OH  b' , H b' .
 - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B .
 - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A .
 - Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b .
DẠNG 5. KHOẢNG CÁCH CỦA ĐƯỜNG VỚI MẶT, MẶT VỚI MẶT
 Ở dạng toán này chúng ta đều quy về dạng toán 1
 Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm 
 bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 .
 M
 α H
 d , d M , , M .
 Cho hai mặt phẳng và  song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt 
 phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và  .
 N
 M
 α
 N'
 β M'
 d ,  d M ,  d N, , M , N  .
 Page 5 S
 I
 A D
 O H
 B C
 - Gọi O AC  BD , H là trung điểm CD . Trong SOH , kẻ OI  SH .
 CD  SO
 Có CD  SOH CD  OI .
 CD  SH
 Mà OI  SH nên OI  SCD d O, SCD OI .
 2SO.OH
 - Vì O là trung điểm BD nên d B, SCD d O, SCD 2OI .
 SO2 OH 2
 2 2 3
 Có AD AC sin 45 a 2 , OH a d B, SCD a .
 2 3
Câu 1: ĐTK2022 Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Góc 
 giữa hai đường thẳng A C và BD bằng
 D' C'
 A' B'
 D C
 A B
 A. 90 . B. 30 . C. 45. D. 60 .
 Lời giải
 Chọn A
 D' C'
 A' B'
 D C
 A B
 Ta có BD // B D nên A C , BD A C , B D .
 Page 7 Ta có IJ // SB (tính chất đường trung bình) và CD // AB (tứ giác ABCD là hình thoi).
 Suy ra IJ,CD SB, AB S· BA 60 .
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng avà các cạnh bên đều bằng a. 
 Gọi Mvà N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo góc MN,SC bằng:
 A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 .
 Lời giải
 Chọn C
 Vì Mvà N lần lượt là trung điểm của AD và SD nên MN là đường trung bình của tam giác 
 DSA . Suy ra MN song song với SAnên MN,SC SA;SC .
 Tam giác SAC có SA SC a và A C a 2 vì AC là đường chéo của hình vuông cạnh aKhi 
 đó tam giác SAC vuông cân tại S . Vậy SA;SC 90.
Câu 6: (ĐTK2021) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢có AB = AD = 2 và AA¢= 2 2 ( tham 
 khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA¢và mặt phẳng (ABCD) bằng
 A. 30° . B. 45°. C. 60° . D. 90° .
 Lời giải
 Page 9 B' C'
 A' D'
 C
 B
 A D
 A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45.
 Lời giải
 Vì ABCD là hình vuông nên BD  AC .
 Mặt khác AA  ABCD BD  AA .
 BD  AC
 Ta có BD  AA C BD  A C .
 BD  AA'
 Do đó góc giữa A C và BD bằng 90 .
Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB CD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết 
 MN a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng.
 A. 450 . B. 900 . C. 600 . D. 300 .
 Lời giải
 Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy ra ·AB,CD P·M , PN .
 Dễ thấy PM PN a .
 PM 2 PN 2 MN 2 a2 a2 3a2 1
 Xét PMN ta có cosM· PN 
 2PM.PN 2.a.a 2
 M· PN 1200 ·AB,CD 1800 1200 600 .
Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.A B C D ; gọi M là trung điểm của B C . Góc giữa hai đường 
 thẳng AM và BC bằng
 A. 45. B. 90 . C. 30 . D. 60 .
 Lời giải
 Page 11