Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 17: Phép đếm, hoán vị, Chỉnh hợp, tổ hợp

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 17: PHÉP ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này 
 có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của 
 hành động thứ nhất thì công việc đó có m n cách thực hiện.
  Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n A B n A n B .
 2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách 
 thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì 
 có m.n cách hoàn thành công việc.
  Dạng toán tìm số các số tạo thành: Gọi số cần tìm có dạng: abc..., tuỳ theo yêu cầu bài toán:
 Nếu số lẻ thì số tận cùng là số lẻ.
 Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn.
 3. Hoán vị: Cho tập A có n (n 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta 
 được một hoán vị các phần tử của tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A).
 Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là
 Pn n! n(n 1)(n 2)...1.
 4. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n . Khi lấy ra k phần 
 tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A 
 (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
 Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1 k n là
 n!
 Ak n(n 1)(n 2)...(n k 1) .
 n n k !
 5. Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n . Mỗi tập con của A có k 
 phần tử được được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập 
 k của A ).
 Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là
 Ak n(n 1)(n 2)...(n k 1) n!
 Ck n 
 n k! k! k! n k !
Câu 22: _TK2023 Cho tập hợp A có 15 phần tử. Số tập con gồm hai phần tử của A bằng
 A. 225 B. 30 C. 210 D. 105
 Lời giải
 Chọn D
 2
 Số tập hợp con của A là C15 105.
Câu 1: ĐTK2022 Với n là số nguyên dương, công thức nào dưới đây đúng?
 A. Pn n!. B. Pn n 1. C. Pn (n 1)!. D. Pn n .
 Lời giải
 Chọn A
  Ta đã biết, Pn là kí hiệu số các hoán vị của n phần tử, với n là số nguyên dương.
 Do đó, công thức đúng là Pn n!.
Câu 2: Tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là
 Page 1 Câu 8: Bạn cần mua một cây bút để viết bài. Bút mực có 8 loại khác nhau, bút chì có 8 loại khác nhau. 
 Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn?
 A. 16. B. 2 . C. 64 . D. 3 .
 Lời giải
 Chọn A
 Công việc mua bút có 2 phương án độc lập nhau.
 Phương án 1 mua một cây bút mực có 8 cách.
 Phương án 2 mua một cây bút chì có 8 cách.
 Theo quy tắc cộng, ta có: 8 8 16 cách.
Câu 9: Từ thành phố A có 10 con đường đến thành phố B, từ thành phố B có 7 con đường đến thành phố
 C. Từ A đến C phải qua B, hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
 A. 10. B. 7 . C. 17 . D. 70 .
 Lời giải
 Chọn D
 Công việc đi từ A đến C gồm 2 hành động liên tiếp.
 Hành động 1: đi từ A đến B có 10 cách.
 Hành động 2: đi từ B đến C có 7 cách.
 Theo quy tắc nhân, đi từ A đến C có 10.7 70 cách.
Câu 10: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả trong 
 5 loại, 1 loại nước uống trong 3 loại. Hỏi có bao nhiêu cách lập thực đơn?
 A. 73. B. 75. C. 85. D. 95.
 Lời giải
 Chọn B
 Lập thực đơn gồm 3 hành động liên tiếp:
 Chọn món ăn có 5 cách.
 Chọn quả có 5 cách.
 Chọn nước uống có 3 cách.
 Theo quy tắc nhân: 5.5.3 75 cách
Câu 11: Có bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 ?
 5 5
 A. A6 . B. P6 . C. C6 . D. P5 .
 Lời giải.
 Chọn A
 Số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 là một chỉnh 
 5
 hợp chập 5 của 6 phần tử. Vậy có A6 số cần tìm.
Câu 12: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
 A. 66 . B. 5!. C. 6!. D. 6 .
 Lời giải.
 Chọn C
 Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của tập có 6 phần tử. Vậy có 
 tất cả 6! cách sắp xếp.
Câu 13: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?
 3 8 3 3
 A. A8 . B. 3 . C. 8 . D. C8 .
 Lời giải.
 Page 3 2
  Chọn 2 học sinh khối 11 có C5 cách.
 2
  Chọn 2 học sinh khối 10 có C4 cách.
 2 2 2
 Theo quy tắc nhân, ta có C6 .C5 .C4 cách chọn thỏa yêu cầu.
Câu 19: Một hộp có 8 bi xanh,5 bi đỏ và 4 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bi sao cho có đúng 1 
 bi đỏ?
 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1
 A. C5.C8.C4 . B. A5.A12 . C. C5.C12 . D. A5.A8.A4 .
 Lời giải.
 Chọn C
 1
  Chọn 1 bi đỏ có C5 cách.
 2
  Chọn 2 bi còn lại có C12 cách.
 1 2
 Theo quy tắc nhân, ta có C5.C12 cách chọn thỏa yêu cầu.
Câu 20: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
 A. 36 . B. 720 . C. 6 . D. 1.
 Lời giải
 Chọn B
 Có 6! 720 cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc
Câu 21: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 5 học sinh nam 
 và 7 học sinh nữ là
 A. 7 . B. 12. C. 5 . D. 35 .
 Lời giải
 Chọn B
 Tổng số học sinh là: 5 7 12.
 Số chọn một học sinh là: 12 cách.
Câu 22: Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh?
 A. 14. B. 48 . C. 6 . D. 8 .
 Lời giải
 Chọn A
 Số cách chọn 1học sinh từ nhóm gồm 14 học sinh là 14.
Câu 23: Trên mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ, khác vectơ – không có điểm đầu 
 và điểm cuối được lấy từ 2019 điểm đã cho?
 2019 2 2 2
 A. 2 . B. 2019 . C. C2019 . D. A2019 .
 Lời giải
 Chọn D
 Để lập véc tơ, ta có 2019 cách chọn điểm đầu, ứng với mỗi cách chọn điểm đầu có 2018 cách 
 chọn điểm cuối.
 2
 Vậy theo quy tắc nhân, ta có số vectơ thỏa mãn yêu cầu là 2019.2018 A2019 .
 Cách khác:
   
 Qua 2 điểm phân biệt A,B có 2 vectơ là AB và BA.
 Vậy số vectơ, khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 2019 điểm đã cho là 
 2
 số chỉnh hợp chập 2 của 2019 phần tử, bằng A2019 .
 Page 5 4
 Vì không có màu nào được dùng 2 lần nên ta có: A6 cách
Câu 31: Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
 A. 120. B. 5 . C. 625. D. 24 .
 Lời giải
 Chọn A
 Mỗi số có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1;2;3;4;5 là một chỉnh hợp chập 4 của 5 
 phần tử.
 4
 Số các số được tạo thành là: A5 120
Câu 32: Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là
 4 5 5 5
 A. A30 . B. 30 . C. 30 . D. C30 .
 Lời giải
 Chọn D
 5
 Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử, nghĩa là bằng C30 .
Câu 33: Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác 
 nhau?
 4 4 4
 A. 7 . B. P7 . C. C7 . D. A7 .
 Lời giải
 Chọn D
 Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là 
 4
 một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Nên số tự nhiên tạo thành là: A7 (số).
Câu 34: Một tổ có 10 học sinh. Số cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ 2 chức vụ tổ trưởng và tổ phó 
 là
 2 8 2 2
 A. C10 . B. A10 . C. 10 . D. A10 .
 Lời giải
 Chọn D
 Theo yêu cầu bài toán thì chọn ra 2 học sinh từ 10 học sinh có quan tâm đến chức vụ của mỗi
 người nên mỗi cách chọn sẽ là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.
 2
 Số cách chọn là A10 .
Câu 35: Cho 20 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành 
 từ các điểm này?
 A. 8000. B. 6480. C. 1140. D. 600.
 Lời giải
 Chọn C
 Chọn 3 điểm từ 20 điểm ta có một tam giác nên số tam giác tạo thành từ 20 điểm đã cho là 
 3
 C20 1140..
Câu 36: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là
 A. 35 . B. 120. C. 240 . D. 720 .
 Lời giải
 Chọn B
 Cứ ba đỉnh của đa giác đều sẽ tạo thành một tam giác.
 Page 7