Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 11: Góc giữa mặt phẳng, đường thẳng

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 11: GÓC GIỮA MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : A1x B1y C1z D1 0 và 
  : A2 x B2 y C2 z D2 0.
   
 Góc giữa và  bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n ,n . Tức là:
   
   n .n
  A1A2 B1B2 C1C2
 cos ,  cos n ,n   
 2 2 2 2 2 2
 n . n A1 B1 C1 . A2 B2 C2
 Đặc biệt: (P)  (Q) AA' BB' CC' 0.
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
  
 o Góc giữa hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương u (a;b;c) và u' (a';b';c') là  :
 aa' bb' cc ' o o
 cos (0  90 ).
 a2 b2 c 2 . a'2 b'2 c '2
 Đặc biệt: (d)  (d ') aa ' bb ' cc ' 0.
 o Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương u (a;b;c) và mp( ) có vectơ pháp tuyến
 Aa Bb Cc o o
 n (A;B;C) là: sin cos(n, u) (0  90 ).
 A 2 B2 C 2 . a2 b2 c 2
Câu 11_TK2023 Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oyz bằng
 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 
 Lời giải
 Chọn D
 Ta có vectơ pháp tuyến của Oxy và Oyz lần lượt là k và i .
 Vì k  i nên ·Oxy ; Oyz 90 .
 x 2 y 1 z 4
Câu 1: ChoTrong hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P : 1 và 
 3 2 6
 Q :x 2y 3z 7 0 . Tính tang góc tạo bởi hai mặt phẳng đã cho.
 3 3 5 3 19
 A. . B. . C. . D. .
 19 5 19 3 19 5
 Lời giải C. P : x y z 1 0 hoặc P : x y z 1 0 .
 D. P : x y z 1 0 hoặc P : x y z 1 0 .
 Lời giải
 Gọi n a;b;c là vectơ pháp tuyến của P .
 Khi đó phương trình P : a x by cz d 0 .
 A 1;1; 1 P a b c d 0
 Ta có .
 B 1;1;1 P a b c d 0
 a c 
 Từ đó ta có nên n a;b;a .
 d b
 1 a 1
 Theo giả thiết cos a b .
 3 a2 b2 a2 . 02 02 12 3
 Với a b nên ta chọn a 1 ta có a b c 1; d 1.
 Với a b nên ta chọn a 1 ta có a 1; b 1; c 1; d 1.
 Khi đó P : x y z 1 0 hoặc P : x y z 1 0 .
Câu 5: Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A B C D với A 0;0;0 ; 
 B 1;0;0 ; D 0;1;0 ; A 0;0;1 . Viết phương trình mặt phẳng chứa A C và tạo với mặt phẳng 
 1
 Oxy một góc biết cos .
 6
 A. Q :2x y z 1 0 hoặc Q : x 2y z 1 0 .
 B. Q :2x y z 1 0 hoặc Q : x 2y z 1 0 .
 C. Q :2x y z 1 0 hoặc Q : x 2y z 1 0 .
 D. Q :2x y z 1 0 hoặc Q : x 2y z 1 0 .
 Lời giải
 Giả sử phương trình mặt phẳng cần tìm là Q : ax by cz d 0 a2 b2 c2 0 .
 A 0;0;1 Q a.0 b.0 c.1 d 0
 Ta có c d a b .
 C 1;1;0 Q a.1 b.1 c.0 d 0
 Do đó phương trình Q có dạng a x by a b z a b 0 .
 Mặt phẳng Q có vectơ pháp tuyến n a;b;a b , mặt Oxy có vectơ pháp tuyến là 
 k 0;0;1 .
 1 1 a b 1
 Theo giả thiết cos cos n,k 
 6 6 a2 b2 a b 2 6
 2 2 2 a 2b
 6 a b 2 a b ab .
 b 2a
 Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng Q :2x y z 1 0 hoặc Q : x 2y z 1 0 .   
 d có vectơ chỉ phương ad AM 2t 2;t 2; 1 t 
  
 2 có vectơ chỉ phương a2 1;2;2 
 2 t 2
 cos d; 
 2 3 6t 2 14t 9
 t 2 9 9
 Xét hàm số f t 2 , ta suy ra được max f t f 
 6t 14t 9 7 5
 2 5 9  4 5 2 
 Do đó max cos ,d t AM ; ; 
 5 7 7 7 7 
 x 1 y z 1
 Vậy phương trình đường thẳng d là .
 4 5 2
 x 1 t
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : y 2 2t và mặt phẳng:
 z 3 t
 x y 3 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng.
 A. 600 B. 300 C. 120o D. 450
 Lời giải
 Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u 1;2;1 
 Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến là n 1; 1;0 
 Gọi là góc giữa Đường thẳng d và Mặt phẳng P . Khi đó ta có
 u.n 1.1 2. 1 1.0 3 3
 sin 
 u n 1 2 22 12 . 12 1 2 02 2 3 2
 Do đó 600
Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 4x 3y z 1 0 và đường thẳng 
 x 1 y 6 z 4
 d : , sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P bằng
 4 3 1 
 5 8 1 12
 A. . B. . C. . D. .
 13 13 13 13
 Lời giải
 Mặt phẳng P : 4x 3y z 1 0 có một vectơ pháp tuyến là n 4;3; 1 .
 x 1 y 6 z 1 
 Đường thẳng d : có một vectơ chỉ phương là u 4;3;1 .
 4 3 1
 Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P .
 n. u 4.4 3.3 1 1 12
 Khi đó sin cos n;u .
 n u 42 32 12 . 42 32 1 2 13 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình: ax by cz 1 0 
 với c 0 đi qua 2 điểm A 0;1;0 , B 1;0;0 và tạo với Oyz một góc 60 . Khi đó a b c 
 thuộc khoảng nào dưới đây?
 A. 5;8 . B. 8;11 . C. 0;3 . D. 3;5 .
 Lời giải.
 b 1 0
 Mặt phẳng P đi qua hai điểm A , B nên a b 1.
 a 1 0
 a 1
 Và P tạo với Oyz góc 60 nên cos P , Oyz .
 a2 b2 c2 . 1 2
 Thay a b 1 vào phương trình được 2 c2 2 c 2 .
 Khi đó a b c 2 2 0;3 .
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : x 2y 2z 1 0, 
 (Q) : x my (m 1)z 2019 0 . Khi hai mặt phẳng P , Q tạo với nhau một góc nhỏ 
 nhất thì mặt phẳng Q đi qua điểm M nào sau đây?
 A. M (2019; 1;1) B. M (0; 2019;0) C. M ( 2019;1;1) D. M (0;0; 2019)
 Lời giải
 Chọn C
 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q .
 Khi đó: 
 1.1 2.m 2.(m 1) 1 1 1
 cos 
 2 2 2 2 2 2 2 2 3
 1 2 ( 2) . 1 m (m 1) 3 2m 2m 2 1 3 3
 3. 2 m 
 2 2 2
 1
 Góc nhỏ nhất cos lớn nhất m .
 2
 1 1 1
 Khi m thì Q : x y z 2019 0 , đi qua điểm M ( 2019;1;1) .
 2 2 2
Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 2x y 2z 5 0 và Q : x y 2 0 . Trên 
 P có tam giác ABC ; Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên Q . Biết tam giác 
 ABC có diện tích bằng 4 , tính diện tích tam giác A B C .
 A. 2 . B. 2 2 . C. 2 . D. 4 2 .
 Lời giải
 Chọn B
 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q .
 2.1 1. 1 2.0 1
 cos .
 22 1 2 22 . 12 1 2 02 2
 1
 Ta có: S S .cos 4. 2 2 .
 A B C ABC 2