Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT - Chuyên đề 10: Xác định tọa độ tâm-bán kính, phương trình mặt cầu cơ bản

 TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 CHUYÊN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM - BÁN KÍNH 
 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CƠ BẢN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH
 g Mặt cầu tâm I(a;b;c) và có bán kính R có phương trình 
 (S) : (x a)2 (y b)2 (z c)2 R2.
 g Phương trình x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0
 là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R a2 b2 c2 d . I R
 g Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:
 Hệ số trước x2 , y2 , z2 phải bằng nhau và a2 b2 c2 d 0.
DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
 g Tâm I(a;b;c) 2 2 2 2
  Dạng 1. Cơ bản (S) : (S) : (x a) (y b) (z c) R .
 g BK : R
  Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua điểm A.
 g Tâm I
 Phương pháp: (S) : 
 g BK : R IA
  Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, với A, B cho trước.
 g Tâm I
 là trung điểm của AB.
 Phương pháp: (S) : 1
 g BK : R AB
 2
Câu 10_TK2023 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 6z 1 0 . Tâm của 
 (S) có tọa độ là
 A. 1; 2; 3 B. 2;4;6 C. 2; 4; 6 D. 1;2;3 
 Lời giải
 Điểm I 1;2;3 là tâm của mặt cầu S .
Câu 15_TK2023 Cho mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S O;R . Gọi d là khoảng cách từ O 
 đến P . Khẳng định nào dưới đây đúng?
 A. d R . B. d R . C. d R . D. d 0 .
 Lời giải
 Chọn C
 Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S O; R khi và chỉ khi d R.
 2 2
Câu 1: Trong không gian Oxyz, mặt cầu S : x 1 y 2 z2 9 có bán kính bằng
 A. 3 . B. 81. C. 9 . D. 6 .
 Lời giải
 Từ phương trình mặt cầu R2 9 R 3 .
Câu 2: Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x2 y 1 2 z2 9 có bán kính bằng
 A. 9 . B. 3 . C. 81. D. 6 .
 Lời giải Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2y 7 0. Bán kính của mặt cầu 
 đã cho bằng
 A. 7 . B. 9 . C. 15 . D. 3 .
 Lời giải
 Ta có S : x2 y2 z2 2x 2y 7 0 x 1 2 y 1 2 z2 9
 Vậy bán kính của mặt cầu bằng 3.
Câu 11: Cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 . Tính bán kính R của mặt cầu S .
 A. R 3 . B. R 3. C. R 9. D. R 3 3 .
 Lời giải
 2 2 2
 S : x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 x 1 y 2 z 1 9.
 Vậy bán kính của mặt cầu S là R 3.
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 0;0; 3 và đi qua điểm M 4;0;0 . 
 Phương trình của S là
 2 2
 A. x2 y2 z 3 25. B. x2 y2 z 3 5 .
 2 2
 C. x2 y2 z 3 25 . D. x2 y2 z 3 5 .
 Lời giải
 2
 Phương trình mặt cầu S có tâm I 0;0; 3 và bán kính R là: x2 y2 z 3 R2 .
 2
 Ta có: M S 42 02 0 3 R2 R2 25.
 2
 Vậy phương trình cần tìm là: x2 y2 z 3 25.
Câu 13: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 
 x2 y2 z2 2x 2y 4z m 0 là phương trình của một mặt cầu.
 A. m 6 B. m 6 C. m 6 D. m 6
 Lời giải
 Phương trình x2 y2 z2 2x 2y 4z m 0 là một phương trình mặt cầu
 12 12 22 m 0 m 6 .
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm I 1;1;1 và A 1;2;3 . Phương trình mặt cầu có tâm I và 
 đi qua A là
 A. x 1 2 y 1 2 z 1 2 5 B. x 1 2 y 1 2 z 1 2 29
 C. x 1 2 y 1 2 z 1 2 5 D. x 1 2 y 1 2 z 1 2 25
 Lời giải
 Ta có R IA 1 1 2 2 1 2 3 1 2 5
 vậy phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có phương trình là
 2 2 2 2 2 2 2
 x xI y yI z zI R x 1 y 1 z 1 5
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;7 , B 3;8; 1 . Mặt cầu đường 
 kính AB có phương trình là C. 2x2 2y2 2z2 4x 8y 6z 3 0 . D. x2 y2 z2 2x 4y 4z 10 0 .
 Lời giải
 Phương trình x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 là phương trình của một mặt cầu nếu 
 a2 b2 c2 d 0 .
Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I 2;1; 2 bán kính R 2 là:
 A. x 2 2 y 1 2 z 2 2 22 . B. x2 y2 z2 4x 2y 4z 5 0.
 C. x2 y2 z2 4x 2y 4z 5 0 . D. x 2 2 y 1 2 z 2 2 2 .
 Lời giải
 Phương trình mặt cầu tâm I 2;1; 2 bán kính R 2 có hai dạng:
 Chính tắc: x 2 2 y 1 2 z 2 2 22
 Tổng quát: x2 y2 z2 4x 2y 4z 5 0.
 Vậy đáp án đúng làB.
Câu 21: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu S tâm A 2;1;0 , đi qua điểm B 0;1;2 ?
 2 2
 A. S : x 2 y 1 z2 8 . B. S : x 2 2 y 1 2 z2 8.
 C. S : x 2 2 y 1 2 z2 64 . D. S : x 2 2 y 1 2 z2 64 .
 Lời giải
 Vì mặt cầu S có tâm A 2;1;0 , đi qua điểm B 0;1;2 nên mặt cầu S có tâm A 2;1;0 và 
 nhận độ dài đoạn thẳng AB là bán kính.
   2
 Ta có: AB 2 :0;2 . AB AB 2 02 22 2 2 . Suy ra: R 2 2 .
 Vậy: S : x 2 2 y 1 2 z2 8.
 Vậy chọn đáp án B
Câu 22: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu S tâm I 2;1; 2 và tiếp xúc với mặt phẳng 
 (P) : 2x 2y z 2 0 là:
 A. x 2 2 y 1 2 z 2 2 2 . B. x 2 2 y 1 2 z 2 2 4 .
 C. x 2 2 y 1 2 z 2 2 2 . D. x 2 2 y 1 2 z 2 2 4 .
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I 1; 4;3 và tiếp xúc 
 với mặt phẳng (P) : 2x 2y z 5 0 là:
 A. x 1 2 y 4 2 z 3 2 4 . B. x 1 2 y 4 2 z 3 2 16.
 C. x 1 2 y 4 2 z 3 2 4 . D. x 1 2 y 4 2 z 3 2 16 .
Câu 24: Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để
 x2 y2 z2 2 m 2 x 2 m 1 z 3m2 5 0 là phương trình một mặt cầu?
 A. 4 B. 6 C. 5 D. 7
 Lời giải
 Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi 1 9 14
 Vậy bán kính mặt cầu S là: R a2 b2 c2 d 1 .
 4 4 2
Câu 28: Gọi S là mặt cầu đi qua 4 điểm A 2;0;0 , B 1;3;0 ,C 1;0;3 , D 1;2;3 . Tính bán kính R 
 của S . 
 A. R 2 2 . B. R 3. C. R 6 . D. R 6 .
 Lời giải
 Gọi I a;b;c là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B,C, D . Khi đó:
 2 2 2 2 2 2
 AI 2 BI 2 a 2 b c a 1 b 3 c
 2 2 2 2 2 2 2 2
 AI CI a 2 b c a 1 b c 3 
 2 2 
 AI DI a 2 2 b2 c2 a 1 2 b 2 2 c 3 2
 a 3b 3 a 0
 a c 1 b 1 I 0;1;1 
 a 2b 3c 5 c 1
 Bán kính: R IA 22 12 12 6 .
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2; 4 , B 1; 3;1 , C 2;2;3 . Tính 
 bán kính R của mặt cầu S đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy .
 A. R 41 . B. R 15 . C. R 13 . D. R 26 .
 Lời giải
 Gọi phương trình mặt cầu S có dạng x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 , với tọa độ tâm 
 I a;b;c .
 Ta có:
 I a;b;c Oxy c 0 ;
 A S 2a 4b d 21 a 2
 B S 2a 6b d 11 b 1 ;
 4a 4b d 17 d 21
 C S 
 R a2 b2 c2 d 4 1 0 21 26 .
Câu 30: Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z 3 2 16 đi qua điểm nào dưới 
 đây?
 A. Điểm Q 2; 1; 1 . B. Điểm N 2; 1;3 . C. Điểm M 2;1; 3 . D. Điểm P 2;1;1 .
 Lời giải
 Thay tọa độ điểm P 2;1;1 vào phương trình mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z 3 2 16 
 (thỏa mãn). Ta có mặt cầu S đi qua điểm P .
Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2x 2y z - m2 -3m 0 và mặt 
 cầu (S) : x 1 2 y 1 2 z 1 2 9 . Tìm tất cả các giá trị của m để (P) tiếp xúc với (S) .