Phiếu bài tập dạy thêm - Chuyên đề: Hình thang cân - Toán 8 Kết nối tri thức

 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/8
 HèNH THANG CÂN
 A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
 1. Định nghĩa.
 ▪ Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song.
 ▪ Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau.
 2. Tớnh chất.
 Trong hỡnh thang cõn:
 ▪ Hai gúc kề một đỏy bằng nhau.
 ▪ Hai cạnh bờn bằng nhau.
 ▪ Hai đường chộo bằng nhau.
 3. Dấu hiệu nhận biết. Hỡnh 3.1
 ▪ Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn.
 B C
 ▪ Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn.
 Lưu ý: Hỡnh thang cú hai cạnh bờn bằng nhau chưa chắc là hỡnh thang 
 cõn. Chẳng hạn hỡnh thang như hỡnh bờn.
 A Hỡnh 3.2 D
 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Dạng 1: Tớnh số đo gúc
 ▪ Trong hỡnh thang cõn, hai gúc kề một đỏy bằng nhau.
 ▪ Trong hỡnh thang, hai gúc kề một cạnh bờn bự nhau.
 Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A . Trờn cỏc cạnh bờn AB , AC lấy theo thứ tự cỏc điểm D và E sao 
 cho AD = AE .
 a) Chứng minh BDEC là hỡnh thang cõn;
 b) Tớnh gúc của hỡnh thang cõn đú, biết rằng Aˆ = 50° .
 Lời giải
 180° - Aˆ
 a) VABC cõn tại A nờn BãCA = . (1)
 2
 Do AD = AE nờn VADE cõn tại A
 180° - Aˆ
 ị DãEA = . (2)
 2
 ã ã
 Từ (1) và (2) ị BCA = DEA ị BC PED . (3)
 Lại cú Bˆ = Cˆ . (4)
 Từ (3) và (4) suy ra BCDE là hỡnh thang cõn.
 b) Vỡ BCDE là hỡnh thang cõn nờn
 180° - Aˆ 180° - 50°
 Bˆ = Cˆ = = = 65° ; Eˆ = Dˆ = 180° - Cˆ = 115° .
 2 2
 Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng hoặc gúc bằng nhau PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/8
 a) Từ N kẻ tia Nx PMP , Nx ầQP = K .
 Do MN PPK ị NK = MP ị NK = NQ (= MP) ị VNKQ cõn tại N .
 b) Do VNKQ cõn tại N nờn NãQP = NãKQ . Mà NãKQ = MãPQ (hai gúc đồng vị), nờn NãQP = MãPQ .
 Xột VMQP và VNPQ cú
 ▪ MP = NQ (giả thiết);
 ã ã
 ▪ MPQ = NQP (chứng minh trờn);
 ▪ QP là cạnh chung.
 ị VMQP = VNPQ (c.g.c).
 c) Do VMPQ = VNQP nờn MãQP = NãPQ
 ị M NPQ là hỡnh thang cõn. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/8
 b) VEBA , VEDC cõn tại E
 ị AE = BE , ED = EC ị E thuộc trung trực AB , DC . (1)
 Mà OA = OB ; OC = OD (cmt) ị O thuộc trung trực AB , DC . (2)
 Từ (1) và (2) ị OE là đường trung trực của AB , CD .
 Bài 3. Cho hỡnh thang ABCD (AD PBC , AD > BC ) cú đường chộo AC vuụng gúc với cạnh bờn CD , 
 ã °
 AC là tia phõn giỏc gúc BAD và Dˆ = 60 .
 a) Chứng minh ABCD là hỡnh thang cõn;
 b) Tớnh độ dài cạnh AD , biết chu vi hỡnh thang bằng 20 cm.
 Lời giải
 a) Gọi O = BD ầ DC . Tam giỏc OAD cú AC vừa là phõn giỏc vừa 
 là đường cao nờn VOAD cõn tại A .
 Lại cú Dˆ = 60° nờn VOAD là tam giỏc đều. Suy ra ABCD là hỡnh 
 thang cõn.
 b) Theo phần a) C là trung điểm OD , BC PAD ị BC là đường 
 trung bỡnh trong VOAD ị AD = 2BC .
 Lại cú ABCD là hỡnh thang cõn ị AB = CD .
 Mà AD = DO = 2CD ị AB = CD = BC .
 Do chu vi hỡnh thang ABCD là
 AD + DC + CB + BA = 20 Û 5BC = 20 ị BC = 4 ị AD = 8 cm.
 Bài 4. Cho tam giỏc ABC cõn tại A . Lấy điểm D trờn cạnh AB , điểm E trờn cạnh AC sao cho 
 AD = AE .
 a) Tứ giỏc BDEC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 b) Cỏc điểm D , E ở vị trớ nào thỡ BD = DE = EC ?
 Lời giải
 180° - Aˆ
 a) VABC cõn tại A ị Bˆ = Cˆ = . (1)
 2
 180° - Aˆ
 VADE cõn tại A ị Dˆ = Eˆ = . (2)
 2
 Từ (1) và (2) suy ra BDEC là hỡnh thang cõn do BC PDE và 
 Bˆ = Cˆ .
 b) Giả sử BD = DE = EC ị BDE cõn tại D
 ả ả ả
 ị B1 = E1 = B2 .
 ả ả
 Tương tự VDEC cõn tại E ị C1 = C2 .
 Vậy BE , DC là cỏc đường phõn giỏc của VABC thỡ BD = DE = EC . PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/8
 D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 Bài 5. Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang cõn, biết một gúc bằng 40° .
 Lời giải
 Giả sử ABCD là hỡnh thang cõn cú Cˆ = Dˆ = 40° , suy ra 
 Aˆ = Bˆ = 180° - Cˆ = 140° .
 Bài 6. Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB PCD (AB < CD) . Kẻ cỏc 
 đường cao AH , BK . Chứng minh DH = CK .
 Lời giải
 Xột hai tam giỏc vuụng HAD và KBC cú AD = BC , 
 ã ã
 HDA = KCB ị VHAD = VKBC ị DH = CK .
 Bài 7. Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB PCD , C = 60° . DB là tia 
 phõn giỏc của gúc D . Tớnh cỏc cạnh của hỡnh thang biết chu vi hỡnh thang bằng 20 cm.
 Lời giải
 Gọi O = CB ầ DA ị VOCD đều.
 ị AB = OA = OB , BãAD = 120° .
 Cú DB là tia phõn giỏc của gúc D
 ả ° ả °
 ị D1 = 30 ị B1 = 30
 ị VABD cõn tại A.
 ị AB = AD = BC ; CD = 2AB .
 Chu vi hỡnh thang là CD + DA + AB + BC = 5AB = 20 ị AB = 4.
 Vậy BC = AD = AB = 4 cm, CD = 8 cm.
 Bài 8. Cho hỡnh thang ABCD (AB PCD ), cú AC = BD . Chứng minh ABCD là hỡnh thang cõn.
 Lời giải
 Từ A kẻ tia Ax PBD , Ax ầCD = K .
 Do AB PKD ị AK = BD
 ã ã
 ị VACK cõn tại A ị ACD = AKC .
 Lại cú ÃKC = BãDC (hai gúc đồng vị)
 ã ã
 ị ACD = BDC .
 Xột hai tam giỏc BCD và ADC cú
 ▪ BD = AC (giả thiết);
 ã ã
 ▪ BDC = ACD (chứng minh trờn);
 ▪ CD là cạnh chung.