Phiếu bài tập dạy thêm - Chuyên đề: Đường trung bình của tam giác - Toán 8 Kết nối tri thức

 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/14
 Hình học ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
 phẳng
 A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 1. Định nghĩa A
 ▪ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai 
 M N
 cạnh của tam giác.
 M ABïü B C
 laø trung ñieåm cuûa ï P
 ý Þ MN laø ñöôøng trung bình cuûa DABC .
 N laø trung ñieåm cuûa AC ï
 þï
 ▪ Mỗi tam giác có ba đường trung bình.
 2. Tính chất
 ▪ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.
 Theo hình bên, A
 ∥ 
 N
 MN là đường trung bình của 훥 ⇔ = 1 . M
 2
 3. Định lý đường trung bình của tam giác B C
 ▪ Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của 
 một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung A điểm 
 của cạnh thứ ba của tam giác đó.
 훥 M N
 = ( ∈ ) ⇔ = .
 ∥ ( ∈ ) B C
 MN BC PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/14
 nhau như đã học ở lớp 7.
 Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD , CE . Gọi M , N theo thứ tự là 
 trung điểm của BE và CD . Gọi I , K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE . 
 Chứng minh MI = IK = KN .
 Lời giải
 ì
 ï MI PED
 Xét VBED có í Þ ID = IB .
 ï ME = BM
 îï
 ì
 ï NK PED
 Xét VCED có í Þ KE = KC .
 ï NC = ND
 îï
 1 1 1
 Suy ra MI = ED ; NK = ED ; ED = BC .
 2 2 2
 1 1 1 1
 IK = MK - MI = BC - DE = DE - DE = DE .
 2 2 2 2
 Vậy MI = IK = KN .
 Ví dụ 4. Cho tam giác ABC , điểm D , E thuộc AC sao cho AD = DE = EC . Gọi M là 
 trung điểm của BC , I là giao điểm của BD và AM . Chứng minh :
 a) ME PBD ; b) AI = IM .
 Lời giải
 ì
 ï EC = ED
 a) Xét VCBD có í Þ ME PBD .
 ï MC = MB
 îï
 ì
 ï ID PME
 b) Xét VAEM có í Þ IA = IM .
 ï AD = DE
 îï
 Ví dụ 5. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD , CE cắt nhau tại G . Gọi M , N lần 
 lượt là trung điểm BG , CG . Chứng minh tứ giác MNDE có các cặp cạnh đối song song và 
 bằng nhau.
 Lời giải
 ∥ 
 Xét VABC có = 1  (1).
 2
 ∥ 
 Xét VGBC có = 1  (2).
 2 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/14
 Þ Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
 Ví dụ 6. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E , F , G , H theo 
 thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DA . Chứng minh tứ giác HEFG là hình chữ 
 nhật.
 Lời giải
 Xét VABD có EH là đường trung bình.
 1
 EH PBD và EH BD . (1)
 2
 Xét VCBD có FG là đường trung bình.
 1
 FG PBD và FG BD . (2)
 2
 Từ (1) và (2) EFGH là hình bình hành.(3)
 Xét VBAC có EF là đường trung bình.
 EF P AC . 
 Mà AC  BD và BD PFG 
 EF  FG . (4)
 Từ (3) và (4) EFGH là hình chữ nhật.
 Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD có AC BD , gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm các cạnh AB
 , BC , CA , DA . Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.
 Lời giải
 BD
 VABD có EH là đường trung bình nên EH .
 2
 Hoàn toàn tương tự, xét các tam giác BCD , ACD , ABC , ta được
 BD AC AC
 GF ; EF ; GH .
 2 2 2
 Lại có AC BD nên EH EF GF GH .
 Do đó EFGH là hình thoi.
 Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M , N là trung điểm AB , AC . Qua M kẻ 
 đường thẳng song song AC và cắt BC tại P . Chứng minh rằng AMPN là hình vuông.
 Lời giải
 Ta có M là trung điểm của AB , MP P AC MP là đường trung bình 
 của VABC P là trung điểm của BC . PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/14
 Lời giải
 Xét tam giác ABC, có:
 K là trung điểm AB
 I là trung điểm AC
 KI là đường trung bình của tam giác ABC
 1
 KI BC
 2
 1
 Hay 25 .BC
 2
 BC 50 m 
 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
 Bài 1. Cho tam giác MNP , K là trung điểm NP , Q là một điểm nằm trên cạnh MN sao cho 
 NQ = 2QM . Gọi I là giao điểm của PQ và MK . Chứng minh I là trung điểm của MK .
 Lời giải
 Gọi E là trung điểm QN Þ KE PPQ và Q là trung điểm ME .
 Þ IQ là đường trung bình của VMEK Þ I là trung điểm của MK .
 Bài 2. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AM , D là giao điểm của 
 BI và AC .
 1
 a) Chứng minh AD = DC ; b) So sánh độ dài BD và I D .
 2
 Lời giải
 a) Kẻ MN PBD , N Î AC .
 MN là đường trung bình trong VCBD
 Þ N là trung điểm của CD (1) .
 IN là đường trung bình trong VAMN
 Þ D là trung điểm của AN (2) . PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 9/14
 b) Xét VABG , ta có ND là đường trung bình.
 Xét VACG , ta có ME là đường trung bình. Do đó ND PAG , M E PA G . Suy ra ND PME .
 Bài 5. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của 
 AB , AC và AM . Chứng minh rằng
 a) Ba điểm D , E , F thẳng hàng. b) F là trung điểm của DE .
 Lời giải
 a) Xét VABM có DF là đường trung bình nên 
 DF PBM hay DF PBC . (1)
 Xét VABC có DE là đường trung bình nên DE PBC , (2)
 Từ (1) và (2) suy ra D , E , F thẳng hàng.
 1
 b) Chứng minh DE = FE (bằng của hai đoạn thẳng bằng 
 2
 nhau).
 Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm 
 của HA và HC . Chứng minh rằng BM ^ AN .
 Lời giải
 Xét VHAC có MN là đường trung bình nên MN PAC 
 Þ MN ^ AB .
 Xét VBAN có AH và NM là hai đường cao cắt nhau tại M .
 Do đó BM ^ AN.
 Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E , F , G , H lần lượt là 
 trung điểm của AB , BC , CD, DA . Chứng minh:
 a) EFGH là hình thoi. b) AC , BD , EG , FH đồng quy.
 Lời giải
 a) VABC có EF là đường trung bình nên EF P AC và 
 AC
 EF .
 2
 VACD có GH là đường trung bình nên GH P AC và 
 AC
 GH .
 2
 Suy ra EF PGH và EF GH . Do đó EFGH là hình bình hành.
 BD
 Hơn nữa, VABD có EH là đường trung bình nên EH .
 2 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 11/14
 Lời giải
 Vì Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC nên PQ là đường trung bình của tam giác 
 CDE
 1
 QP DE
 2
 DE 2QP 2.1,5 3m
 Vậy chiều dài mái DE bằng 3m
 Bài 10. 
 a/ Giữa 2 điểm A và B là một hồ nước. Biết A, B lần lượt là 
 trung điểm của MC và MD (như hình vẽ). Bạn Mai đi từ C đến 
 D hết 120 bước chân, trung bình mỗi bước chân của Mai đi 
 được 4dm. 
 Hỏi khoảng cách từ A đến B là bao nhiêu mét? 
 Lời giải
 AB là đường trung bình của ΔMCD
 1
 AB = CD = > AB = 60 (bước chân)
 2
 Khoảng cách từ A đến B là: 60 . 4 = 240 ( dm) = 24m.
 b/ Để đo khoảng cách hai điểm B và C bị chắn bởi 1 cái hồ sâu, người ta thực hiện đo như 
 hình 1. Biết khoảng cách giữa hai điểm D và E đo được là 53m. Hỏi B và C cách nhau bao 
 nhiêu m ?
 C
 A B
 E
 45 m
 M N
 A D B
 Hình 1 HìnhO 2
 c/ Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B bị ngăn cách bởi một hồ nước người ta đóng các 
 cọc tại các vị trí A, B, M, N, O như hình 2 và đo được MN 45m . Tính khoảng cách AB biết 
 M, N lần lượt là điểm chính giữa OA và OB. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 13/14
 Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB.
 Nên MN là đường trung bình của tam giác OAB
 1
 MN .AB 
 2
 Suya ra AB = 2. MN = 2. 85 = 170m
 Bài 14. Giữa 2 điểm A và N là một một hồ 
 nước sâu. Để tính khoảng cách giữa 2 điểm A A
 và N, một học sinh đã lấy M làm mốc và lấy H, N
 G lần lượt là trung điểm của MA, MN. 
 a)Chứng minh HG là đường trung bình. H
 G
 b)Hỏi A và N cách nhau bao nhiêu mét. 
 Biết khoảng cách giữa 2 điểm H và G là 
 M
 62m. 
 Lời giải
 Xét AMN ta có:
 H là trung điểm AM(gt)
 G là trung điểm MN(gt) 
 HG là đường trung bình AMN 
 1
 HG AN
 2 
 AN 2HG 2.62 124m
 Vậy AN=124m 
 Bài 15. Người ta xây dựng mô hình như hình dưới để đo bề rộng MN của một cái hồ nước 
 mà không cần phải đo trực tiếp. Em hãy tính xem độ rộng của hồ nước trong hình vẽ là bao 
 nhiêu?
 A
 B C
 40m
 M N
 Lời giải
 Xét AMN, Ta có: 
 B là trung điểm của AM 
 C là trung điểm của AN 
 BC là đường trung bình của AMN