Phiếu bài tập dạy thêm - Chuyên đề: Định lí Pythagore - Toán 8 Kết nối tri thức

 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/14
 ĐỊNH LÍ PYTHAGORE
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định lý Pythagore:
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc 
vuông.
 DABC vuông tại A Þ BC 2 = AB 2 + AC 2 .
 B
2. Định lý Pythagore đảo:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai 
cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
 2 2 2 · 0
DABC có BC = AB + AC Þ BAC = 90
 A C
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Dạng 1: Tính độ dài cạnh của tam giác vuông
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 6 cm, AC 8 cm.
a) Tính độ dài cạnh BC .
b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H . Biết AH 4,8 cm. Tính BH ,CH .
Lời giải
a) VABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có :
 BC 2 AB 2 AC 2 BC 2 62 82 100 BC 100 10 cm.
VABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có :
AB 2 AH 2 BH 2 BH 2 AB 2 AH 2
 BH 2 62 (4,8)2 12,96 BH 12,96 3,6 cm.
Từ đó tính được HC BC BH 10 3, 6 6, 4 cm.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AC 9 cm, BC 15 cm. Trên tia đối của AC lấy điểm D 
sao cho AD 5 cm. Tính độ dài các cạnh A B,BD .
Lời giải
VABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có 
BC 2 AB 2 AC 2 AB 2 BC 2 AC 2
 AB 2 152 92 144 AB 144 12 cm
VABD vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/14
c) Ta có 62 82 100 102 nên tam giác này là tam giác vuông.
Ví dụ 6. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài sau:
a) 20 cm, 12 cm, 16 cm; b) 6 cm, 11 cm, 9 cm.
Lời giải
a) Ta có 122 162 400 202 nên tam giác này vuông.
b) Ta có 62 92 117 112 nên tam giác không vuông.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 6 cm, AC 8 cm. D là một điểm sao cho BD 16 
cm, CD 24 cm. Chứng minh VCBD không thể là tam giác vuông.
Lời giải
Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagore ta có 
BC 2 AB 2 AC 2 62 82 100 BC 100 10 cm
Tam giác CBD không thể là tam giác vuông vì 242 102 162 . 
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Biết AH 6 cm, 
BH 4,5 cm, HC 8 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải
Tam giác ABH vuông tại H nên theo định lý Pythagore ta có 
 225 225
AB 2 AH 2 BH 2 62 (4,5)2 AB 7,5 cm.
 4 4
Tam giác ACH vuông tại H nên theo định lý Pythagore ta có 
AC 2 AH 2 HC 2
AC 2 62 82 100 AC 100 10 cm.
 625
Tam giác ABC có AB 2 AC 2 (7,5)2 102 (12,5)2 BC 2 .
 4
Do đó VABC vuông tại A .
 Dạng 3: Dùng định lý Pythagore giải quyết một số bài toán thực tế liên quan. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/14
b) DDEF cân tại D Þ DF = 3 .EF 2 = DE 2 + DF 2 = 18 Þ EF = 18 
c) DHGK đều Þ GH = GK = HK = 4 
d) DMNP cân tại N
MN 2 + NP 2 = MP 2 Þ 2MN 2 = 32 Þ MN 2 = 16 Þ MN = 4. Vậy MN = NP = 4 
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC , AB 13 cm, AC 15 cm. Kẻ AD  BC(D BC) . Biết BD 5 cm. 
Tính CD .
Lời giải:
Tam giác ABD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có :
 AD 2 AB 2 BD 2 132 52 144 AD 12 cm.
Tam giác ACD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có :
 CD 2 AC 2 AD 2 152 122 81 CD 9 cm.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông cạnh huyền AB 117 cm, BC 6 cm. Gọi K là trung điểm của AC . 
Tính độ dài BK .
Lời giải
Tam giác ABC có cạnh huyền AB nên VABC vuông tại C . Do đó
 9
 AC 2 AB 2 BC 2 117 36 81 AC 9 CK cm.
 2
Tam giác BCK vuông tại C nên 
 81 225
 BK 2 BC 2 CK 2 36 BK 7,5 cm.
 4 4
Bài 4: Cho tam giác ABC , đường cao AH . Biết AC 15 cm, AH 12 cm, BH 9 cm. Hỏi tam giác 
ABC là tam giác gì?
Lời giải:
Tam giác ABH vuông tại H nên theo định lí Py-ta-go ta có 
AB 2 AH 2 BH 2 122 92 225 AB 15 cm.
Do đó AB AC nên VABC cân tại A .
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn, cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Tính độ dài cạnh BC 
biết
a) HA 7 cm, HC 2 cm. 
b) AB 5 cm,HA 4 cm. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/14
Lăng Chủ tich Hồ Chí Minh (Lăng Bác) tại Quảng trường Ba Đình - Hà 
Nội là nơi hội tụ tình cảm, niềm tin của đồng bào và bầu bạn Quốc tế đối 
với Chủ tịch Hồ Chí Minh và đất nước, con người Việt Nam. Ngay từ 
ngày khánh thành công trình Lăng Chủ tịch Hồ Chí Minh (29/8/1975), 
trước Lăng Bác đã có một cột cờ rất cao, trên đỉnh cột cờ luôn tung bay 
lá cờ Tổ quốc Việt Nam. Vào một thời điểm có tia nắng mặt trời chiếu 
xuống ta thường nhìn thấy bóng của cột cờ dưới sân Quảng trường Ba 
Đình, bằng kiến thức hình học người ta đo được chiều dài cái bóng của 
cột cờ này là đoạn BH = 40m và tính được khoảng cách từ đỉnh cột cờ 
đến đỉnh cái bóng của nó là đoạn AB = 50m (như hình vẽ bên). Em hãy 
tính chiều cao của cột cờ trước Lăng Bác (độ dài đoạn AH)? Biết rằng 
cột cờ được dựng vuông góc với mặt đất.
Lời giải:
Xét ABH vuông tại H có : 
AB2 AH 2 BH 2 (Định lí Pythagore)
502 AH 2 402
AH 2 2500 1600 900 (m) .
 AH 900 30 (m). 
Vậy chiều cao cột cờ trước Lăng Bác là 30m.
Bài 8: 
Cho hình vẽ bên. Tính chiều dài của cánh buồm ?
 B
(Làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải:
 C
Xét tam giác ABC vuông tại A A
 BC= 5,42 3,82 ; 6,60 ( định lí Pythagore)
Chiều dài của cánh buồm 6,60 PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 9/14
Bài 11: 
Một cây cao 12m mọc cạnh bờ sông. Trên 
đỉnh cây có một con chim đang đậu và 
chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước 
(như hình 1 và được mô phỏng như hình 2). 
Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất 
bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá? 
(Biết con cá cách gốc cây 5m và nước cao 
mấp mé bờ sông)
Lời giải:
Tam giác ABC vuông tại A, ta có :
BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pythagore)
BC2 = 52+122 = 25 + 144
BC2 = 169
BC = 13cm
Vậy con chim bay được một đoạn bằng 13m thì bắt được con cá . 
Bài 12: Nhà bạn Bình
Nhà bạn An (vị trí A trên hình vẽ) cách nhà bạn 
Châu (vị trí C trên hình vẽ) 600m và cách nhà bạn B
Bình (vị trí B trên hình vẽ) 450m. Biết rằng 3 vị trí: 
nhà An, nhà Bình và nhà Châu là 3 đỉnh của một tam 
giác vuông (xem hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ 450m
 Nhà bạn Châu
nhà Bình đến nhà Châu Nhà bạn An
Lời giải:
 600m
 ABC vuông tại B nên ta có: A C
 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore) 
 BC2 = 4502 + 6002 
 BC2 = 562500
 BC = 750m 
 Khoảng cách từ thành phố B đến trạm phát sóng là 750 m 
Bài 13: 
 Theo quy định của khu phố, mỗi gia đình sử dụng bậc tam cấp di động để dắt xe vào nhà 
 không được lấn chiếm vỉa hè quá 85 cm ra phía vỉa hè. Biết rằng nhà bạn Nam có nền cao 60 
 cm so với vỉa hè và có chiều dài bậc tam cấp là 1 m. Theo em nhà bạn Nam có thực hiện 
 đúng quy định của khu phố không ? Vì sao ? PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 11/14
Xét tam giác ABC vuông tại B.
Áp dụng định lý Pythagore ta có :
AC = BC 2 AB2 (60)2 (100)2 13600 116,62km 
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 1:
T1 = 130000.116,62 = 15160474,93(USD)
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 2:
T2 = 40000.55 + 130000.75 = 11950000 (USD)
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 3:
T3 = 40000.100 + 130000.60 = 11800000 (USD)
Do T1 > T2 > T3 nên phương án 3 là phương án xây dựng đường ống mà tiết kiệm chi phí 
nhất.
Bài 15: 
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ nhà máy C 
trên bờ đến một điểm B trên đất liền. Điểm A đảo cách 
bờ biển ở điểm B là 9km. Giá để xây dựng đường ống từ 
nhà máy trên biển điểm B đến diểm C trên bờ là 
5000USD/km. Khoảng cách từ A đến C là 12km. Em hãy 
tính chi phí làm đường ống từ điểm B tới điểm C của 
công ty trên bằng tiền VND. Biết 1 USD= 23150 VND.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABC vuông 
tại B ta có :
 AC 2 AB2 BC 2
 BC AC 2 AB2 (12)2 (9)2 63(km)
Chi phí làm đường ống từ B tới điểm C của công ty trên bằng tiền VND là : 
 63.5000.23150 918737142,8(VND) PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 13/14
Bài 18: 
 C
Khi xây móng nhà, để kiểm tra xem 2 phần móng có 4cm
 A
vuông góc với nhau hay không, người thợ xây thường 5cm
 3cm
lấy AB = 3cm, AC = 4cm (A là điểm chung của hai 
 B
phần móng nhà hay còn gọi là góc nhà), rồi đo đoạn BC 
nếu BC = 5cm thì hai phần móng đó vuông góc với 
nhau. Hãy giải thích vì sao ? 
Lời giải:
Xét tam giác ABC ta có :
 BC 2 (5)2 25(cm)
 AB2 AC 2 (3)2 (4)2 25(cm) 
 BC 2 AB2 AC 2
Theo định lý Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại A.
Vậy hai phần móng đó vuông góc với nhau
Bài 19:
Trên hình là một khung mái nhà tam giác cân 
tại A, được làm từ các thanh thép bằng cách 
hàn chúng lại với nhau. Biết độ dài cạnh 
AH = 10dm (AH  BC) , độ dài cạnh 
BC = 48dm. Để hoàn thành khung mái nhà 
này người thợ cắt các đoạn thẳng AB; AC; 
ME; MH; NH; NF. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng trên để giúp chú thợ hàn cắt chuẩn kích thước. 
Biết rằng 4 điểm M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB; AC; HB; HC và ME // 
AH // NF.
Lời giải:
 48
Vì H là trung điểm BC BH CH 24dm 
 2
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABH vuông tại H 
AB2 AH 2 BH 2 (10)2 (24)2 676
 AB 676 26dm
 AB AC 26dm (Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A).