Ôn thi Toán vào Lớp 10 - Chuyên đề 14: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

 CHƯƠNG
 Chuyên đề 14. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN.
 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
 Kiến thức cần nhớ
 1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
 Trong hình bên thì: 
 B· EC có đỉnh E nằm bên trong đường tròn (O) gọi là góc có đỉnh ở 
 bên trong đường tròn.
 Định lí: Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa 
 tổng số đo hai cung bị chắn.
 2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
 Trong hình (a,b,c) thì:
 B· EC gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
 Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn. Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính 
giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: MP  NQ .
 Giải
Tìm cách giải. Để chứng minh MP  NQ ta gọi I là giao điểm của MP và NQ và cần chứng minh 
M· IQ 90 . Nhận thấy M· IQ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, do vậy ta cần biểu diễn góc 
M· IQ theo các cung của đường tròn và biến đổi các cung ấy.
Trình bày lời giải
Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Ta có: Gọi số đo cung DE không chứa A là m, số đo cung nhỏ AB của 
đường tròn (O) là n. Xét hai trường hợp:
- Trường hợp C nằm ngoài đường tròn (O). 
Theo tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn ta có: 
 m n
A· CB m 2.A· CB n A· O B A· OB 180 
 2
 DE là đường kính của (O).
- Truờng hợp C nằm trong đường tròn (O).
Xét hai cung AB của (O’), gọi số đo cung nằm ngoài (O) là p, số đo cung còn lại là q. Theo tính chất 
góc có đỉnh nằm trong đường tròn, ta có:
 m n
A· CB m 2.A· CB n . 
 2
Kết hợp với 2.A· CB p 360 q .
Suy ra: m 360 q n 360 q n 
m 360 A· O B A· OB 
 360 180 180 
 DE là đường kính của (O).
Ví dụ 4. Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung 
nhỏ BC. Gọi E là giao điểm của MA và CD, F là giao điểm của MD và AB. Chứng minh rằng: 
a) D· AE ·AFD .
b) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì diện tích tứ giác AEFD không đổi.
 Giải
 sñ A»D sñ C¼M 90 sñC¼M
a) Eµ (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn),
 1 2 2
 sñ A»C sñC¼M 90 sñC¼M
·ADF (góc nội tiếp). 
 2 2
 µ ·
Suy ra: E1 ADF .
 · ¶ µ µ
Mà DAE 180 D1 E1 135 E1 ;
· µ · ·
AFD 180 A1 ADF 135 ADF 
Suy ra D· AE A· FD . 14.6. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O; R biết rằng B· OC 90 . Vẽ đường tròn tâm I đường 
kính BC, cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng: MN R .
14.7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn 
(O) cắt nhau tại M. Biết rằng B· AC 2B· MC . Tính số đo góc B· AC .
14.8. Cho đường tròn O; R có dây AB R 3 ; Trên cung lớn AB lấy dây CD R (C thuộc cung 
BD). Chứng minh rằng AC  BD .
14.9. Từ điểm A ở bên ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia 
phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là tia phân giác góc CBD. 
 HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ
 sñ A»D sñ C¼M
14.1. Xét (O’) có: ·AEB 
 2
(Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn).
 sñ A¼DM sñ A»D sñ M¼D
B· AM 
 2 2
(Góc tại bởi tia tiếp tuyến và dây cung).
Suy ra B· AM A· EB 
 tam giác ABE cân tại B nên BN vừa là đường cao vừa là 
trung tuyến.
 NA NE và OA OB,O A O C 
 NO, NO’ là đường trung bình của tam giác ACE, ABE nên O N / /CE, NO / /EB 
Do đó O, N, O’ thẳng hàng. 
14.2. Số đo mỗi cung nhỏ là 360 : 20 18 
 ¼
+ Số đo cung nhỏ A1A 3 là: sñ A1A3 2.18 36 
 ¼
+ Số đo cung nhỏ A8 A16 là: sñ A8 A16 8.18 144 
Gọi M là giao điểm A1A 3 và A3 A16 
 sñ ¼A A sñ ¼A A 36 144
Ta có A· MA 1 3 8 16 90
 1 3 2 2
Suy ra A1A8 vuông góc với A3 A16 .
14.3. Gọi AB, CB cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F’, E’ 1
A· ME sñ A¶E sñIºF 
 2 
 1 1
 sñ A¶E sñIºE sñ AºI A· DI 
 2 2
b) A· DB A· CB (cùng chắn cung AB của (O) mà A· ME A· DB 
 A· ME A· CB EF / /BC 1 
Lại có IºE IºF KI  EF 2 
Từ (1) và (2) ta có: KI  BC .
14.6. Xét đường tròn (O) có: 
 B· OC
B· AC 45 (hệ quả góc nội tiếp)
 2
 180 sñM¼ N
Xét đường tròn (1) có: B· AC 
 2
(Góc có đỉnh ngoài đường tròn)
 180 sñM¼ N
Hay 45 sñM¼ N 90 M¼IN 90 .
 2
Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: 
 BC2
MN 2 MI 2 NI 2 2.MI 2 BC MN. 2
 2
BC2 BO2 CO2 2R2 BC R. 2 . Suy ra MN R .
14.7. Đặt sñB¼AC x;sñB»C y ta có x y 360 (1)
 sñB»C y
Ta có B¼AC (góc nội tiếp). 
 2 2
 sñB¼AC sñB»C x y
B· MC 
 2 2
(góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
Mà B· AC 2B· MC nên y 2 x y 
Hay 2x 3y 2 
 x y 360 x 216
Từ (1) và (2) suy ra 
 2x 3y y 144