Ôn thi Toán vào 10 - Chuyên đề 21. Quỹ tích (Tìm tập hợp điểm)

 Chuyên đề 21. QUỸ TÍCH (TÌM TẬP HỢP ĐIỂM)
 A. Kiến thức cần nhớ
1. Các quỹ tích cơ bản
Để tìm quỹ tích trong mặt phẳng, người ta thường dựa vào các quỹ tích cơ bản. Một số quỹ tích 
sau đây thường được mọi người thừa nhận là quỹ tích cơ bản:
Quỹ tích 1: Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B cố định là đường trung trực của đoạn 
thẳng AB.
Quỹ tích 2: Quỹ tích những điểm cách đều hai cạnh của một góc là đường phân giác của góc đó.
Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều đường thẳng xy cố định một khoảng a cho trước là hai 
đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng a cho trước.
Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định một khoảng R cho trước là đường tròn 
có tâm là O và bán kính bằng R.
Quỹ tích 5: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc không đổi (
0 180) là hai cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB.
Đặc biệt, nếu 90 thì ta nhận được.
Quỹ tích 5a: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn 
đường kính AB.
2. Các bước giải một bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất  là một hình H nào đó, ta 
phải chứng minh hai phần:
 Phần thuận: Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình H.
 Giới hạn. Xem điểm M chỉ thuộc một phần H1 của hình H hay cả hình H.
 Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H hoặc thuộc phần H1 (nếu có giới hạn) đều có tính chất  .
 Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M có tính chất  là hình H (hoặc thuộc phần H1 ).
 B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn đường kính BC. Một điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba góc 
nhọn và trọng tâm G của tam giác nằm trên nửa đường tròn đó. Tìm quỹ tích điểm A.
 Giải
Tìm cách giải
 Nếu gọi BP, CQ là đường trung tuyến, ta luôn có AP PC và AQ QB . Nếu lấy E đối xứng với 
C qua B thì BP luôn song song với AE, F đối xứng với B qua C thì CQ luôn song song với AF, mà E, CP 1
Ta có AC và PO là hai trung tuyến của ABD , do đó ; lại có A·CB 90 nên nếu dựng 
 AC 3
 BE 1
PE / /CB (với E AB ) thì A·PE 90 và , như vậy E cũng là một điểm cố định và 
 AB 3
A·PE 90 không đổi. Như vậy quỹ tích của điểm P là xác định được.
Trình bày lời giải.
Phần thuận. Nối AD, vì AC và DO là hai trung tuyến của ABD nên P là trọng tâm tam giác, suy 
 CP 1
ra .
 AC 3
 BE 1
Trên đoạn thẳng AB xác định điểm E sao cho thì điểm E là điểm cố định.
 AB 3
 CP BE 1 
Ta có nên PE / /CB (định lý Ta-lét đảo).
 AC AB 3 
 A·PE A·CB A·PE 90.
Mà A; E là hai điểm cố định nên tập hợp điểm P là đường tròn có đường kính AE.
Phần đảo. Lấy điểm P bất kì thuộc đường kính AE. Gọi C là giao điểm thứ hai của tia AP với 
đường tròn (O) . Gọi D là giao điểm của hai tia BC và OP.
Ta có A·CB 90; A·PE 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường 
tròn)
 DP BE
Suy ra BC / /EP .
 DO BO
 BE 1 BE 1 BE 2 DP 2
Mà .
 AB 3 2.BO 3 BO 3 DO 3
 DP 2
 ABD có DO là đường trung tuyến; P là trọng 
 DO 3
tâm ABD AC là đường trung tuyến CD CB .
Kết luận. Vậy quỹ tích điểm P là đường tròn đường kính AE.
Ví dụ 3. Cho đường tròn ( O;R ) và điểm P cố định nằm trong 
đường tròn). Dây cung AB thay đổi luôn đi qua P. Tiếp tuyến 
tại A và B với đường tròn cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích điểm 
M.
 Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy I là giao điểm của AB và MO thì I 
thuộc đường tròn đường kính OP và MI.MO R2 . Do vậy, khai thác yếu tố không đổi này, ta có c) Tìm quỹ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.
 (Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2004 – 2005)
 Giải
a) Gọi K là giao điểm của Ax và GF, I là giao điểm của By và ED.
Ta có: B·EI B·CA 90
E·BI C·BA (góc có các cạnh tương ứng vuông góc) BE BC .
Do đó: BEI BCA BI BA
Mà By cố định, suy ra điểm I cố định.
Tương tự, K cố định.
Vậy khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì đường thẳng ED đi qua điểm I cố định và đường 
thẳng GF đi qua điểm K cố định.
b)  Tìm quỹ tích điểm E.
Phần thuận. Ta có B và I cố định (chứng minh câu a) mà 
B·EI 90 (vì BCDE là hình vuông) suy ra E thuộc nửa 
đường tròn đường kính BI (bên phải By).
Phần đảo. Lấy điểm E bất kì thuộc nửa đường tròn đường 
kính BI (bên phải By). Trên tia EI lấy điểm D sao cho ED BE .
Dựng hình vuông BEDC BC BE .
Ta có A·BC E·BD 90 C·BI ; BA BI (chứng minh câu a)
 ABC IBE (c.g.c) A·CB I·EB 90
 C thuộc nửa đường tròn đường kính AB.
Kết luận. Vậy quỹ tích các điểm E là nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By).
 Tìm quỹ tích điểm G.
Phần thuận. Ta có A và K cố định (chứng minh câu a) mà ·AGK 90 (vì ACFG là hình vuông) suy 
ra G thuộc nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax).
Phần đảo. Lấy điểm G bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax). Trên tia GK lấy 
điểm F sao cho GA GF .
Dựng hình vuông AGFC AC AG .
Ta có B·AC K·AG 90 C·AK ; BA KA (chứng minh câu a)
 ABC AKG (c.g.c) A·CB ·AGK 90 21.3. Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS. OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông 
góc với nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đưnòg thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By 
song song với đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By.
 (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên tỉnh Phú Yên, năm học 2009 – 2010)
21.4. Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn 
BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD AC . Gọi M là trung điểm của CD. Hỏi M di 
chuyển trên đường nào? Nêu cách dựng đường này và giới hạn của nó.
 (Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2007 – 2008)
21.5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm M chuyển động trên đường tròn đó. Gọi H là 
hình chiếu của điểm M trên AB. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác OMH.
21.6. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy. Dựng 
hình vuông ABCD nằm trong góc xOy. Tìm tập hợp giao điểm I hai đường chéo của hình vuông 
này.
21.7. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng d. Vẽ các nửa đường tròn đường kính 
AB, AC thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d. Một điểm H chuyển động trên 
đoạn AB. Đường thẳng vuông góc với d ở H cắt cả hai nửa đường tròn nói trên lần lượt ở D và E. 
Gọi M là giao điểm hai đường thẳng DB và EC. Tìm quỹ tích điểm M.
21.8. Cho đường tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB AC nội tiếp đường tròn (O; R) . Kẻ 
đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Gọi Mx là tia đối của tia MC. Trên tia 
đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD MC .
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc BMx.
b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O) . Tứ giác MIKD là hình gì? Vì 
sao?
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G 
luôn nằm trên một đường tròn cố định.
21.9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. M 
là điểm chuyển động trên cung BC. Gọi N là giao điểm của AM và OC. Gọi I là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác CMB. Tìm tập hợp điểm I.
 HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 1
Phần đảo. Lấy G thuộc đường tròn tâm O bán kính R qua 
 3
O kẻ đường thẳng song song với O G cắt đường thẳng MG 
tại C . Ta có: 
O G MO O G 1
 OC 3.O G R C (O) .
OC MO OC 3
Kết luận. Vậy tập hợp các trọng tâm G của tam giác ABC là 
 1
đường tròn tâm O bán kính R .
 3
21.3. Kí hiệu như hình vẽ.
Phần thuận. Ta có ·AOB ·AMB 90 (giả thiết)
 tứ giác AOBM luôn nội tiếp
 A·MO ·ABO 45 (vì AOB vuông cân tại O)
Suy ra M luôn nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với đường PQ một góc 45.
Trường hợp B ở vị trí B thì M nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với PS một góc 45.
Giới hạn.
*) Khi A  H thì M  Q , khi A  K thì M  S
*) Trường hợp B ở vị trí B : khi A  H thì M  P , khi A  K thì M  R .
Phần đảo. Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M trên PR), qua M kẻ đường thẳng song song 
với đường thẳng PQ cắt (O) tại A.
Kẻ bán kính OB  OA.
Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì A·MO ·ABO 45 ).
Suy ra: ·AMB ·AOB 90.
Mà AM / /PQ, PQ  PS MB / /PS .
Kết luận. Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông PQRS.
21.4. Tam giác ACD cân tại A nên B·AC 2·ADC (Góc BAC là góc ngoài của tam giác ACD)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI / /BD (đường trung bình của tam giác BCD); nên 
 1 1 
I·MC B·DC B·AC B·OC ( B·OC không đổi).
 2 4 4 Do đó I·OA 45 nên OI là tia phân giác của góc AOB.
Vậy điểm I chạy trên tia phân giác của góc xOy.
Giới hạn. Vẽ hình vuông AOC1D1 nằm trong góc xOy.
Vì điểm B chỉ chạy trên tia phân Ox nên khi B trùng với O thì C trùng với C1 , khi đó I trùng với I1 
là giao điểm của OD1 với AC1 .
Phần đảo. Lấy điểm I thuộc tia I1t . Nối AI .
Trên nửa mặt phẳng bờ AI chứa điểm O, vẽ tia AB ( B thuộc Ox) sao cho I· AB 45 .
Gọi C , D lần lượt là các điểm đối xứng của A và B qua I . Chỉ cần chứng minh rằng I là giao 
điểm hai đường chéo của hình vuông AB C D .
Kết luận. Tập hợp các điểm I là tia I1t thuộc tia phân giác Ot của góc xOy.
21.7. Phần thuận. Đặt AB 2R, AC 2R thì R. R là các độ dài không đổi. 
Trong tam giác vuông ADB và AEC, ta có:
AD2 AB.AH 2R.AH; AE 2 AC.AH 2R .AH
Từ đó suy ra AD.AE 2AH. RR .
Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn vì ·ADM ·AEM 180 .
Suy ra A·MD ·AED .
Từ đó DAM : HAE (g.g).
 AD AM
Ta có: .
 AH AE
Suy ra AM.AH AD.AE 2AH RR 
 AM 2 RR không đổi.
Từ đó điểm M chạy trên đường tròn tâm A bán kính RR .
Giới hạn. Vì H chuyển động trên đoạn AB nên:
- Khi H trùng với A thì D trùng với A, khi đó M trùng 
với M1 như hình vẽ.
Khi H trùng với B thì M trùng với M 2 như hình vẽ.
Vậy nên H chạy trên cung M1M 2 .
Phần đảo. Lấy điểm M thuộc cung M1M 2 . Các tia M B 
và CM; cắt các nửa đường tròn đường kính AB, AC lần 
lượt ở D , E . Các bạn có thể tự chứng minh D E vuông góc với AB.