Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 9: Hệ phương trình

 CHUYÊN ĐỀ 9:
 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1. Phương pháp thế
B1: Từ 1 phương trình nào đó ta rút 1 ẩn và biểu diễn ẩn còn lại (thường rút ẩn có hệ số 
nhỏ nhất)
B2: Thế biểu thức đó vào phương trình còn lại để được 1 phương trình một ẩn
B3: Giải phương trình thu được
B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các phương trình để tìm ẩn còn lại và kết luận.
 2. Phương pháp cộng đại số
B1: Nhân cả 2 vế của phương trình với các số thích hợp (nếu cần) để được hệ số của cùng 
1 ẩn ở hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
B2: Cộng (nếu 2 hệ số đối nhau) hoặc trừ (nếu 2 hệ số bằng nhau) từng vế của 2 phương 
trình để được 1 phương trình một ẩn
B3: Giải phương trình thu được
B4: Thay ẩn vừa tìm được vào một trong các phương trình để tìm ẩn còn lại và kết luận
 3. Đặt ẩn phụ: Khi ở các phương trình có những nhóm giống nhau thì ta chọn làm ẩn 
 phụ
 4. Dùng bất đẳng thức: Dùng BĐT để lập luận trường hợp xảy ra dấu bằng
 n
 - BĐT Cô si: a b 2 ab;a1 a2 ...... an n a1a2.....an (dấu bằng xảy ra khi các 
 số bằng nhau).
 - BĐT Bunhiacopxki 
 2 2 2 2 2 2 2
 a1x1 a2 x2 ...... an xn a1 a2 ...... an x1 x2 ...... xn 
 Dấu bằng xảy ra khi 2 bộ số tương ứng tỉ lệ
 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 1. Hệ đối xứng loại 1
 -Nhận dạng: Là hệ phương trình mà nếu mỗi cặp số x; y là một nghiệm thì 
 y; x cũng là nghiệm (vai trò x và y là như nhau ở các phương trình)
 -Phương pháp giải:Đặt x y S; xy P. Giải hệ phương trình với S và P sau đó 
 tìm x, y nhờ phương trình: X 2 SX P 0 
 2. Hệ đối xứng loại 2
- Nhận dạng: Cũng như loại I, loại II cũng đối xứng nhưng là đối xứng giữa 2 phương 
trình chứ không phải đối xứng trong từng phương trình như kiểu I.
Một cách nhận dạng khác nữa là cho x y thì 2 phương trình của hệ như nhau. Hay nói 
cách khác x y là nghiệm của hệ. Đây chính là đặc điểm khai thác của hệ này. b
+Nếu a 0 thì 1 x . Thay vào biểu thức của x ta tìm y , lúc đó hệ phương trình 
 a
có nghiệm duy nhất.
 mx y 2m (1)
Ví dụ:Giải và biện luận hệ phương trình : 
 4x my m 6 (2)
Giải: Từ (1) y mx 2m, thay vào (2) ta được:
 4x m mx 2m m 6 m2 4 x 2m 3 m 2 (3) 
 2m 3 m 2 2m 3
Nếu m2 4 0 hay m 2 thì x 
 m2 4 m 2
 m 2m 3 m 
Khi đó y . Hệ có nghiệm duy nhất ; 
 m 2 m 2 m 2 
Nếu m 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y mx 2m 2x 4 
Hệ có vô số nghiệm x,2x 4 với mọi x ¡ 
Nếu m 2 thì (3) trở thành 0x 4 hệ vô nghiệm.
Vậy : 
 2m 3 m 
Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất x; y ; 
 m 2 m 2 
Nếu m 2 thì hệ có vô số nghiệm x,2x 4 với mọi x ¡ 
Nếu m 2 thì hệ vô nghiệm .
 IV. Dạng 4. Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
 *Phương pháp giải:
- Giải hệ phương trình theo tham số
 k
- Viết x, y của hệ về dạng : n với n,k nguyên
 f m 
- Tìm m nguyên để f (m) là ước của k 
Ví dụ 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
 mx 2y m 1
 2x my 2m 1
 mx 2y m 1 2mx 4y 2m 2
 2 2
 2x my 2m 1 2mx m y 2m m
 2 2
 m 4 y 2m 3m 2 m 2 2m 1 
 2x my 2m 1
Để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 4 0 hay m 2 x 2y m 3
Cho hệ phương trình (1) (m là tham số)
 2x 3y m
 a) Giải hệ phương trình (1) khi m 1
 b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm x; y sao cho P 98 x2 y2 4m đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 03.
 1 1
 x y 3
 x y
Giải hệ phương trình 
 2 1 2 1
 x 2 y 2 5
 x y
Bài 04.
 x y z
Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: 3 3 2
 x y z
Bài 05.
 Giải hệ phương trình
 8
 2 3x 
 y3
 6
 x3 2 
 y
Bài 06.
 1 1
 x y 4 0
 x y
Giải hệ phương trình : 
 1 x y
 xy - 4 = 0
 xy y x
Bài 07.
 1 x 2 2
 x xy 2y (1)
 y
Giải hệ phương trình x
 x 3 y 1 x2 3x 3(2)
Bài 08.
 2 1
 4x x 1
Giải hệ phương trình: y
 2 2
 y y xy 4
Bài 09. 5m 9 2 m 6 2 
 P 98. 4m
 49 49 
 2(26m2 102m 117) 4m
 52m2 208m 234
 52 m2 4m 4 234 52.2
 52 m 2 2 26 26
 MinP 26
Dấu “=” xảy ra m 2 0 m 2
Vậy m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 03.
Điều kiện : x; y 0 . Ta có:
 1 1
 1 1 x y 3
 x y 3 
 x y x y
 2 2 (I)
 2 1 2 1 1 1 
 x y 5 x y 5
 2 2 
 x y x y 
 1 1
Đặt a x; b y với a2 4
 x y
Thay vào hệ (I) ta có:
 a 2
 2 2 
 a b 5 2 b 1
 a b 2ab 5 9 2ab 5 ab 2 
 a b 3 a 1
 b 2
 2 a 2
Mà a 4 nên 
 b 1
 1
 x 2 x 1 (tm)
 x x2 2x 1 0
 2 1 5
 1 y y 1 0 y (tm)
 y 1 2
 y
 1 5 1 5 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là 1; ; 1; 
 2 2 
Bài 04.
 Ta có: x3 y3 (x y)2 (x y)(x2 xy y2 x y) 0 Giải ra được : u 2; v 2 .
 Giải ra được : x = 1 ; y = 1. Hệ đã cho có nghiệm : (x ; y) = ( 1 ; 1).
Bài 07.
 1 x 2 2
 x xy 2y (1)
 y
 x
 x 3 y 1 x2 3x 3(2)
 x 0
 y 0 x 0
Điều kiện: 
 x 3 0 y 0
 2
 x 3x 0
 y x 1 1
 (1) (x y)(x 2y) (x y) x 2y 0 x y do x 2y 0,x, y 0 
 y x y x y x
Thay y = x vào phương trình (2) ta được:
 3
 ( x 3 x)(1 x2 3x) 3 1 x2 3x 
 x 3 x
 1 x2 3x x 3 x x 3. x x 3 x 1 0
 ( x 1 1)( x 1) 0
 x 3 1 x 2(L)
 x y 1
 x 1 x 1(tm)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;1)
Bài 08.
Giải hệ phương trình
 2 1
 4x x 1 (1)
 y
 2 2
 y y xy 4 (2)
 1 4
Nếu y = 0 thì (2) vô lí nên y 0 vậy (2) 1 x 
 y y2
 1
Đặt b ta có hệ
 y
 4x2 x b 1 (1')
 2
 4b b x 1 (2')
Lấy ( 1’) – ( 2’) ta có (x-b) (2x+2b-1) = 0 m 1 0 m 1
 m 1 0 m 1
Vậy phương trình có nghiệm khi m 1 và m 1
 (m 1)x (m 1)y 4m m 1
Giải hệ phương trình khi 
 x (m 2)y 2 m 1
 4m 4m 2
 4m x y x 
 (m 1)x (m 1)y 4m x y m 1 m 1
 m 1 .
 x (m 2)y 2 2 2
 x (m 2)y 2 y y 
 m 1 m 1
 4m 2 2 
 Vậy hệ có nghiệm (x; y) với ; 
 m 1 m 1 b) Giải hệ phương trình trên.
 2 2 2 2
 x y x y 144
Bài 20. Giải hệ phương trình: * 
 2 2 2 2
 x y x y y
Đáp án từ bài 11 đến 20.
Bài 11.
 2
 5 3y 5 3y 2
Từ (1) ta có x thế vào (2) ta được 3 y 2y 4 0 
 2 2 
 59
 3 25 30y 9y2 4y2 8y 16 0 23y2 82y 59 0 y 1, y 
 23
 31 59 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1;1 ; ;  
 23 23 
Bài 12.
Điều kiện xy 0 
 3x2 y y2 2 (1)
Hệ . Trừ vế hai phương trình ta được:
 2 2
 3y x x 2 (2)
 2 2 2 2 x y 0
 3x y 3xy y x 3xy x y x y x y 0 
 3xy x y 0
TH1: x y 0 y x thế vào (1) ta được: 3x3 x2 2 0 x 1 
 y2 2 x2 2
TH2: 3xy x y 0 . Từ 3y y 0,3x x 0 
 x2 y2
 3xy x y 0 nên TH2 không xảy ra.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;1 
Bài 13.
 1 1
Điều kiện: x , y 
 2 2
 1 1 1 1
Trừ theo vế hai phương trình ta được 2 2 0 
 x y y x