Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 7: Góc với đường tròn

 CHUYÊN ĐỀ 7:
 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Góc ở tâm. Số đo cung
a) Định nghĩa góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm
b) Số đo cung: 
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung 
lớn)
- Số đo của nửa đường tròn bằng 1800. 
c) Tính chất của số đo cung: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì 
 sd »AB sd »AC sdC»B 
2. Liên hệ giữa cung và dây
a) Định lý 1: Với 2 cung nhỏ trong một đường tròn hay trong 2 đường tròn bằng nhau:
- 2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau
- 2 dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau
b) Định lý 2: Với 2 cung nhỏ trong một đường tròn hay trong 2 đường tròn bằng nhau:
- Cung lớn hơn căng hai dây lớn hơn
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
3. Góc nội tiếp
a) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và 2 cạnh chứa 2 cung của 
đường tròn đó. Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn.
b) Định lý: Trong 1 đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
c) Các hệ quả: Trong 1 đường tròn:
- các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
-góc nội tiếp (nhỏ hơn 90 0 có só đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn 1 cung
- góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Định nghĩa: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm,một cạnh là 
tiếp tuyến và cạnh còn lại chứa dây cung.
b) Định lý: Sđ của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
c) Định lý đảo: Nếu B· Ax có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB, có số 
đo bằng nửa sđ cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một 
tia tiếp tuyến của đường tròn
d) hệ quả: Trong 1 đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng 
chắn 1 cung thì bằng nhau.
5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
a) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
- Định lý: sd của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng tổng sđ 2 cung bị chắn
b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn E a) Ta có: 
 T 1 1
 ·AEB »AB C»D 1800 600 600 
 2 2
 C 1 D 1 1
 2 B· TC B· AC B· DC »AB »AC C»D D»B 
 2 2 
 1
 A B 1800 600 600 600 600
 O 2
 Do đó ·AEB B· TC 
 1
 b) Ta có: Cµ C»D 300 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
 1 2
 1
 C¶ D»B 300 (góc nội tiếp) Cµ C¶ . Do đó CD là phân giác của B· CT 
 2 2 1 2
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt 
đường tròn ở M
 a) CMR: OM vuông góc với BC
 b) Phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt (O) ở N. CMR ba điểm M, 
 O, N thẳng hàng
 c) Gọi K là giao điểm của NA và BC, I là trung điểm của KD.CMR: IA là tiếp tuyến của 
 đường tròn (O)
Giải:
 x
 N
 A 4
 2 3
 1
 O
 C
 B D H
 K I
 M
 µ µ ¼ ¼
 a) Ta có: A1 A2 BM CM BM CM ·ADB 900 (góc nôi tiếp chắn nửa đường tròn) AD  BD 
 AE  BC 
Xét tam giác EAB, ta có: BE  AD  H là trực tâm của tam giác EAB EH  AB 
 AD  BC H 
 ¶ µ µ ¶ µ
 b) Ta có : H2 B (cùng phụ F1);D2 B( cùng chắn cung AD)
 ¶ ¶
 H2 D2 IHD cân tại I IH ID (1) 
 Eµ Bµ 900 
 1 
 µ ¶ 0 µ µ
Mặt khác D1 D2 90  E1 D1 IED cân tại I ID IE (2) 
 Bµ D¶
 2  
Từ (1) và (2) suy ra IH IE I là trung điểm của EH.
Bài 5. Cho (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O), (C, 
D là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O, A nằm giữa M và B. Tia phân 
giác của góc ACB cắt AB ở E
 a) CMR: MC ME 
 b) DE là phân giác của ·ADB 
 c) Gọi I là trung điểm của AB. CMR 5 điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn
d) CMR: M là phân giác của C· ID 
Giải:
 C
 M
 O
 E A
 1 I
 B D
 a) Ta có: B· CE ·ACE(gt) ; C· BA M· CA (cùng chắn cung AC)
 B· CE C· BA ·ACE M· CA hay B· CE C· BA M· CE (1) 
Mặt khác : B· CE C· BA C· EM (tính chất góc ngoài của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) M· CE C· EM MCE cân tại M MC ME a) Ta có: BC vuông góc với AD (gt) (1)
 Mà ·ADE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) DE  AB (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra BC / /DE (cùng vuông góc với AD)
 b) Hình thang cân = hình thang+2 đáy ở 1 góc bằng nhau(hoặc 2 đường chéo bằng nhau)
 Do BC / /DE BCDE là hình thang (1)
 Lại có: BC / /DE sd B»D sdC»E (2 cung bị chắn giữa hia dây song song thì bằng 
 nhau)
 sd B»D sd D»E sdC»E sd D»E sd B»E sdC»D BE CD (liên hệ giữa cung và dây) 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCED là hình thang cân.
 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
ĐỀ BÀI TỪ BÀI 001 ĐẾN BÀI 010
Bài 1.Cho đường tròn (O) nội tiếp ABC µA Bµ Cµ 
 a) Gọi I, J,K lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O) với các cạnh BC,CA, AB
 So sánh các góc ở tâm I·OJ, J·OK,K· OI
 µA
 b) Chứng minh rằng với đỉnh A thì B· OC 900 , tìm các hệ thức tương tự với đỉnh 
 2
 B,C.
Bài 2.Từ một điểm T ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến TP, (P là tiếp điểm) và cát tuyến 
TBA đi qua tâm O của đường tròn (B, A thuộc đường tròn, B nằm giữa O và T)
Chứng minh B· TP 2B· PT 900
Bài 3.Cho ABC, vẽ hai đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau ở điểm thứ hai D
 a) Chứng minh rằng ba điểm B,C,D thẳng hàng.
 b) Đường thẳng AC cắt đường tròn đường kính AB tại E và đường thẳng AB cắt đường 
 tròn đường kính AC tại F. Chứng minh ba đường thẳng AD,BE,CF đồng quy.
Bài 4. Cho ABC có ba đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H
 a) Chứng minh tứ giác AEHF,BFEC nội tiếp đường tròn. Kể tên các tứ giác có thể nội 
 tiếp đường tròn trong hình vẽ của bạn
 b) Chứng minh các tam giác ABC, AEF,DEC,BFD đồng dạng
 c) Chứng minh rằng HA.HD HB.HE HC.HF
 d) Gọi G là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh ABGC là tứ giác nội tiếp được.
Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H 
khác A và O). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. 
Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D 
cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC.
 1. Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn.
 2. Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân.
 3. Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không 
 đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C).
Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt 
nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D. Bài 8. Cho đường tròn O , từ một điểm M nằm ngoài đường tròn O kẻ hai tiếp tuyến MA 
và MB của đường tròn ( A, B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính BE của đường tròn O . Gọi 
 F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn O . Đường thẳng AF cắt MO 
tại điểm N. Gọi H là giao điểm của MO và AB. 
 1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
 2. Chứng minh AE//MO. 
 3. Chứng minh MN 2 NF.NA. 
 4. Chứng minh MN NH. 
Bài 9.
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc đường tròn (A 
khác B và C). Đường phân giác B· AC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại M.
 1. Chứng minh MB MC và OM vuông góc với BC.
 2. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC. Tứ giác AEDF là hình gì?
 3. Cho ·ABC 600 . Tính diện tích tam giác MDC theo R. 
Bài 10. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia AB lấy C nằm ngoài đoạn thẳng AB. 
Vẽ 2 tiếp tuyến CE và CF với đường tròn tâm O và cát tuyến CMN (M nằm giữa C và N). EF 
cắt AB tại I. Chứng minh:
 a) CM.CN CO 2 R 2
 b) Bốn điểm O,I,M,N cùng thuộc một đường tròn.
 c) ·AIM B· IN O A
 T B
 P
Vì TP là tiếp tuyến với đường tròn (O) nên B· OP 2B· PT
Do OP  TP nên T· PO 900 B· TP T· OP 900 B· TP 2B· PT 900
Bài 3.
 A
 E
 F
 B
 D C
 a) Do AB là đường kính nên ·ADB 900
 Do AC là đường kính nên ·ADC 900
 B· DC B· DA ·ADC 1800 hay B,C,D thẳng hàng
 b) Do AB là đường kính nên ·ABE 900 BE  AC
 Tương tự CF  AB mà AD  BC chứng tỏ AD, BE, CF đồng quy.
Bài 4.