Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 5: Cực trị hình học

 CHUYÊN ĐỀ 5:
 CỰC TRỊ HÌNH HỌC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Định nghĩa: Các bài toán về cực trị hình học là các bài toán có liên quan tới giá trị 
 lớn nhất (Max) hoặc giá trị nhỏ nhất (Min) của một đại lượng hình học biên thiên nào 
 đó.
 Các cách trình bày bài giải:
 1) Chỉ ra một vị trí của hình rồi chứng minh rằng ở đó hình có đại lượng cần tìm đạt 
 cực trị 
 2) Thay một đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác tương ứng (nếu 
 được) rồi từ đó dùng kiến thức tìm GTNN và GTLN của A với A là đại lượng nào 
 đó
 a) Ta chứng minh được A m (m không đổi) có một hình sao cho A m thì giá 
 trị nhỏ nhất của a là m
 b) Ta chứng minh được A n (n không đổi) có một hình sao cho A n thì GTLN 
 của A là n
 3) Thay việc tìm cực đại của một đại lượng này bằng việc tìm cực tiểu của một đại 
 lượng khác và ngược lại
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu
 a)
 B
 A C
 ABC vuông tại A nên AB BC. Dấu " " xảy ra A  C 
 b) b) OH,OK là các khoảng cách từ tâm 
 A H B đến dây AB,CD 
 AB CD OH OK 
 C O
 K
 D
 c) AB,CD là các cung nhỏ của (O):
 C AB CD ·AOB C· OD 
 D
 O
 A B
 d) AB,CD LÀ CÁC CUNG NHỎ CỦA 
 C D (O) :AB CD »AB C»D 
 O B
 A
Dạng 4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai
Các bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng:
 A2 0; A2 0 
Do đó với m là hằng số, ta có:
 f A2 m min f m A 0
 f A2 m m;max f m A 0
Dạng 5. Sử dụng bất đẳng thức Cosi
 x y
Với x 0, y 0, ta có: xy . dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y 
 2 • Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có: AB AC BC 
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC
 • Với n điểm A1, A2 ,......, An ta có:
 A1A2 A2 A3 ..... An 1An A1An 
Dấu bằng xảy ra khi A1, A2 ,......, An thẳng hàng
 Dạng 8. Vận dụng các bài toán cực trị đại số
Các bài toán cực trị đại số thường áp dụng
 • A2 B2 0 với moi giá trị của các biểu thức A và B, dấu " " xảy ra A B 
 Tổng quát tổng các bình phương của các biểu thức thì không âm, tổng đó bằng 0 khi 
 và chỉ khi giá trị của từng biểu thức bằng 0
 • Với a,b là hai số không âm ta có a b 2 ab, dấu " " xảy ra a b 
 • Với a,b là hai số bất kỳ ta có a b 2 4ab, dấu " " xảy ra a b 
 1
 • Với k là số không âm ta có k 2, dấu " " xảy ra k 1 
 k A
 M
 D
 B C
 N
 d
 1 1
 SBAD SCAD SABC AD.BM AD.CN S
 2 2 
 2S
 BM CN 
 AD
 2S
Do đó BM CN nhỏ nhất nhỏ nhất AD lớn nhất.
 AD
Giả sử AC AB thì trong hai đường xiên AD, AC, đường xiên AD có hình chiếu nhỏ 
hơn do đó AD AC không đổi
Vậy AD AC D  C 
Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong 2 cạnh AB, AC
Ví dụ 3. Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M có tổng khoảng cách tới bốn đỉnh của tứ giác 
là nhỏ nhất.
 B Với 3 điểm A,C,M bất kỳ ta có:
 MA MC AC, dấu " " xảy ra khi và chỉ khi M đoạn 
 A
 AC.
 M Tương tự MB MD BD, dấu " " xảy ra M BD 
 MA MB MC MD AC BD 
 D
 C Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi M AB  CD. 
 Vậy min(MA MB MC MD) AC BD M  M 0 y
 B
 b
 H 2 M
 a
 3 1 x
 O
 K A
Vẽ MH / /OA,MK / /OB thì SOHMK không đổi .
Đặt SOHMK S3,SAMK S1,SMHB S 
Đặt MA a,MB b 
 S S S
Ta có: S S S S 3 1 2 
 3 1 2 S S
 2 2
 S1 a S2 b 
Các tam giác AKM ,MHB, AOB đồng dạng nên: , 
 S a b S a b 
 2 2 2
 S3 a b 2ab S a b 
 1 2 2 2 
 S a b a b S3 2ab
(áp dụng bất đẳng thức a b 2 4ab, xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b) 
Vậy S 2S3, do đó diện tích AOB nhỏ nhất khi và chỉ khi a b,khi đó M là trung điểm 
của AB suy ra B đối xứng với O qua H.
 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
Bài 1. Qua đỉnh A của tam giác ABC, dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ 
các đỉnh B và C tới d là lớn nhất 
Bài 2. Cho một điểm P cố định nằm ngoài một tam giác đều ABC sao cho PA 3;PB 2. 
Hãy xác định độ dài lớn nhất có thể được của đoạn PC và dựng tam giác đều ABC như thế
Bài 3. Cho hình vuông ABCD. Hãy nội tiếp hình vuông đó một hình vuông có diện tích 
nhỏ nhất.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD.Điểm M nằm trên đường chéo AC. Hạ ME  AB tại E, 
 MF  BC tại F.Tìm vị trí của M để diện tích DEF lớn nhất.
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a, b,c tương ứng đường cao AH h. Hãy 
dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất. 
Biết M AB, N AC,P,Q BC. 1 
 2. AH.BC 
 2
 BB' CC ' BC(1) 
 AH
Trường hợp 2. Đường thẳng d không cắt BC.
 B'
 A M' C' d
 C
 B E
Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MM '  d. Tứ giác BB'CC ' là hình thang nhận MM’ làm 
đường trung bình nên BB' CC ' 2MM ' mà MM ' AM (đường vuông góc và đường xiên 
kẻ từ M tới d), do đó BB' CC ' lớn nhất khi M '  A lúc đó BB' CC ' 2AM và d  AM 
tại A (2)
Như vậy, ứng với 2 trường hợp ta được 2 kết quả (1) và (2), do đó ta hãy so sán BC và 2AM. 
 A
 A'
 B M C
 BC
Trên tia MA lấy điểm A' sao cho MA' MB MC , dễ thấy BA'C 900 
 2
 BC
Nếu MA A  A' B· AC B· A'C 900 
 2
 BC
Nếu MA thì A' nằm giữa M và A khi đó BA'M là góc ngoài của BAA' nên 
 2
 B· AM B· A'M . Tương tự: C· AM C· A'M µA 900 Bài 3.
 A E K B
 H
 F
 D G C
Gọi EFGH là hình vuông nội tiếp trong hình vuông ABCD. Tâm của hai hình này phải 
trùng nhau tại một điểm O.
 EG.FH 2OE.2OE
Ta có S 2OE 2 
 EFGH 2 2
Như vậy S nhỏ nhất OE nhỏ nhất
Gọi K là trung điểm AB, ta có: OE OK (hằng số); OE OK E trùng K
Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi E,F,G,H là các trung điểm các cạnh của hình vuông 
ABCD. S max x h x 
 MNPQ max
 h
 x h x h không đổi nên x h x lớn nhất x h x x 
 2
Khi đó MN là đường trung bình của ABC. 
Bài 6.
 A E K B
 F
 O
 H
 D G C
Giải:
 HAE EBF FCG GHD HE EF FG GH EFGH là hình thoi
 = 퐹⇒ + = 900 퐹 + = 900⇒ 퐹 = 900 EFGH là hình 
vuông.
Gọi O là giao điểm của AC và EG. Tứ giác AECG có AE CG,AE/ / CG nên là hình bình 
hành suy ra O là trung điểm của AC,EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và 
 EFGH 
 HOE vuông cân : HE 2 2OE 2 HE OE 2 
Chu vi EFGH 4HE 4 2OE. Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất
Kẻ OK  AB OE OK(OK không đổi)
 OE OK E  K , do đó minOE OK 
Như vậy chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của 
 AB,BC,CD,DA. 
Bài 7. Bài 8.
 D F
 H
 C
 E
 B
 A O
Kẻ OH  CD, ta tính được 
 1
 OH 4cm,S AE BF .EF OH.EF OH.AB 4.10 40 
 ABFE 2
 2
Vậy max SABEF 40cm EF / / AB OH  AB 
Bài 9.
 A
 B
 m
 D n C
Đặt CM m,CN n,MN x m n x 2CD 2a và m2 n2 x2 
 2
 m n 2
Do đó : x2 m2 n2 2x2 2a x x 2 2a x 
 2
 2a
 x 2a 2 1 
 2 1 Bài 14.Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm vị trí của điểm M thuộc đường tròn (O) ngoại 
tiếp tam giác ABC,sao cho nếu gọi D,E theo thứ tự là hình chiếu của M trên các đường 
thẳng AB, AC thì DE có độ dài lớn nhất 
Bài 15.Cho đường tròn (O) và dây AB. Điểm M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi I, K theo 
thứ tự là hình chiếu của M trên các tiếp tuyến tại A, tại B của đường tròn. Tìm vị trí của M 
để tích MI. MK có giá trị lớn nhất 
Bài 16.Cho đường tròn (O) và dây BC không đi qua O. Điểm A di chuyển trên đường tròn 
(O) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Tìm vị 
trí của điểm A để tổng HA HB HC có giá trị lớn nhất.
Bài 17.Cho đường tròn (O) và dây AB.Tìm điểm C thuộc cung nhỏ AB sao cho tổng 
 1 1
 có giá trị nhỏ nhất.
 CA CB
Bài 18.Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc cung BC sao 
cho nếu gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB,BC, AC thì tổng 
 MA MB MC MH MI MK có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Bài 19.Cho điểm I nằm trên đoạn thẳng AB IA IB .Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ 
AB vẽ nửa đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến Ax,By.Điểm M di chuyển trên 
nửa đường tròn đó. Đường vuông góc với IM tại M cắt Ax,By theo thứ tự tại D, E
 a) Chứng minh rằng tích AD.BE có giá trị không đổi
 b) Tìm vị trí của M để hình thang ADBE có diện tích nhỏ nhất 
Bài 20.Cho đường tròn (O;R). Dựng đường tròn (O’;R’) sao cho tâm O nằm trên đường 
tròn O';R' . Dây cung AB của (O;R) di động và tiếp xúc với (O';R'). Gọi C là tiếp điểm 
.Xác định vị trí của dây cung AB để tổng S AC 2 BC 2 đạt giá trị lớn nhất. Tính giastrij 
lớn nhất đó theo R và R’
ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20
Bài 11.