Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 4: Căn thức số, căn thức chứa chữ (Phần 1)

 CHUYÊN ĐỀ 4:
 CĂN THỨC SỐ - CĂN THỨC CHỨA CHỮ
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 • Điều kiện để căn thức có nghĩa : A có nghĩa khi A 0
 • Các công thức biến đổi căn thức :
 a. A2 A b. AB A. B A 0;B 0 
 A A
 c. A 0;B 0 d. A2B A B B 0 
 B B
 e.A B A2B A 0,B 0 
 A 1
 A B A2B A 0;B 0 f . AB AB 0;B 0 
 B B
 A A B C C. A  B 
 g. B 0 h. 
 B B A B A B2
 C C. A  B 
 i. A 0,B 0, A B 
 A B A B2
 B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. (cứ 10 bài giải 1 lần)
Đề bài từ bài 1 đến bài 10
Bài 1. Rút gọn biểu thức:
 a) A 12 3 
 x 2 x 1
 b) B với x 0 và x 1 
 x 1 x 1 x 1
Bài 2.
 x 2 2 x x 1
Cho biểu thức: P . , với x 0, x 1. 
 x 2 x 1 x 1 x
 a) Rút gọn biểu thức P.
 b) Tính giá trị của biểu thức P tại x 46 6 5 3 5 1 .
Bài 3.
 15 x 11 3 x 2 2 x 3
 1) Cho A 
 x 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1
B 
 x 1 ( x 1)( x 1) x 1
 x( x 1) 2 x ( x 1) x x 2 x x 1
B 
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
 x 2 x 1 ( x 1)2 x 1
B 
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1
Bài 2.
 x 2 2 x x 1 x 2 x 1 2 x x 1 x 1
 a)P . .
 2
 x 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x
 2 x x 1 2
 2 . .
 x 1 x 1 x x 1
 2
 b)x 46 6 5 3 5 1 3 5 1 3 5 1 
 2
 3 5 1 3 5 3 2 P 2.
 2 1
Bài 3.
 15 x 11 3 x 2 2 x 3
A 
 x 2 x 3 x 1 x 3
 15 x 11 (3 x 2)( x 3) (2 x 3)( x 1)
 A 
 ( x 1)( x 3)
 17 2
 A 5 , A lớn nhất x 0 khi đó A lớn nhất bằng .
 x 3 3
Bài 4.
 Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có
 3
 x 1 x 1 x 1 x x 1
A x 1 
 x 1 x 1 x 1 x 1
 2
 x x 1 x 1 x
 x 1 x 1
 x x 1 1
A 1 
 x 1 x 1
Ta có x 2016 2 2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1 2 2
 Khi x = 3 2 2 2 1 => P = 
 2
 2 x x 1 (x 2 x 1) ( x 1)2
 c/ P = 1 1 
 1 x 1 x 1 x
 2
 ( Vì x > 0 => 1 + x > 0; x 1 0 )
 2
 Dấu “=” xảy ra khi x 1 0 x 1 0 x 1
 Vậy: GTLN của P là 1 khi x = 1
Bài 10.
 Rút gọn biểu thức 
 P (4 2 8 2). 2 8
 2
 4. 2 8.2 2. 2 4.2
 P = 4.2- 4 + 2 2 - 2 2
 P = 4
Đề bài từ bài 11 đến bài 20
Bài 11.
Thu gọn các biểu thức sau:
 1 2 x 1
 A với x > 0; x 1
 x x x 1 x x
 B (2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3
Bài 12.
 1 a 1 a 1 1 
Cho biểu thức Q 1 a2 2a 1 0 a 1 
 2 2 
 1 a 1 a 1 a 1 a a a 
 1) Rút gọn Q
 2) So sánh Q,Q3
Bài 13.
 5
Rút gọn biểu thức A 29 12 5 .
 5 2 5
Bài 14.
 1 1 1 1 1 1
 Chứng minh rằng 1 1 ..... 1 2018
 12 22 22 32 20172 20182
Bài 15.
 1 a3 a 2 a 1
Rút gọn biểu thức: P 1 a (a 1)
 a 1 a 1 1
 (2 3)(3 3 5) (2 3)(3 3 5) 2
 2 2
Bài 12.
1)Rút gọn Q
Điều kiện 0 a 1
 1 a 1 a 1 1 2
 Q 2 1 a 2a 1
 1 a 1 a 1 a2 1 a a a 
 2 
 1 a 1 a 1 a2 1 
 a2 2a 1
 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a2 a 
 2
 1 a 1 a 1 a 1 2
 a 1
 1 a 1 a 1 a 1 a a a 
 1 a 1 a 1 a2 1 
 . a 1 (do a 0)
 1 a 1 a a a 
 1 a 1 a 1 a2 1
 . 1 a (do 0 a 1)
 1 a 1 a a
 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a2 1
 . 1 a 
 1 a 1 a a
 1 a 1 a 1 a2 1
 . .(1 a)
 1 a 1 a 2 1 a2 a
 2a 1 a2 1
 . (1 a)
 2 2 1 a2 a
 (1 a) a 1
 2) So sánh .
 Điều kiện 0 a 1
 Ta có: Q3 a 1 3
 Q3 Q a 1 3 a 1 
 Xét hiệu : 
 a 1 a 1 2 1 a 1 a 1 1 a 1 1 a(a 1)(a 2)
 1 a3 a 2 a 1
 P 1 a a 1
 a 1 a
 2
 1 a 1 a a a 1 
 P 1 a .
 a 1 a 1 a
 1 a a a 1
 P 1 a . (Do a 1 a 1 a 1 0)
 a 1 a
 1 a a a 1 a a a 1
 P .
 a 1 a
 a a 1
 P . 1
 a 1 a
 Bài 16.
 2 2 a 2a b 2 ab
 A : 
 1 ab 1 ab
 2(1 a) 1
 2 ab(1 a) ab
 a + b 1 1 1 1
 Khi a 0; b 0 , a + b = ab 1 1 1 
 ab a b a b
 2
 1 1 1 1 1 1
Do đó A (1 ) . Dấu “ = “ xảy ra b 4; a 4 . Vậy giá trị lớn nhất 
 b b 4 b 2 4
 1
của A là khi a b 4 
 4
 Bài 17.
 2 x 1 0 x 1
 Biểu thức A x 1 xác định .
 3 x x 3 x 3
 Ta có B x 3 2 x x 3 x . 
 Với x 3 3 , ta có B 3 3 3 3 3 3.
 Bài 18.
 2 2
 a) A 8 8 20 40 5 2 12 2 2 1 2 5 1 2 2  5 . 
 2
 = 5 2 1 5 2 1. x 14 2 x 1
Rút gọn biểu thức Q với x 1, x 8.
 x 1 3 x 1
Bài 22.
 2 3 5 2 3 5 
Rút gọn biểu thức: A . 
 2 2 3 5 2 2 3 5
Bài 23.
 1 2 x 1
Rút gọn biểu thức: A 
 x x x 1 x x
Bài 24. Tính giá trị biểu thức: B 3 85 62 7 3 85 62 7
Bài 25.
 3
 10 6 3( 3 1) 2017
 a) Cho x . Tính giá trị của P 12x2 + 4x – 55 .
 6 2 5 5
 a 1 a a 1 a 2 a a a 1
 M 
 b) Cho biểu thức a a a a a a với a > 0, a 1.
 6
 N 
 Với những giá trị nào của a thì biểu thức M nhận giá trị nguyên?
Bài 26.
 2 a 1 2 a 
Cho biểu thức: A = 1 : , với a ≥ 0
 a 1 1 a a a a a 1 
 1. Rút gon biểu thức A.
 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009
Bài 27.
Cho x x2 2015 y y2 2015 2015. 
Hãy tính giá trị của biểu thức A x y 2016.
Bài 28.
 x x 1 x 1
Cho biểu thức A (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 
 x 1 x 1
khi x 2016 2 2015 
Bài 29.
 2 3 5 2 3 5 
Rút gọn biểu thức: A . 
 2 2 3 5 2 2 3 5
Bài 30. 1 2 x 1
 A 
 x x x 1 x x
 1 2 x 1
 x( x 1) ( x 1)( x 1) x( x 1)
 ( x 1) 2 x x ( x 1)
 x( x 1)( x 1)
 2x 2 x
 x( x 1)( x 1)
 2 x( x 1)
 x( x 1)( x 1)
 2
 x 1
 2
Vậy A= 
 x 1
Bài 24.
 B 3 85 62 7 3 85 62 7
Đặt a 3 85 62 7 ;b 3 85 62 7 a b B
Mặt khác:
 a3 b3 (85 62 7) (85 62 7) 170
 ab 3 85 62 7 3 85 62 7 3 852 (62 7)2 3 19683 27
Ta có:
 B3 (a b)3 a3 b3 3ab(a b)
 170 3.27.B
 B3 81B 170 0
 2
 (B 2)(B 2B 85) 0
 0
 B 2
Vậy B=2
Bài 25.
 1a) Ta có : 
 3 10 6 3 3 1 3 ( 3 1)3 3 1 
 6 2 5 5 ( 5 1)2 5